3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（知識解題達標測試）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質【考點1：雙曲線的方程、圖形及性質】【考點2：離心率的值及取值范圍】【考點3：根據(jù)頂點坐標、實軸、虛軸求雙曲線的標準方程】

【考點4：求共焦點的雙曲線方程】【考點5：雙曲線的漸近線】【考點6：等軸雙曲線】【考點7：雙曲線的實際應用】知識點1雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實、虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知識點2雙曲線中的幾個常用結論（1）雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.（2）若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.（3）同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.（4）設P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq\f(b2,a2).（5）P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中θ為∠F1PF2.（6）等軸雙曲線①定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．②性質：a＝b;e＝eq\r(2)；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．（7）共軛雙曲線①定義：若一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．②性質：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.【考點1：雙曲線的方程、圖形及性質】【典例1】雙曲線9x2?4A．13,0 B．0,13 C．5,0【答案】A【分析】根據(jù)標準方程即可求解.【詳解】雙曲線9x2?4故a2故焦點為13,0和?故選：A【變式11】已知雙曲線C:x25?y2bA．3 B．2 C．4 D．31【答案】B【分析】由題意可得，c=3，由5+b2=9，解得b=2【詳解】由題意可得，c=3，焦點為?3,0,則5+b2=9，解得b=2則雙曲線的漸近線方程為y=±2則焦點到漸近線的距離為65故選：B．【變式12】若雙曲線x2m2+1?y2A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】依題意可得2m【詳解】由雙曲線實軸長為4，有2m2+1∴m=3故選：A.【考點2：離心率的值及取值范圍】【典例2】已知雙曲線x2?yA．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)等軸雙曲線的性質即可求解.【詳解】x2?y所以離心率為2.故選：B【變式21】已知雙曲線的兩個焦點分別為(0,4),(0,?4)，點(?6,4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2【答案】C【分析】由焦點坐標可得焦距2c，結合雙曲線定義計算可得2a，即可得離心率.【詳解】由題意，設F10,?4、F2則F1F2=2c=8，則2a=PF1故選：C.【變式22】已知雙曲線x2a2?yA．2 B．233 C．2或233【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的焦點在x軸上，漸近線斜率為ba=tanπ3【詳解】由題意，雙曲線的焦點在x軸上，且一條漸近線的傾斜角為π3，所以ba=又a2+b2=c2，所以a2+3a2=c故選：A【變式23】若雙曲線x2a2?y2=1(a>0)A．2 B．2 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的離心率與a、b、c關系求解即可.【詳解】由題意b=1，雙曲線的離心率e=ca=故選：C.

【考點3：根據(jù)頂點坐標、實軸、虛軸求雙曲線的標準方程】【典例3】已知雙曲線C經(jīng)過點0,1，離心率為2，則C的標準方程為（

）A．x2?y2=1 B．x2【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出雙曲線的焦點在y軸上，設出雙曲線的標準方程；再根據(jù)雙曲線C經(jīng)過點0,1及離心率公式即可求解.【詳解】因為雙曲線C經(jīng)過點0,1，所以雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的方程為y2因為雙曲線C經(jīng)過點(0,1)，所以12a2又因為e=c所以c=2則b2所以雙曲線的標準方程為y2故選：C.【變式31】雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=2，且點P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標準方程為（A．x24?y212=1 B．【答案】C【分析】由題意設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)【詳解】由題意設雙曲線方程為x2因為點P(6,3)在雙曲線C上，所以因為離心率e=2，所以ca=2，得所以c2=4a2，則所以6a2?93所以雙曲線方程為x2故選：C【變式32】已知雙曲線x2a2?yA．x2?y24=1 B．x【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到b=2,e=ca=2，結合【詳解】由題意，雙曲線x2a2?y可得b=2,e=ca=因為c2=a2+所以曲線的方程為x2故選：C.【變式33】以橢圓x28+A．x24?y24=1 B．【答案】A【分析】確定雙曲線的焦點和頂點，進而可得雙曲線方程.【詳解】橢圓x28+橢圓焦點為?2,0,即雙曲線的焦點為?22,0,所以雙曲線方程為x2故選：A.【考點4：雙曲線的漸近線】【典例4】已知雙曲線C:y2a2?x2A．y=±5x B．y=±6x C．【答案】C【分析】雙曲線的漸近線方程為y=±abx，離心率e=【詳解】曲線的漸近線方程為y=±abx，因為雙曲線C的離心率為6兩邊平方，即e2=c2a解得ba=5故雙曲線C的漸近線方程為y=±5故選：C.【變式41】雙曲線x23m?A．y=±2x C．y=±2x D．y=±【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程直接求解即可【詳解】由x23m?所以y=±2即雙曲線的漸近線方程為y=±2故選：A【變式42】雙曲線y24m?A．y=±22x B．y=±2x 【答案】B【分析】把雙曲線方程中的1換為0，可得漸近線方程.【詳解】由題可知雙曲線y24m?x2故選：B.【變式43】已知雙曲線C1:x2+y2A．x±y=0 B．2x±y=0 C．x±3y=0【答案】D【分析】利用雙曲線的性質計算即可.【詳解】易知C2:x對于雙曲線C1:x2+故1?m=4?m=?3，此時C1:x故選：D【變式44】雙曲線x24?【答案】y=±【分析】代入雙曲線的漸近線方程公式，即可求解.【詳解】由題意可知，a2=4，則雙曲線的漸近線方程為y=±b故答案為：y=±【考點5：等軸雙曲線】【典例5】已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點A42,2，則雙曲線CA．x236?y236=1 B．【答案】C【分析】設出等軸雙曲線的標準方程，將A4【詳解】設等軸雙曲線C的方程為x2將點A42,2代入得32所以雙曲線C的標準方程為x2故選:C.【變式51】等軸雙曲線的漸近線方程為（

）A．y=±2x B．y=±3x C．【答案】C【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據(jù)方程即可求出其漸近線方程.【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為x2則a=b，則其漸近線方程為y=±b若等軸雙曲線方程為y2則a=b，則其漸近線方程為y=±a綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選：C【變式52】若雙曲線C：x2m+y2m2A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】D【分析】根據(jù)題意寫出焦點在y軸的雙曲線的標準方程，再根據(jù)該雙曲線為等軸雙曲線寫出m滿足的條件，解得即可.【詳解】由于雙曲線是焦點在y軸上的雙曲線，所以雙曲線的標準方程為y2又因為雙曲線為等軸雙曲線，所以m2?2=?mm故選：D.【變式53】中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線x?4y+22=0上的等軸雙曲線方程是（A．x2?yC．y2?x【答案】B【分析】由題干中直線方程求得雙曲線焦點坐標，再根據(jù)等軸雙曲線中a=b且a2【詳解】因為雙曲線實軸在x上且焦點在直線x?4y+22故令y=0得x=?22，即c=2又因為a=b且a2+b所以雙曲線方程為x24?故選：B【考點6：共焦點的雙曲線】【典例6】多選題過點(3,2)且與橢圓x28+A．x225+y220=1 B．【答案】BC【分析】本題考查橢圓的簡單性質以及橢圓方程的求法和雙曲線的簡單性質和雙曲線的標準方程，考查計算能力．求出橢圓的焦點坐標，設出方程利用圓錐曲線經(jīng)過的點，求解即可．【詳解】解：橢圓x28+y2設橢圓的方程為x2可得9a2+解得a=15，b=所求的橢圓方程為x設雙曲線的方程為：x2可得9m2?解得m=3，n=所求的雙曲線方程為x2故選：BC【變式61】過點2,3且與橢圓5x2+9A．x2?y23=1 B．x【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的標準方程可求焦點坐標為±2,0，根據(jù)焦點坐標及點2,3可求雙曲線的方程.【詳解】橢圓的標準方程為x29+y2設雙曲線的方程為x2故4a2?故雙曲線的標準方程為x2故選:A.【變式62】與雙曲線x216?y2【答案】x【分析】設雙曲線方程為x216?k?y2【詳解】解：設雙曲線方程為x216?k?y2即1816?k?44+k=1故所求雙曲線方程為x2故答案為：x【考點7：雙曲線的實際應用】【典例7】3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92cm，喉部（中間最細處）的直徑為A．272cm B．18cm C．27【答案】C【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標系，由已知條件先求雙曲線的標準方程，再計算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點O為原點，建立平面直角坐標系，設A與B分別為上，下底面對應點.設雙曲線的方程為x2因為雙曲線的離心率為10=1+b又喉部（中間最細處）的直徑為8cm，所以2a=8,a=4，所以雙曲線的方程為x由題意可知xA=32所以該塔筒的高為yA故選:C.【變式71】單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為100m，樓底的直徑為5022m，樓頂直徑為506m，最細處距樓底300m，則該地標建筑的高為（A．350m B．375m C．400m D．450m【答案】C【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程是x2由已知可得a，將點C坐標代入解得b的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程解得B的坐標即可求得地標建筑的高.【詳解】解：以地標建筑的最細處所在直線為x軸，雙曲線的虛軸為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示.由題意可得：A50,0，C設B256,y0則a=5025222所以雙曲線的方程是：x2將點B256,解得y0所以該地標建筑的高為：300+100=400m.故選：C.【變式72】祖暅是我國南北朝時期偉大的科學家，他于5世紀末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設計圖紙，其外形的雙曲線方程為x2?y24

【答案】3【分析】由直線y=t，其中?2≤t≤1，分別聯(lián)立方程組y=2xy=t和x2?y2【詳解】如圖所示，雙曲線x2?y由直線y=t，其中?2≤t≤1，

聯(lián)立方程組y=2xy=t，解得A聯(lián)立方程組x2?y所以截面圓環(huán)的面積為S=π4+t根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”，可得該幾何體的體積與底面面積為π，高為3的圓柱的體積相同，所以該幾何體的體積為V=π故答案為：3π【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)題意分析可知旋轉面的面積為π，可得該幾何體的體積與底面面積為π，高為3的圓柱的體積相同,【變式73】青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16cm，上瓶口圓的直徑為20cm，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12cm，則該雙曲線的離心率為.【答案】5【分析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a=16，根據(jù)已知條件點(10,12)在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結合a，b，c的關系可求得離心率e的值．【詳解】由題意作出軸截面如圖：以花瓶最細處橫截面圓的直徑A1A2為x軸，A設雙曲線的方程為：x2花瓶最細處橫截面圓直徑為A1A2則由已知可得B是雙曲線上的點，且B(10,12),故10264?122故e2故答案為：5．一、單選題1．已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點A42,2，則雙曲線CA．x236?y236=1 B．【答案】C【分析】設出等軸雙曲線的標準方程，將A4【詳解】設等軸雙曲線C的方程為x2將點A42,2代入得32所以雙曲線C的標準方程為x2故選:C.2．等軸雙曲線的漸近線方程為（

）A．y=±2x B．y=±3x C．【答案】C【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據(jù)方程即可求出其漸近線方程.【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為x2則a=b，則其漸近線方程為y=±b若等軸雙曲線方程為y2則a=b，則其漸近線方程為y=±a綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選：C3．若雙曲線C：x2m+y2m2A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】D【分析】根據(jù)題意寫出焦點在y軸的雙曲線的標準方程，再根據(jù)該雙曲線為等軸雙曲線寫出m滿足的條件，解得即可.【詳解】由于雙曲線是焦點在y軸上的雙曲線，所以雙曲線的標準方程為y2又因為雙曲線為等軸雙曲線，所以m2?2=?mm故選：D.4．中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線x?4y+22=0上的等軸雙曲線方程是（A．x2?yC．y2?x【答案】B【分析】由題干中直線方程求得雙曲線焦點坐標，再根據(jù)等軸雙曲線中a=b且a2【詳解】因為雙曲線實軸在x上且焦點在直線x?4y+22故令y=0得x=?22，即c=2又因為a=b且a2+b所以雙曲線方程為x24?故選：B5．設雙曲線E的中心為O，一個焦點為F，過F作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B．若BF=2OA，則EA．62 B．2 C．3 【答案】C【分析】設雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1a>0,b>0，且Fc,0，設直線y=【詳解】設雙曲線的方程為x2a2則E的兩條漸近線方程分別為y=bax設直線y=bax的傾斜角為α易得△OAF≌△OBF，所以OA=OB，且從而tanα=所以ba=2，故b整理，得ca故E的離心率等于3．故選：C6．若雙曲線x25+y2m=1A．?5 B．?10 C．?15 D．?20【答案】C【分析】首先得到a2，b【詳解】因為曲線x25+y2m=1故c2a2故選：C7．已知雙曲線C:y2a2?x2A．y=±3x B．y=±33x 【答案】B【分析】設雙曲線C:y2a2?x2b2【詳解】設雙曲線C:y2a雙曲線的漸近線方程為by±ax=0，由點到直線的距離公式可得|b×c±a×0|a又雙曲線C:y2a2?所以雙曲線C的漸近線方程為3y±3x=0，即故選：B.8．雙曲線E:x29A．y=±14x B．y=±12x【答案】C【分析】根據(jù)題意，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由雙曲線E:x29所以雙曲線的漸近線方程為y=±b故選：C．9．已知雙曲線C:x24?y23=1，以右頂點A為圓心，r為半徑的圓上一點M（M不在x軸上）處的切線與C交于S、T兩點，且A．r>2217 B．0<r<457【答案】A【分析】先求雙曲線的漸近線，利用雙曲線中點弦及切線斜率可得答案.【詳解】由題意得雙曲線漸近線y=±32x，A(2,0)切點M在雙曲線左支和右支之間，由對稱性，不妨設切點M在x軸的上方；設Mx0,y0y0因為直線AM的斜率kAM=y因為x124②—①得3x可得k=y所以2?x0y0=3x又Mx所以r2因為切點M在x軸的上方，切線與雙曲線交于兩點，一條漸近線的斜率為32所以有0<k=2?x0y0故r2即r>2故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用點差法找到半徑與x0,y10．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，點B的坐標為（0,bA．2+12,+C．2,+∞ 【答案】D【分析】設P(x,y)，根據(jù)PB<b和點P在雙曲線上，消去x得c【詳解】設P(x,y)，則PB<b?由雙曲線方程可得x2=a化簡整理得關于y的一元二次不等式：c2所以Δ=4b2所以c2?a2>ac?故選：D11．雙曲線y23?A．±3,0 B．0,±3 C．±3,0【答案】D【分析】根據(jù)題意，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由雙曲線y23?x2且雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的焦點坐標為(0,±3).故選：D.12．已知點A為雙曲線x24?y2=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的左支上，若A．4 B．89 C．169 【答案】C【分析】雙曲線x24?y2=1的左頂點A?2,0【詳解】由題意得A?2,0，點B和點C若△ABC是等腰直角三角形，設Bx1,則有y1=x1?2則有等腰直角三角形△ABC的斜邊BC=83所以S△ABC故選：C.二、填空題13．雙曲線x29?【答案】4,0【分析】利用雙曲線的標準方程,直接求出雙曲線的右焦點即可.【詳解】由雙曲線的標準方程為x29?y由c2=a所以