導(dǎo)數(shù)應(yīng)用專(zhuān)題8之07 利用導(dǎo)數(shù)處理雙變量問(wèn)題(解析版)

第六篇導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題07利用導(dǎo)數(shù)處理雙變量問(wèn)題常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)一雙變量問(wèn)題典例1．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）先由為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到，令，則由，求出；對(duì)于換元后得到利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值即可.【詳解】定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．（2）由題得，因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，所以∴，∴，所以令，則有，∴，∴對(duì)于，令則當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，有，所以在為增函數(shù)，時(shí)為減函數(shù)，所以所以y有最大值為．【點(diǎn)睛】（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，①如果>0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果<0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有；函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有；（2）對(duì)二元變量類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法：①變量分離，構(gòu)造同構(gòu)的形式，構(gòu)造新函數(shù)；②整體換元，建立新函數(shù).變式1-1．已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出，解不等式即得解；（2）求導(dǎo)得到韋達(dá)定理，再化簡(jiǎn)，設(shè)，求出的最值即得解.【詳解】（1）∵，∴只要，即時(shí)恒成立，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于雙變量的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化成單變量的函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.本題就是把雙變量的化成關(guān)于的函數(shù)再來(lái)解答.變式1-2．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，切線斜率為，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程；（2）由題意可得，是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)根，等價(jià)于，是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用單調(diào)性求最值即可求解.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)?，所以，，所以所求切線方程為，即；（2）由（1）知，因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根，可得，，，易得，所以，，，，因?yàn)榭傻?，所以，在單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，從而的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線切線方程的一般步驟是（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.變式1-3．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）寫(xiě)出函數(shù)定義域并求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需最大值即可.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，可得，兩式相減得，欲證，即證，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?令得，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，故欲使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即.（2）證明：不妨設(shè)，則由（1）可知，且，兩式相減可得.欲證，即證，設(shè)，則即證，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，單調(diào)性以及最值問(wèn)題，考查利用變量集中的思想解決不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于中檔題.典例2．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值；（3）若存在，使得，證明：.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)區(qū)間即可；（2）討論區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，確定在的單調(diào)性，即可得出其最大值；（3）由有兩個(gè)零點(diǎn)，得出，進(jìn)而得出的取值范圍，根據(jù)，由不等式的性質(zhì)得出，由得出，，進(jìn)而得出，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1），的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減綜上：.（3）當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)必有∴，∴∴，∴，即又，∴，得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性以及最值，利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題，屬于中檔題.變式2-1．已知函數(shù)在時(shí)取得極值且有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的值與實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記函數(shù)兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求出，得到函數(shù)解析式，再由有兩個(gè)零點(diǎn)，得到方程有2個(gè)不同實(shí)根，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究單調(diào)性與最值，即可求出的取值范圍；（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又在時(shí)取得極值，所以，即；所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程有2個(gè)不同實(shí)根，令，則，由得；由得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，；時(shí)，；因此，要使方程有2個(gè)不同實(shí)根，只需與有兩不同交點(diǎn)，所以；（2）因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)相異零點(diǎn)，所以，①；即，即②；又等價(jià)于，即③；由①②③可得；不妨令，則，上式可化為；設(shè)，則在上恒成立；故函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以，即不等式成立；因此，所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等，屬于?？碱}型.變式2-2．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：，，.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出，令和可得答案.（2）即證明：,設(shè)，可得為上的減函數(shù)，可得，從而得證.【詳解】解：（1）由，則，，，令，解得；令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：，要證明.即證明：.即證明：.令，，且.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由，則，所以，即：，，成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)得為上的減函數(shù)，從而，，屬于中檔題.16．已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：．【答案】(1)極小值為，沒(méi)有極大值．(2)（?。┳C明見(jiàn)解析，（ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后確定極值；（2）（?。⒉坏仁降葍r(jià)變形，進(jìn)行比值換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明；（ⅱ）由，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，得到同構(gòu)方程，兩方程相減轉(zhuǎn)化，利用（?。┑慕Y(jié)論和重要不等式進(jìn)行推理證明．(1)由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋桑裕?，解得．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為，函數(shù)沒(méi)有極大值．(2)（?。┯深}意，，因?yàn)椋O(shè)，則,，構(gòu)造函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以．（ⅱ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以即兩式相減得，所以．由（ⅰ）得．由重要不等式得，所以，即，所以，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，所以．故由（Ⅰ）得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、對(duì)于不等式的證明，需要構(gòu)造函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為的求函數(shù)的最值問(wèn)題；2、對(duì)于雙變量問(wèn)題，需要通過(guò)換元法，轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.鞏固練習(xí)練習(xí)一雙變量問(wèn)題1．已知函數(shù)(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）求出，，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而得出的范圍，由的關(guān)系，設(shè)，把都用表示，則可表示的函數(shù)，同樣利用導(dǎo)數(shù)得出新函數(shù)是增函數(shù)，得出，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得證不等式成立．(1)，，在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，（），時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，，存在使得，則，令，，，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，，.2．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，（）是的兩個(gè)零點(diǎn)，是的導(dǎo)函數(shù)，證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（）上單調(diào)遞減.(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，求出不同情況下的的單調(diào)性；（2）利用方程組得到，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，換元后構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，從而得到證明.(1)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）,.（i）當(dāng)時(shí)，，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，.（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，則f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；令，得，則f（x）在（）上單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（）上單調(diào)遞減.(2)證明：因?yàn)?，是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，兩式相減得：，即，.因?yàn)閒（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）不單調(diào)，則，要證，只需證，即證.令，則，所以只需證，即證.令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，，則在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而，則，故.【點(diǎn)睛】對(duì)于多元問(wèn)題，要能轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，通常情況下會(huì)由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外會(huì)構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解.3．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)求導(dǎo)并通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論f(x)的單調(diào)性；(2)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可.(1)函數(shù)定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)依題意，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，，，不等式，，所證不等式即設(shè)，令，則，在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，且，即，從而所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是換元，結(jié)合已知條件可將雙變量轉(zhuǎn)換為單變量問(wèn)題求解.4．已知函數(shù).(1)若在定義域上單調(diào)遞增，求ab的最小值；(2)當(dāng)，，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得二次不等式，根據(jù)二次不等式的恒成立列式計(jì)算；（2）將有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理得，進(jìn)而通過(guò)換元，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可.(1)恒成立，即恒成立，，所以，，即ab的最小值為.(2)有兩個(gè)不同的根，，則，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，，.，令，，在單調(diào)遞增，所以，令，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.對(duì)于證明題，我們可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)研究；2.含雙變量的問(wèn)題，要通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題來(lái)解答.5．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，便可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);（2）利用（1）的結(jié)論，便可知函數(shù)在時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，再構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，可將雙變量變?yōu)閱巫兞浚瑢?duì)該新函數(shù)進(jìn)行研究即可.(1)因?yàn)棰佼?dāng)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，（i）時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；（ii），由時(shí)，，，∴在只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（注意時(shí)，，時(shí)，）所以，（i）即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；（ii），即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；（iii）即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；方法二：時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；時(shí)，由，令，則，由，則時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，則，做出簡(jiǎn)圖，由圖可知：（注意：時(shí)，，時(shí)）當(dāng)或，即或時(shí)，只有一個(gè)根，即在只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩個(gè)根，即在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無(wú)實(shí)根，即在無(wú)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)由（1）可知時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，由，即，所以，即要證明，即證，需證，再證，然后證，設(shè)，則，即證，即，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即有，所以．6．設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令并結(jié)合函數(shù)定義域、根與系數(shù)關(guān)系、判別式列不等式求參數(shù)范圍.（2）由（1）可得，根據(jù)已知求的范圍，應(yīng)用換元法令，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.(1)∵且，∴，令，則，∴，可得．(2)，由（1）可得：，所以，∵，即，∴，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)有，令，則令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，∴.7．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先把函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并進(jìn)行化簡(jiǎn)，由題意知，，在對(duì)進(jìn)行討論即可得到答案.（2）由（1）知在時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理求出的關(guān)系式，并用分別表示出和，把代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)，，所以可以求出最小值，即可證出.(1)由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減(2)由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則（用分別表示出和），整理，得，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，8．已知函數(shù)（），.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：.【答案】（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并對(duì)參數(shù)的取值范圍分類(lèi)討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）先確定存在極值點(diǎn)的條件，再利用韋達(dá)定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后構(gòu)