2025年高考數(shù)學總復習 32 課時質量評價(三十二)

課時質量評價(三十二)1．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，A′O′＝6，B′O′＝2，則線段AB的長度為()A．210 B．410C．213 D．413C解析：因為△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，所以△OAB是直角三角形，且兩條直角邊長為OA＝6，OB＝4，斜邊AB的長為OA22．(數(shù)學與生活)某同學有一個形如圓臺的水杯如圖所示，已知圓臺形水杯的母線長為6cm，上、下底面圓的半徑分別為2cm和4cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個杯套，包裹水杯23高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為(不考慮水杯材質和杯套的厚度)(A．24πcm2 B．25πcm2C．683πcm2 D．763D解析：根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個圓臺，且該圓臺的母線長是圓臺形水杯的母線長的23，即6×23＝4(cm)，其下底面圓的半徑為圓臺形水杯的下底面圓的半徑，即下底面圓的半徑是2＋23×2＝103(cm)，則圓臺的側面積S1＝2+10圓臺形水杯的下底面面積S2＝4π(cm2)，故杯套的表面積S＝S1＋S2＝643π＋4π＝763π(cm23．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝4，EF＝2，△BCF，△ADE都是等邊三角形，則五面體ABCDEF的體積為()A．4113 BC．8113 DB解析：如圖，過點F作FH⊥AB于點H，F(xiàn)S⊥CD于點S，過點E作EG⊥AB于點G，EQ⊥CD于點Q，連接HS，GQ，將五面體的體積轉化為兩個相同的四棱錐和一個三棱柱的體積之和，則V五面體ABCDEF＝2V四棱錐F-BCSH＋V三棱柱HSF-GQE.過點F作FM⊥HS于點M，則易知FM⊥平面ABCD,FM2＝FH2－HM2＝FB2－HB2－HM2＝11，所以FM＝11，所以V四棱錐F-BCSH＝13×4×1×11＝4113，V三棱柱HSF4．(2024·福州模擬)已知圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的側面積為________.910π解析：圓臺的下底面半徑為5，故下底面的圓心與球心重合，如圖所示．設球的球心為O，圓臺上底面的圓心為O′，則圓臺的高OO′＝OQ2－O'Q2＝52－42＝3，圓臺的母線長為5．(2024·1月·九省適應性測試)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是________，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是________.231解析：設圓錐MM′的底面半徑為r,球O的半徑為R因為圓錐MM′的軸截面為正三角形，所以圓錐MM′的高h＝3r，母線l＝2r.由題意可知h＝2R，所以球O的半徑R＝32r所以圓錐MM′的體積V1＝13×πr2×3r＝3球O的體積V2＝43πR3＝43π×32r3圓錐MM′的表面積S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球O的表面積S2＝4πR2＝4π×32r2＝3πr26．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為______cm.61解析：如圖，把三棱柱的側面展開兩次可得對角線最短，則最短路線的長為62+527．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，點M，N分別為棱AA1，CC1的中點，則四棱錐B-AMNC的體積為________.13V解析：如圖，連接AN，對于三棱錐B-ACN，B-AMN，顯然它們等底同高，故VB-ACN＝VB-AMN因為VB-ACN＝VN-ABC，CN＝C1N，所以三棱錐N-ABC的高是三棱柱ABC-A1B1C1的高的一半，且都以△ABC為底面，故VN-ABC＝13×12V＝16V，故VB8．如圖，半球內有一內接正方體(即正方體的一個面在半球的底面圓上，其余頂點在半球上)．若正方體的棱長為6，求半球的表面積和體積．解：因為正方體的棱長為6，所以在半球上的正方體的4個頂點所在的小圓的半徑r＝12而半球球心到此小圓的距離d＝6，因此半球的半徑R＝d2+r所以半球的表面積S＝12×4πR2＋πR2＝27π半球的體積V＝12×43π9．(數(shù)學與文化)(2024·南京模擬)三星堆古遺址被譽為“長江文明之源”.3號坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù)．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”的觀念，是天地合一的體現(xiàn)．如圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為()A．72πcm2 B．162πcm2C．216πcm2 D．288πcm2C解析：不妨設正方體的棱長為2a，球O的半徑為R，則圓柱的底面半徑為a.因為正方體的體對角線即為球O直徑，所以2R＝23a，即R＝3a.利用勾股定理得62＋a2＝R2＝3a2，解得a2＝18，所以球O的表面積為S＝4πR2＝4π×3×18＝216π(cm2)．10．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120?.若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為(A．π B．6πC．3π D．36πB解析：取AB的中點C，連接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如圖．在△AOB中，∠AOB＝120?，OA＝OB＝3，所以∠ABO＝30?，OC＝32，AB＝2BC＝由S△PAB＝934，得12×3×PC＝9所以圓錐的體積V＝13π·OA2·PO＝13π×32×11．已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為(B)A．2516π B．25C．52π D．12．(2023·新高考全國Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________.28解析：