山東省濟(jì)南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE山東省濟(jì)南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一?單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A. B. C. D.————C分析：可化為，即可得出斜率.解答：可化為，則故選：C點(diǎn)撥：本題主要考查了已知直線方程求斜率，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，則等于（）A. B. C. D.————C分析：利用空間向量加法運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算，再用空間向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算模長(zhǎng).解答：故故選：C3.如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.————D分析：依據(jù)空間向量的運(yùn)算，用為基底表示出，可得選項(xiàng).解答：故選：D4.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至?大寒?雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺————D分析：依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).解答：設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D5.在正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.————A分析：作出異面直線和所成的角，然后解三角形求出兩條異面直線所成角的余弦值.解答：設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于分別是的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線和所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)異面直線和所成的角為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，，則.故選：A.點(diǎn)撥：思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，詳細(xì)步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．6.歷時(shí)天嫦娥五號(hào)勝利攜帶月球樣品返回地球，標(biāo)記著中國航天向前邁出一大步．其中年月日晚，嫦娥五號(hào)勝利進(jìn)行首次近月制動(dòng)，進(jìn)入一個(gè)大橢圓軌道．該橢圓形軌道以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)，若其近月點(diǎn)(離月球表面最近的點(diǎn))與月球表面距離為公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)(離月球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))與月球表面距離為公里，并且，，在同始終線上．已知月球的半徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率為（）A. B. C. D.————B分析：由已知可得衛(wèi)星的近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心的距離分別為，則，進(jìn)而可求解.解答：由已知可得衛(wèi)星的近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心的距離分別為設(shè)軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以解得，所以橢圓形軌道的離心率為故選：B7.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.————C分析：依據(jù)兩平線上隨意兩點(diǎn)距離的最小值即為平行線間的距離求解.解答：因?yàn)?，所以，解得，化?jiǎn)得設(shè)間的距離為，則，由平行線的性質(zhì)知的最小值為，故選：C8.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿意成立的最大正整數(shù)是（）A. B. C. D.————B分析：由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)．解答：∵，∴和異號(hào)，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿意的最大自然數(shù)為4040．故選：B．點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿意的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.二?多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于雙曲線與雙曲線下列說法正確的是（）A.它們的實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.它們的漸近線相同C.它們的離心率相等 D.它們的焦距相等————BD分析：依據(jù)兩個(gè)雙曲線分別求解四個(gè)選項(xiàng)中的性質(zhì)，再比較，推斷選項(xiàng).解答：雙曲線，，，實(shí)軸長(zhǎng)，漸近線方程，離心率，焦距；雙曲線，，，實(shí)軸長(zhǎng)，漸近線方程，離心率，焦距；綜上比較，可知兩個(gè)雙曲線的漸近線，焦距相等.故選：BD10.已知圓和圓的公共點(diǎn)為，，則（）A. B.直線的方程是C. D.————ABD分析：兩圓相減就是直線的方程，再利用圓心距，推斷C，利用弦長(zhǎng)公式求.解答：圓的圓心是，半徑，圓，圓心，，，故A正確；兩圓相減就是直線方程，兩圓相減得，故B正確；，，，，所以不正確，故C不正確；圓心到直線的距離，，故D正確.故選：ABD點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵選項(xiàng)是B選項(xiàng)，當(dāng)兩圓相交，兩圓相減后的二元一次方程就是相交弦所在直線方程.11.若數(shù)列滿意，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)?化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有干脆的應(yīng)用．則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.————AB分析：AB項(xiàng)干脆計(jì)算，CD項(xiàng)找出性質(zhì)，依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.詳解】依據(jù)規(guī)律有，，，，，，，，，故A對(duì)C錯(cuò)…故B對(duì)，故D錯(cuò)故選：AB點(diǎn)撥：遇到新定義問題，應(yīng)耐性讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清爽定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，進(jìn)行求解.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，在平面內(nèi)，若，，則（）A.點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓B.點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓C.的最小值為D.與平面所成角的正弦值的最大值為————ACD分析：對(duì)于A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，須要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.選項(xiàng)A：由，得，分析得E的軌跡為圓；選項(xiàng)B：由，而點(diǎn)F在上，即F的軌跡為線段，；選項(xiàng)C：由E的軌跡為圓，F(xiàn)的軌跡為線段，可分析得；選項(xiàng)D：建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求最值.解答：對(duì)于A:，即，所以，即點(diǎn)E為在面內(nèi)，以為圓心、半徑為1的圓上；故A正確；對(duì)于B:正方體中，AC⊥BD，又，且BD∩DF=D，所以，所以點(diǎn)F在上，即F的軌跡為線段，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C:在平面內(nèi)，到直線的距離為當(dāng)點(diǎn)，落在上時(shí)，；故C正確；對(duì)于D:建立如圖示的坐標(biāo)系，則因?yàn)辄c(diǎn)E為在面內(nèi)，以為圓心、半徑為1的圓上，可設(shè)所以設(shè)平面的法向量，則有不妨令x=1，則，設(shè)與平面所成角為α，則：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，故D正確故選：CD點(diǎn)撥：多項(xiàng)選擇題是2024年高考新題型，須要要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證．三?填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與直線相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________．————分析：干脆利用兩直線垂直，求出m.解答：因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，解得：故答案為：3點(diǎn)撥：若用一般式表示的直線,不用探討斜率是否存在,只要A1A2+B1B214.已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則它的離心率為________．————2解答：由題意，得e＝＝＝＝2.15.已知四面體的頂點(diǎn)分別為，，，，則點(diǎn)到平面的距離______.————分析：計(jì)算出平面的法向量，則D與平面中隨意一點(diǎn)構(gòu)成的向量在法向量上的投影的肯定值即為點(diǎn)到平面的距離.解答：依據(jù)已知可得：，設(shè)平面的法向量為，即取，又則點(diǎn)D到平面的距離為：故答案為：.點(diǎn)撥：本題考查用向量法求解點(diǎn)到平面的距離，屬基礎(chǔ)題.16.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則四邊形面積的最大值為__________．————分析：四邊形的面積可分為，設(shè)出直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)差作為兩個(gè)三角形的高，為底可得四邊形面積，然后利用二次函數(shù)求最值.解答：圓的方程為，圓心，將代入，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，不妨設(shè)，則與的高可分別為，設(shè)直線方程為，與圓的方程聯(lián)立，整理得，所以，，所以，所以四邊形的面積為，因?yàn)椋援?dāng)即時(shí)，面積有最大值為4.故答案為：4.點(diǎn)撥：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)三角形的高及用二次函數(shù)求最值，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的實(shí)力.四?解答題:本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.在①圓與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為．②圓經(jīng)過點(diǎn)和;③圓與直線相切，且與圓相外切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的圓存在，求出圓的方程;若問題中的圓不存在，說明理由．問題:是否存在圓，______，且圓心在直線上．注:假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．————答案見解析.分析：選擇①、②、③，分別用待定系數(shù)法求圓的方程；解答：選擇條件①：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為因?yàn)閳A心在直線上，所以因?yàn)閳A與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為所以，，且由垂徑定理得解得，所以，所以圓的方程為選擇條件②：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為因?yàn)閳A心在直線上，所以因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)和，的中點(diǎn)所以的中垂線方程為聯(lián)立直線解得即，，所以圓方程為選擇條件③：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為因?yàn)閳A心在直線上，所以所以，所以，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，即可得：，因?yàn)樵摲匠?，所以方程無解故不存在滿意題意的圓．點(diǎn)撥：“結(jié)構(gòu)不良問題”是2024年新高考出現(xiàn)的新題型：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會(huì)得滿分.18.已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．————（1）；（2）.分析：（1）等比數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換，用通項(xiàng)公式代入列方程組解得；（2）由，推斷為等差數(shù)列，套公式求和.解答：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意得：解得所以（2）所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以．點(diǎn)撥：(1)等差（比）數(shù)列問題解決基本方法：基本量代換；(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為．（1）求的值;（2）直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)度．————（1）；（2）.分析：（1）由已知準(zhǔn)線方程可得答案；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示可得，然后利用弦長(zhǎng)公式可得答案.解答：（1）由已知得，所以；（2）設(shè)，，聯(lián)立與得，，即時(shí)有，，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，則，，所以.點(diǎn)撥：本題考查了拋物線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解實(shí)力駕馭水平及其應(yīng)用實(shí)力.20.已知數(shù)列滿意，．（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．————（1）證明見解析；（2）.分析：（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求得解答：（1）由，，可得，因?yàn)閯t，，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則．點(diǎn)撥：數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．(4)裂項(xiàng)相消法：用于通項(xiàng)能變成兩個(gè)式子相減，求和時(shí)能前后相消的數(shù)列求和.21.如圖，在四棱錐中，為矩形，，，平面平面．（1）證明:平面平面;（2）若為中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．————（1）證明見解析；（2）.分析：（1）利用平面，得到，又有，，得到平面，從而平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角的余弦值．解答：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，矩形中，，所以平面因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)椋?，平面，平面所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，平面平面．?）解：由（1）知平面，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則即令，則，，所以同理易得，平面的一個(gè)法向量為所以．由圖示，平面與平面所成夾角為銳角，所以平面與平面所成夾角的余弦值．點(diǎn)撥：立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)其次問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常須要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算．22.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過點(diǎn)作與軸不重合的直線與