數(shù)學(xué)(文)一輪教學(xué)案：第十章第2講 雙曲線(xiàn)及其性質(zhì) 含解析

第2講雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

考綱展示命題探究

1雙曲線(xiàn)的定義

(1)定義：平面上，到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩

定點(diǎn)間的距離)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.兩定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間

的距離叫做焦距.

(2)符號(hào)語(yǔ)言：|\MFi|-\MF2\\=2a(2a<\FiF2\).

2雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得出的，其形式為：

(1)當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在％軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

%2y~

了一力=1(。>0，>>0).

(2)當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

%一7=1(。>0,Z?>0).

3雙曲線(xiàn)方程的幾種常見(jiàn)設(shè)法

⑴與雙曲線(xiàn)多4=1有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為土(

=A(2W0).

(2)若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±%則雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為泉一

*=2(2W0)或足X2一機(jī)2y2=2(%W0).

(3)與雙曲線(xiàn)三一*=1共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為七一名

aba~kb-+k

=l(—h2<k<a2).

(4)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為nu2+ny2=

1(mn<0).

(5)與橢圓1(。泌>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為

?2

屋-丸十工廠(chǎng)

M注意點(diǎn)雙曲線(xiàn)定義的理解

當(dāng)\MF\|一|M囹=2a時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)/2所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的一

支；當(dāng)附川一附尸2|=—2。時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)尸1所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的

一支；當(dāng)2a=用凡時(shí)，軌跡為分別以尸1,B為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)

2。>尸1巴時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

1.思維辨析

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)吊(0,4),6(0,—4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是

雙曲線(xiàn).()

(2)平面內(nèi)到點(diǎn)B(0,4),F2(0,一4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)

的軌跡是雙曲線(xiàn).()

(3)方程專(zhuān)一?=1("〃7〉0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).()

(4)、+5=l表示雙曲線(xiàn)的充要條件是加2<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.與橢圓C：春十為=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,小)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)

方程為()

A.爐一餐=1B.y2~2x2=1

「V2爐

C."j—y=l

答案C

解析橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線(xiàn)

22R_l=i

的標(biāo)準(zhǔn)方程為5一工=1(機(jī)>0，〃>0)，貝，機(jī)n'解得機(jī)=71=2,

lm+n=4,

故選C.

3.雙曲線(xiàn)主一^'=1上的點(diǎn)。到點(diǎn)(5,0)的距離是6,則點(diǎn)。的坐

10y

標(biāo)是.

答案(8,±3小)

解析尸(5,0)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，設(shè)P(x,y),則(%—5)2+>2=36

①，與言一5=1②，聯(lián)立①②解得：％=8,尸±3機(jī).?.尸(8,±3小).

>［考法綜述］高考一般考查雙曲線(xiàn)方程的求法和通過(guò)方程研

究雙曲線(xiàn)的性質(zhì).雙曲線(xiàn)的定義的考查主要是利用定義求雙曲線(xiàn)的方

程，或者是與正余弦定理結(jié)合解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題.

命題法雙曲線(xiàn)的定義和方程

典例(1)已知雙曲線(xiàn)C：^2-^2=1的焦距為10,點(diǎn)尸(2,1)在

C的漸近線(xiàn)上，則C的方程為()

C麗一麗=1D-20-80=1

(2)已知雙曲線(xiàn)^一產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)為尸2,點(diǎn)P為左支上

一點(diǎn)，且滿(mǎn)足NQPB=60。，則△RPF2的面積為.

［解析］⑴由2c=10,得c=5,

107

二?點(diǎn)尸(2,1)在直線(xiàn)、=/上，/.1即Q=2b.

12

又?.?〃+/?2=25,/.a=20,b=5.

故雙曲線(xiàn)C的方程為加一方=1.

(2)設(shè)1PBi=機(jī)，\PF2\=n,

fm2+n2-/nn=20,

所以」，C

［m+n—2mn=16,

所以加2=4,所以SZ\FiPF2=；fn〃sin60°=小.

［答案］(1)A(2h/3

Q【解題法】雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

(1)一般步驟

①判斷：根據(jù)已知條件確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸

上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能.

②設(shè)：根據(jù)①中判斷設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程.

③列：根據(jù)題意列關(guān)于“，h,c的方程或者方程組.

④解：求解得到方程.

(2)常見(jiàn)問(wèn)題形式

①如果已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上還是y

軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的

方程組，解出a2,b2,從而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能

是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解).

②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來(lái)解決：

一種是分類(lèi)討論，注意考慮要全面；另一種是如果已知中心在原

點(diǎn)，但不能確定焦點(diǎn)的具體位置，可以設(shè)雙曲線(xiàn)的一般方程如2+町;2

=l(mn<0).

1.下列雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線(xiàn)方程為y=±2x的是

()

A.^—4=1

X2

C.^—x2—lD.尸7『1

答案C

解析雙曲線(xiàn),一方=1和%—1=1的漸近線(xiàn)方程分別為最一方

=0和]一骨軸上，C、D選項(xiàng)中雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，又令?一

/]

f=0,得>=±2%,令>2—4=0，得曠=±/%,故選C.

2.已知雙曲線(xiàn)。點(diǎn)一方=1的離心率e=l，且其右焦點(diǎn)為b2(5,0),

則雙曲線(xiàn)C的方程為()

x2y1

A.「3=lB-9-T6=1

C.諱—亍=1D.1一『1

答案C

解析由題意得e=\^1+*=東又右焦點(diǎn)為尸2(5,0),tz2+Z?2

=

=/,所以Q2=]6,爐=9,故雙曲線(xiàn)。的方程為m10一Qy1.

3.已知雙曲線(xiàn)攝一方=1(。＞0，匕＞0)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,5)，且

雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)產(chǎn)=4巾％的準(zhǔn)線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為

()

A^._Z=1j

11

A-2128氏2821

x2y2x2y2

41u431

答案D

解析由題意可得《=坐，c=巾,又，=7=足+加，解得4=4,

＞2=3,故雙曲線(xiàn)的方程為/,一七丫2=1.

4.已知雙曲線(xiàn)。的離心率為2,焦點(diǎn)為為，點(diǎn)A在C上.若

|FIA|=2|F2A|,貝ijCOSNAF2K=()

11

-1

B-

A.43

c#

答案A

解析:.雙曲線(xiàn)的離心率為2,「5=2,

：.a":c=l：仍：2.

\\AFx\~\AF^2a,

又?,<

*JFIA|=2|F2A|,

.,.|AFi|=4tz,\AF2\=2a,

：.\F\Fi\=2c=4a,

.r|A&F+|FIB|2一|A川2

..COSZAF2FI-2|AF2||FIF2|

4后+脂/—16屋4屋i

=2X2a義4a=而=不選人，

5.設(shè)雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),且與9一小=1具有相同漸近線(xiàn)，則

C的方程為;漸近線(xiàn)方程為.

X2V2

答案y—Y^=ly=±2x

解析雙曲線(xiàn)?一r=1的漸近線(xiàn)方程為丁=±2%.

設(shè)與雙曲線(xiàn)?一%2=1有共同漸近線(xiàn)的方程為?一%2=a?W0),又

22

(2,2)在雙曲線(xiàn)上，故彳-22=九解得4=-3.

故所求雙曲線(xiàn)方程為?一?=-3,即n=i.

所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±2x.

6.如圖所示，已知雙曲線(xiàn)以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)4,B為左、

右焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)過(guò)C,。兩頂點(diǎn).若AB=4,BC=3,則此雙曲線(xiàn)

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案f一弓=1

解析設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一￡=1(。＞0,。＞0).由題意得

B(2,0),C(2,3),

4=〃+。2,

次=1,

49?解得

廠(chǎng)產(chǎn)上b2=3,

二.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-^=l.

7.已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為2對(duì)3y=0,且焦距是2小，則雙

曲線(xiàn)方程為.

答案或

解析設(shè)雙曲線(xiàn)方程為卷一3=4抄0).

Z74

若丸＞0,則*=9九〃=42,

/=〃+〃=132.

由題設(shè)知2c=2冊(cè)5,「.2=1,

故所求雙曲線(xiàn)方程為「一%1；

y4-

若k0,則〃=—4九〃=一9九

/=4+抉=—132.由2c=2^/13,.*.A=—1,

22

故所求雙曲線(xiàn)方程為1―5=1.

綜上，所求雙曲線(xiàn)方程為點(diǎn)一7=1或？一點(diǎn)=1.

yH-4-y

1雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方X2V2y2x2

萬(wàn)一啟=1(〃>0,b>0))一爐=1(〃>0,h>0)

程

圖形

2等軸雙曲線(xiàn)及性質(zhì)

(1)等軸雙曲線(xiàn)：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相笠的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn),

其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)作：/—y=/Qwo).

(2)等軸雙曲線(xiàn)o離心率6=啦臺(tái)兩條漸近線(xiàn)總工相互垂直.

/丫2

3點(diǎn)P(xo,yo)和雙曲線(xiàn)公=1(。＞0,〃＞0)的關(guān)系

M注意點(diǎn)雙曲線(xiàn)的離心率與曲線(xiàn)開(kāi)口大小的關(guān)系

離心率e的取值范圍：e＞l,當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越

??；e越接近于+8時(shí)，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大.

1.思維辨析

⑴雙曲線(xiàn)方程.一%=“心0,〃〉0,掙0）的漸近線(xiàn)方程是a一5

=0,即工±*=0.（）

mn、/

（2）等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)互相垂直，離心率等于啦.（）

jp-丫2冗2y2

（3）若雙曲線(xiàn)了一臺(tái)=l（a〉0,匕＞0）與/一，=1（。＞0,?！?）的離心率

分別是約，及，則上+5=1（此結(jié)論中兩條雙曲線(xiàn)稱(chēng)為共輾雙曲

線(xiàn)）.（）

（4）漸近線(xiàn)的斜率與雙曲線(xiàn)的離心率的關(guān)系是仁川田+1.（）

答案⑴J（2）V（3）V（4）X

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y

軸上，一條漸近線(xiàn)方程為％—2y=0,則它的離心率為（）

A.小B坐

C.小D.2

答案A

解析依題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程是W=l（其中。＞0,人＞0）,則

其漸近線(xiàn)方程是尸土張，由題知方=今即b=2o,因此其離心率e=

N屋+爐—小r-

a-a―弋?

?2

3.以橢圓5+5=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的漸近

線(xiàn)方程為.

答案y=±V久

解析橢圓，+￡=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(—1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2,0),(-2,0).

則雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為(1,0),(-1,0),焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0).

則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：％2—苧=1.

其漸近線(xiàn)為y=±y［3x.

>［考法綜述］高考對(duì)于雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的考查以理解和運(yùn)

用為主，雙曲線(xiàn)獨(dú)有的漸近線(xiàn)是高頻考點(diǎn)，常與其他圓錐曲線(xiàn)綜合考

查，難度較大.

命題法雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)

典例(1)已知為、尸2分別是雙曲線(xiàn)滔一%=1(。>0,8>0)的左、

右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)八與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)另一條

漸近線(xiàn)于點(diǎn)"，若點(diǎn)M在以線(xiàn)段為直徑的圓外，則雙曲線(xiàn)離心

率的取值范圍是()

A.(1,也)B.(啦，小)

C.他,2)D.(2,+8)

(2)過(guò)雙曲線(xiàn)$一方=l(a>0,力>0)的左焦點(diǎn)尸作圓O：x2+y2=a2

的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B,雙曲線(xiàn)左頂點(diǎn)為C,若NAC8=120。，

則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為()

C.y=±yj2xD.y=±拳x

［解析］(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)B(c,0)且與漸近線(xiàn)平Ct行的直

（b,、

hb尸*」），

線(xiàn)為c),與另一條漸近線(xiàn)y=一力聯(lián)立得<“

ab

y=—~x,

ra

?.?點(diǎn)〃在以線(xiàn)段為直徑的圓夕卜,

/.\OM\>c,

，雙曲線(xiàn)離心率e=*、l1+g}>2.

故雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是(2,+8).故選D.

(2)如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)最一方=l(a〉O,〃〉0)的焦距為2c(c>0),

則C(~a,0),F(-c,0).

由雙曲線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)A與點(diǎn)3關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，則NACO

=ZBCO=|zACB=1x120°=60°.

'：\OA\=\OC\^a,「.△ACO為等邊三角形，AZAOC=60°.

?二M切圓O于點(diǎn)A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=90°-ZAOF=90°-60°=30°,

.'.\OF\=2\OA\,即c=2a,.,.b=ylc2—a2=-\l(2a)2—a2=-\[3a,故

雙曲線(xiàn)最一方=1(。>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為尸土，，即尸

|答案](1)D(2)A

Q【解題法】求雙曲線(xiàn)離心率、漸近線(xiàn)問(wèn)題的一般方法

(1)求雙曲線(xiàn)的離心率時(shí)，將提供的雙曲線(xiàn)的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)

于雙曲線(xiàn)基本量a,b,c的方程或不等式，利用加=/一/和e=:轉(zhuǎn)

化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或

取值范圍.

（2）求漸近線(xiàn)時(shí)，利用，=/+序轉(zhuǎn)化為關(guān)于訪(fǎng)的方程或不等

式.雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率與離心率的關(guān)系.

1.已知43為雙曲線(xiàn)E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在七上，/XABM

為等腰三角形，且頂角為120。，則E的離心率為（）

A聿B.2

C.小D.y/2

答案D

/V2

解析設(shè)雙曲線(xiàn)方程為六一爐=1（。>。，匕〉0），不妨設(shè)點(diǎn)M在雙

曲線(xiàn)的右支上，如圖，AB=BM=2a,NMBA=120。，作〃軸于

H,則NM8”=60。，BH=a,MH=y[3a,所以M（2a,小a）.將點(diǎn)〃

的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，一g=l,得a=b,所以e=隹故選D.

99

2.若雙曲線(xiàn)E：5一器=1的左、右焦點(diǎn)分別為丹，6，點(diǎn)尸在

雙曲線(xiàn)￡上，且|PF1|=3,則|尸等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依題意知，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的左支上，根據(jù)雙曲線(xiàn)

的定義，得|PF2|一|P為|=2*3=6,所以|PB|=6+3=9,故選B.

解法二:根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得||P尸2Mp尸川=2X3=6,所以||PB|

-3|=6,所以|PB|=9或『尸2|=一3（舍去）,故選B.

3.將離心率為ei的雙曲線(xiàn)G的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a乎b）

同時(shí)增加雙心0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為及的雙曲線(xiàn)。2,則（）

A.對(duì)任意的a,b,e\>ei

B.當(dāng)時(shí)，e\>ei-,當(dāng)時(shí)，e\<ei

C.對(duì)任意的a,b,e\<ei

D.當(dāng)a>匕時(shí)，e\<ei-,當(dāng)時(shí)，e\>ez

答案D

副弟今密*+爐/問(wèn)d（a+"2）2+3+"?）2

斛析依延思，e尸。=\p+/e2=狂機(jī)

b~\~mb/+加_ab+bm—ab-am_m(b_a)

1+2因?yàn)橛捎?/p>

、。+旬'aa-\-mG(Q+，")a(a-\-m)

1”,,,bb~\~mbb~\~m

機(jī)>0,?>0,h>Q,且a#兒所以當(dāng)a泌時(shí)，0<-<1,0<^<1,萬(wàn)京，

⑶（b+ni\力h+mbb+m

0<仁同，所以約々2；當(dāng)時(shí)，->1,在/I，而不不：所

以件〉伶攔］2,所以C.所以當(dāng)時(shí)，ei<e2;當(dāng)a<0時(shí)，ei>e2,

W\ci~rinj

故選D.

4.過(guò)雙曲線(xiàn)％2—日=1的右焦點(diǎn)且與X軸垂直的直線(xiàn)，交該雙曲

線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)于A(yíng),8兩點(diǎn)，則H8|=（）

4s

B.2小

,3

C.6D.4小

答案D

解析由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（一『=1得，右焦點(diǎn)廠(chǎng)（2,0）,兩條

漸近線(xiàn)方程為y=±Vix,直線(xiàn)A&x=2,所以不妨取4（2,2?。?，3（2,

—25則|4回=4仍，選D.

5.已知產(chǎn)為雙曲線(xiàn)C：好一4廿=3加（加〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到

C的一條漸近線(xiàn)的距離為（）

A.^3B.3

C.小mD.3m

答案A

解析由題意，可得雙曲線(xiàn)c為方］-全=1,則雙曲線(xiàn)的半焦距

c=、3m+3.不妨取右焦點(diǎn)（、3"+3,0）,其漸近線(xiàn)方程為曠=±詬X,

3

即方麗y=0.所以由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得d=1黑土=小.故選A.

Y1十"2

r2v2v2v2

6.若實(shí)數(shù)Z滿(mǎn)足0<M9,則曲線(xiàn)會(huì)一七=1與曲線(xiàn)左匕一會(huì)=

239~K25—Ky

1的（）

A.焦距相等B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等

C.虛半軸長(zhǎng)相等D.離心率相等

答案A

?222

解析因?yàn)?<上9,所以方程表-34=1與1均表

2D9—K25—ky

示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).雙曲線(xiàn)短一占=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為10,

2D9—K

______________^2?

虛軸長(zhǎng)為2秒二I焦距為2弋25+9—左=2^34—左；雙曲線(xiàn)=一

NDKV

=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為2\]25-限虛軸長(zhǎng)為6,焦距為2、25-k+9=

2弋34一七因此兩曲線(xiàn)的焦距相等,故選A.

7.已知a泌〉0,橢圓G的方程為了+方=1,雙曲線(xiàn)Q的方程

為，一/1,C與C2的離心率之積為零則Q的漸近線(xiàn)方程為（：）

A.x±\l?.y=0B.啦x±y=0

C.x±2y—0D.2x±y—0

答案A

解析由題意，知橢圓G的離心率的=也?，

雙曲線(xiàn)G的離心率為e2=』。了一

田為_(kāi)立斫,[伍2一左乂屋+加）小

因?yàn)閑\-e2—2，所以4—2，

F（/一左乂足+心）3

即a4一不

整理可得。=媳尻

又雙曲線(xiàn)。2的漸近線(xiàn)方程為hx±ay=O,

所以hx±\[2by=0,即％上&y=0.

8.設(shè)丹，/2分別為雙曲線(xiàn)，一￡=1（。>0,8>0）的左、右焦點(diǎn)，雙

9

曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得|PA|十|PF2|=36,|尸尸1|?|06|=平江則該雙曲

線(xiàn)的離心率為（）

A-3B1

9

C.4D.3

答案B

解析根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義||尸碎一|PB||=2a,可得|PQ|2-

22

2|PFI||PF2|+IPF2I=4a2.而由已知可得『HF+2|PFI||PF2|+|PF2|=

9

9b2,兩式作差可得一4|尸R||PF2|=4Q2—9〃.又|HFi||PF2|=z",所以有

4足+9必一9扶=0,即（4。-3加（。+3。）=0,得4a=3b,平方得16a2

c2255

=9左，即16〃=9（c2—/）,即25辟=9已%=年,所以\=玄故選

ClyJ

B.

x2?

9.點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)戶(hù)-金=l（a>0,?！?）上，F(xiàn)i,F2分別是雙曲線(xiàn)

的左、右焦點(diǎn)，ZFIPF2=90°,且的三條邊長(zhǎng)之比為3：4：

5.則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）

A.y=±2-\[3xB.y=±4x

C.y=±2小xD.y=+2y{6x

答案D

解析設(shè)的三條邊長(zhǎng)為|PFi|=3機(jī)，|PB|=4機(jī)，|FIF2|=

5m,m>0,則2a=\PF2\—\PF\\=m,2c=\F}F2\=5m,所以b=y[6m,

所以]=乎=2疵，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y=±2冊(cè)乂

2m

10.設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為2的等軸雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為B,F2,以為直

徑的圓交雙曲線(xiàn)于A(yíng)、B、C、D四點(diǎn)，則|尸園+尸田+|尸心+國(guó)。|

=()

A.4^3B.2小

C.小D坐

答案A

解析依題意，設(shè)題中的雙曲線(xiàn)方程是%2—)2=1,不妨設(shè)點(diǎn)A、

3、C、。依次位于第一、二、三、四象限，則有

\AF\\—\AF^\=2

河|2+叱=尸園2=8'由此解得

1,同理|。川=3西|=小+1,|。尸1|=出人|=總同=小一1,\AFi\+\BFx\

+\CF{\+\DFy\=4y[3,選A.

11.已知點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)$一卓=1(。>0,6>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2

分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，/為△PFxFi的內(nèi)心，若

1PF—IPF+IFF

122?2成立，則雙曲線(xiàn)的離心率為()

A.4B.|

5

C.2D.g

答案C

解析

12.設(shè)廠(chǎng)是雙曲線(xiàn)C：a一看=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)尸,

使線(xiàn)段PE的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則。的離心率為.

答案y[5

解析由已知不妨設(shè)F(-c,0),虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B(0,b),B

恰為線(xiàn)段Pb的中點(diǎn)，故P(c,2b),代入雙曲線(xiàn)方程，由興一嚏"=1

得宗=5,即/=5,又e>l,故e=小.

2

13.已知雙曲線(xiàn)r/一>2=1（4〉0）的一條漸近線(xiàn)為小工+>=0,則Q

答案事

解析因?yàn)殡p曲線(xiàn)，一步=13>0）的一條漸近線(xiàn)為y=一5了,即

y=±%,所以;=小，故。=坐

/丫2

14.設(shè)直線(xiàn)％—3y+m=0OW0）與雙曲線(xiàn)了一方=l（a〉O,。>0）的

兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)4區(qū)若點(diǎn)P（八0）滿(mǎn)足|用|=|P8|,則該雙曲線(xiàn)

的離心率是.

答案坐

X—3y+m=0,z[、

,口{ambmj

{尸3得心"3b-<7/

「％—3y+m=0,,、

.I_zambm

由傳4―赤二，3b+aj，

一一,,,,2

人!|線(xiàn)段A3的中八、、為,年/處c2^_m〃，9/37b2—ma2,/

2

由題意得PA1_LA3,APM=—3,得。2=4爐=4,一4a,故/=

5.=止

4*''e~2'

15.設(shè)R,g是雙曲線(xiàn)C：a一次=1（。>0,8>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

是C上一點(diǎn).若『尸i|+|PB|=6a,且的最小內(nèi)角為30。，則C

的離心率為.

答案小

解析不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線(xiàn)C的右支上，由雙曲線(xiàn)定義知|PB|

-\PF2\=2a,

又因?yàn)镮PBI+IP尸2|=6a,所以|PB|=4m\PF2\=2a,

因?yàn)閨PQ|>|PB|,所以NPE尸2為最小內(nèi)角，因此NPBF2=30。，

222

在△PF\Fz中，由余弦定理可知，\PF2\=|PFi|+|FIF2|一

2|PFI|-|FIF2|-COS30°,4a2=16a2+4c2—8-\/3ac,所以c2—23”,+3屋

=0,兩邊同除以次，得/—2小e+3=0,解得e=小.

16.已知雙曲線(xiàn)宏一g=1(。>0，6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,

尸2，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，且|PFi|=4|P6|,則雙曲線(xiàn)的離心率e

的最大值為.

答案|

解析設(shè)NFIPF2=8,

Q

|PFi|-|PF|=2a,\PFi\=^a,

由,2得s

|PFI|=4|PF2||PF2|=|a,

工人口、^工C17a2—9c2179

由余弦正理何cos6>=—0—=~8~se7'

179?5

V0e(0,7r],；.cos^e[-l,l),一1W2，又e>l,l<eWg.

88e<l

晟已知圓G：(%+3)2+y2=l和圓。2：(%—3)2+》2=9,動(dòng)圓M

同時(shí)與圓G及圓Q外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

［錯(cuò)解］

［錯(cuò)因分析］在解答本題時(shí)，容易因錯(cuò)誤運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義而出

錯(cuò).本題中，|MQ|—|MG|=2,與雙曲線(xiàn)的定義相比，等式左邊少了

外層絕對(duì)值，因此只能表示雙曲線(xiàn)的一支，如果不注意這一點(diǎn)，就會(huì)

得出點(diǎn)〃的軌跡方程為r—?=1這一錯(cuò)誤結(jié)果.

O

［正解］如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓G分別外切于A(yíng)和8

兩點(diǎn).連接MG,MC2.

根據(jù)兩圓外切的條件，得

\MCi\~\ACi\=\MA\,\MC2\~\BC2\=\MB\.

因?yàn)閨K4|=|MB|,所以\MCx|—|AG|=IMC2I—|3C2|,即|MC2|-|MCI|

=|3C2|-|AG|=3-1=2.

所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)G,C2的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)的左支（點(diǎn)M與

Q的距離比與C的距離大），可設(shè)軌跡方程為，一%=1（。>0,岳0,

%<0）,其中Q=1,c=3,則〃=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為?=1（%<0）.

O

［心得體會(huì)］

.整課時(shí)撬分練

時(shí)間：60分鐘

基礎(chǔ)組

22

1.［2016?武邑中學(xué)模擬］已知雙曲線(xiàn)于一3=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物

線(xiàn)產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)重合，且雙曲線(xiàn)的離心率等于小，則該雙曲線(xiàn)的方

程為（）

A.5/一與=1B.y—^=1

C&Y=1D.5-竽=1

答案D

解析?..拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為網(wǎng)1,0）,，c=l.

又\=小，：.°=玉,.,.加='—。2=1-］='.

故所求方程為5/一竽=1,故選D.

%2v2

2.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)是“方程后^一言=1表

示雙曲線(xiàn)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

YV

解析方程；表示雙曲線(xiàn)’則(m—8)(〃L10)〉0,

r2v2

解得機(jī)<8或心1。，故，，W是“方程官=1表示雙曲線(xiàn)”

的充分不必要條件，故選A.

3.[2016彳嵬水中學(xué)周測(cè)]已知點(diǎn)知(-3,0)、N(3,0)、5(1,0),動(dòng)圓C

與直線(xiàn)MN相切于點(diǎn)3,分別過(guò)點(diǎn)M、N且與圓C相切的兩條直線(xiàn)相

交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P的軌跡方程為()

v2?

A.』一弓=1(%>1)B.x2-—=l(^>0)

oin1U

y2y2

C.%2—K=l(x>0)D.X2—777=1(A：>1)

o1U

答案A

解析如圖所示，設(shè)兩切線(xiàn)分別與圓相切于點(diǎn)S、T,貝U|PM|一|PN|

=(|PS|+|SM)—(|P7]+I力V|)=|SM-|力V|=|8M—|BNl=2=2a,所以所

求曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的右支且不能與％軸相交，。=1,c=3,所以〃=8,

故點(diǎn)P的軌跡方程為5=1(%>1).

O

4.[2016?冀州中學(xué)月考]以正三角形ABC的頂點(diǎn)A,8為焦點(diǎn)的

雙曲線(xiàn)恰好平分邊AC,BC,則雙曲線(xiàn)的離心率為()

A.A/3-1B.2

C.V3+1D.2小

答案C

解析如圖，設(shè)|AB|=2c,顯然|AD|=c,|8D|=Sc,即（小一l）c

=2〃，

=小+1,

...選C.

5.[2016?武邑中學(xué)周測(cè)]已知雙曲線(xiàn)§—/=l（a>0,b>0）的離心

率為小，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）

B.y—±\l2x

C.y=±2xD.y=±,x

答案A

解析由題意得，雙曲線(xiàn)的離心率0=：=小，故￡=乎，故雙曲

線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±%，選A.

/丫2

6.[20⑹衡水中學(xué)月考]已知雙曲線(xiàn)C：^2-^2=1（?>0,。>0）的焦

距為2小，拋物線(xiàn)>=點(diǎn)？+1與雙曲線(xiàn)。的漸近線(xiàn)相切，則雙曲線(xiàn)C

的方程為（）

解析由對(duì)稱(chēng)性，取一條漸近線(xiàn)y=gx即可，把代入產(chǎn)上

1hhr1

得育2—不+由題意得即2

f+l,loa1=0,azlol=-2—4X—X1=0,a=

4b2,又c=小，.'.c2—a2+h2=5h2—5,b2=1,a2=4,選D.

7.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)猜題]已知雙曲線(xiàn)也一方=l（a>0,入0）的左焦

點(diǎn)為左、右頂點(diǎn)分別為4、A2,P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則分別

以線(xiàn)段尸凡，4A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切

C.相離D.以上情況都有可能

答案B

解析設(shè)以線(xiàn)段PB,AN2為直徑的兩圓的半徑分別為小，-2,

若P在雙曲線(xiàn)左支，如圖所示，則IO2O11=；|PB|=；(|PQ|+2fl)=1|PF,I

+?=n+r2,即圓心距為半徑之和，兩圓外切，若尸在雙曲線(xiàn)右支，

同理求得|。2。||=「|一「2,故此時(shí)，兩圓相內(nèi)切，綜上，兩圓相切，故

選B.

8.[2016彳氮水中學(xué)期中]已知Fi,弦為雙曲線(xiàn)C：9=2的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，|PFI|=2|PF2|,則COSNBPF2=()

A.1B.|

C.1D.1

答案C

解析由題意可知。c=2.

,.,|PFI|=2|PF2|,又1PBi一甲尸2|=2啦,

：.\PFi\=4yj2,儼兄=2巾,|FIF2|=4.

22

IPFiP+lPFd—IFIF2|

由余弦定理得COSZF,PF=

2'9lI\Lrrh\\-p\rfr2\

(4加(+(2啦423將件「

=2X2巾X4巾=不故選C

9.[2016?武邑中學(xué)期中]設(shè)尸2是雙曲線(xiàn)f—若=1的兩個(gè)焦

點(diǎn)，尸是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且3|PR|=4|尸F(xiàn)2I，則△PB/2的面積等于

()

A.4啦B.8^3

C.24D.48

答案c

解析雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為尸產(chǎn)21=2X5=10.據(jù)題意和

雙曲線(xiàn)的定義知，2=|所|-\PF2\=||PF2|-|PF2|=||PF2|,

：.\PF2\=6,|PFI|=8.

222

.,.|PFI|+|PF2|=|FIF2|,

:.PFISF2,

/.5APF|F2=1|PFIMPF2|=1X6X8=24,故選C.

29

10.[2016箱水中學(xué)期末]已知F,,B是雙曲線(xiàn)?一g=1（4>0,

匕〉0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)y

b、

=/對(duì)稱(chēng)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

A.坐B(niǎo).小

C.啦D.2

答案B

解析由題意可知漸近線(xiàn)為PF2的中垂線(xiàn)，設(shè)M為尸尸2的中點(diǎn)，

MF。h

所以O(shè)M_LPF2.tanNMOF2=-^J=Z，因?yàn)镺F2=c,所以MF2=b,

OM=Q.因此PB=2〃，PF\=2a,又因?yàn)槭現(xiàn)2一尸凡=2a,所以。=2”，

則c2=a2+b2=5a2,即c=y[5a,故e=\=小.

11.[2016?冀州中學(xué)期末]若雙曲線(xiàn)$一￡=1（〃>0,比>0）的一個(gè)焦

點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的1則該雙曲線(xiàn)的離心率為

答案皆

解析雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為加一0=0,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（c,0）.根據(jù)題意：弋2c,所以c=2。，a=yjc2—b2=y{3b,

圻“_￡__2__2事

所以吁「小一3.

12.［2016箱水中學(xué)預(yù)測(cè)］雙曲線(xiàn)系一臺(tái)=l（a>0,。>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為6和B,左、右頂點(diǎn)分別為4和A2,過(guò)焦點(diǎn)6與％軸垂

直的直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P,若|91|是IBBI和I4BI的等比中

項(xiàng)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

答案啦

———彷

解析由題意可知|用1F=