專題06用空間向量研究距離夾角問題12種常考題型歸類（88題）（原卷版）

專題06用空間向量研究距離、夾角問題12種常考題型歸類（88題）題型一求點(diǎn)到直線的距離（一）求點(diǎn)線距（二）根據(jù)點(diǎn)線距求值（三）求點(diǎn)線距的最值題型二求點(diǎn)到平面的距離題型三求直線與平面的距離題型四求兩平行平面的距離題型五求兩條異面直線的距離題型六求異面直線所成的角（一）求線線角（二）求線線角的最值或范圍題型七已知線線角求其他量題型八求直線與平面所成的角（一）求線面角（二）求線面角的最值或范圍題型九已知線面角求其他量題型十求兩平面的夾角（二面角）題型十一已知面面角求其他量題型十二立體幾何中的探索性問題知識點(diǎn)1：點(diǎn)到線面距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.知識點(diǎn)2：用向量法求空間角1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；解題策略1．兩條平行直線a，b之間的距離如圖1，兩條平行直線a，b之間的距離可以看成直線b上一點(diǎn)A到直線a的距離，則d＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2－\f(\o(AB,\s\up6(→))·a,|a|)2)，其中A∈b，B∈a，a是直線a的方向向量．2．異面直線a，b之間的距離如圖2，設(shè)A∈a，B∈b，與兩條直線的方向向量都垂直的向量為n，則異面直線a，b之間的距離為向量eq\o(AB,\s\up6(→))在n方向上投影向量的模，即d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).3．直線到平面的距離、兩平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離如圖3，直線l到平面α的距離可轉(zhuǎn)化為直線l上一點(diǎn)A到平面α的距離，即直線l到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).如圖4，與平面α平行的平面β到平面α的距離等于平面β上一點(diǎn)A到平面α的距離，即d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).4.向量法求點(diǎn)到直線的距離的兩種思路(1)直接套用點(diǎn)到直線的距離公式求解的步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→直線的方向向量a→所求點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的向量eq\o(PP′,\s\up6(→))及其在直線的方向向量a上的投影向量的長度→代入公式．注意平行直線之間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．(2)將求點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模的問題，即利用待定系數(shù)法求出垂足的坐標(biāo)，然后求出向量的模．5.向量法求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)求出該平面的一個法向量．(3)找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量．(4)求出法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．6.直線到平面的距離、兩個平行平面之間的距離(1)當(dāng)直線與平面平行時，要求直線到平面的距離，需要在直線上任取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到平面的距離即可．(2)當(dāng)平面與平面平行時，要求兩個平面之間的距離，需在一個平面內(nèi)找到一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到另一個平面的距離即可．7．利用法向量求直線AB與平面α所成的角θ的步驟(1)求平面α的法向量n.(2)利用公式sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))||n|))確定θ，注意直線與平面所成角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).8．利用法向量求兩平面夾角的步驟(1)求兩平面的法向量．(2)求兩法向量的夾角的余弦值，從而確定夾角的大小，注意兩平面夾角的取值范圍為[0，eq\f(π,2)].9.兩異面直線所成的角的求法(1)平移法：通過平移其中一條(也可兩條同時平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過解三角形求解．(2)取定基底法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，我們經(jīng)常采用取定基底的方法，這是小技巧．在利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求向量a，b的夾角時，關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|，一般是把a(bǔ)，b用一個基底表示出來，再求有關(guān)的量．(3)用坐標(biāo)法求異面直線的夾角的方法①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②找到兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)形式；③利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；④結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．10.求直線與平面所成的角的思路與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面所成的角可利用向量夾角公式或法向量．11.利用法向量求直線與平面所成的角的基本步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量eq\o(AB,\s\up6(→))；(3)求平面的法向量n；(4)計算：設(shè)直線與平面所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|n||\o(AB,\s\up6(→))|)).12.平面與平面夾角的向量求法(1)若AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則平面α與平面β的夾角就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角或其補(bǔ)角(如圖①)．(2)利用坐標(biāo)法求平面與平面夾角的步驟設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個平面夾角的大小，如圖②.利用坐標(biāo)法的解題步驟如下：①建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．②求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個平面的法向量n1，n2.③計算：設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).13.立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度．這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性．14.利用向量解決存在性問題的方法策略首先，假定題中的數(shù)學(xué)對象存在；其次，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系；再次，利用空間向量法把存在性問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)是否有解問題；最后，解方程，下結(jié)論．利用上述思維策略，可使此類存在性難題變?yōu)槌Ｒ?guī)問題．題型一求點(diǎn)到直線的距離（一）求點(diǎn)線距1．（2024·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_____________．2．（2024·高二課時練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．3.（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．5．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．（二）根據(jù)點(diǎn)線距求值6.【多選】（2023春·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）點(diǎn)在軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為的直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．7．（2024·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．（三）求點(diǎn)線距的最值8.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2024·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.題型二求點(diǎn)到平面的距離10．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.11.（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．12．（2024·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．13．（2024·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．14．（2024·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．15．（2024·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．16．（2024·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.17．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．(1)求；(2)求點(diǎn)B到平面PAM的距離．18.（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）在直角梯形中，，為中點(diǎn)，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面，如圖（2）．(1)求證：；(2)若為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．題型三求直線與平面的距離19.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為___________.20.（2023·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)、分別為棱，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.21.（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)校考期末）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線到平面的距離．題型四求兩平行平面的距離22．（2024·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．23．（2024·高二課時練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．25．（2024·高二課時練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．26．【多選】（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離是B．點(diǎn)到平面的距離為C．平面與平面間的距離為D．點(diǎn)到直線的距離為題型五求兩條異面直線的距離27．【多選】（2024·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為28．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形中，，，，．(1)求證：；(2)求異面直線與的距離；(3)求二面角的大?。?9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動點(diǎn)，則MN的最小值為______．30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是______．31．（2024·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．題型六求異面直線所成的角（一）求線線角32．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校校考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，BD，的中點(diǎn)，則與FG所成的角的余弦值為______.

33.（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．34．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，，M為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線AC，BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．35．（2024·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.36.（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.（二）求線線角的最值或范圍37．（2024·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，為直線上的異于點(diǎn)的動點(diǎn)，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．38.（2023·高三課時練習(xí)）已知平面，四邊形是矩形，為定長，當(dāng)?shù)拈L度變化時，異面直線與所成角的取值范圍是______．39.（2023春·高二單元測試）三棱錐中，兩兩垂直且相等，點(diǎn)分別是線段和上移動，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（

）A． B．C． D．40．（2024·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時，則線段的長為____________41.（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動點(diǎn)，與所成角的余弦值的最大值為（

）

A． B． C． D．題型七已知線線角求其他量42．（2024·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面.(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.43．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.44．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.45．（2024·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），且．若直線與所成角的余弦值是，則（

）A． B． C． D．46.【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，為等邊三角形，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，若異面直線與所成角的余弦值為，則的值可能為（

）A． B．1 C． D．47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為___________.題型八求直線與平面所成的角（一）求線面角48.（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．49．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．50．（2024·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，E在線段上，且.

(1)求證：平面DBE；(2)求直線與平面DBE所成角的正弦值.51．（2024·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.52．（2024·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱錐P－ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC，垂足為，過點(diǎn)作平面，垂足為，連接并延長交于點(diǎn)．

(1)證明：起的中點(diǎn)．(2)求直線與平面夾角的正弦值．53．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．54．（2024·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖①，在中，B為直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)D在線段AC上．

(1)求證：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．55．（2024·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點(diǎn)M在直線上，求直線AB與平面所成角的正弦值的最大值.（二）求線面角最值或范圍56.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，若，．

(1)證明：平面平面；(2)若分別是的中點(diǎn)，動點(diǎn)在線段上移動，設(shè)為直線與平面所成角，求的取值范圍．57.（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點(diǎn)，且.

(1)求證：；(2)若點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.58.（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面是邊長為2的正方形，點(diǎn)在棱上，.

(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角最大時，求四棱錐的體積.題型九已知線面角求其他量59.（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┮阎睦忮F的底面為平行四邊形，，，，平面，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．60．（2024·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟w，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.61．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，求：

(1)與所成角的大??；(2)二面角的大??；(3)點(diǎn)在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請判斷點(diǎn)的位置，并說明理由.62．（2024·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線段上滿足，求二面角的余弦值.63．（2024·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，D為AB的中點(diǎn)，，．

(1)若，證明：平面；(2)若直線與平面所成角為，求的值；64．（2024·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，的中點(diǎn)為.

(1)證明：直線平面；(2)若，當(dāng)直線與平面所成的角最大時，求三棱錐的體積.65．（2024·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊PC上的一個點(diǎn).

(1)求證:平面AEF⊥平面PAD；(2)若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成角的正切值的最大值為，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.66．（2024·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，且，，且，且.平面，.

(1)求平面與平面的夾角的正弦值；(2)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長.題型十求兩平面的夾角（二面角）（一）求面面角67．（2024·吉林四平·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點(diǎn)，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．68．（2024·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.69．（2024·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.70．（2024·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.71．（2024·四川瀘州·高二瀘縣五中校考期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.72．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．（二）求面面角的最值或范圍73.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎比庵?，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)..

(1)證明：；(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點(diǎn)的位置.74.（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且滿足，面ABCD.(1)當(dāng)時，證明：//平面；(2)當(dāng)為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最??？75.（2023春·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為正方形，，，平面平面，，點(diǎn)為上的動點(diǎn)，平面與平面所成的二面角為為銳角，則當(dāng)取最小值時，=__________．題型十一已知面面角求其他量76．（2024·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.77．（2024·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．

(1)證明：．(2)若二面角的余弦值為，求的值．78．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．79．（2024·湖南郴州·高二?？计谀┱庵校瑸榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)在上.

(1)證明：平面；(2)若二面角大小為，求以為頂點(diǎn)的四面體體積.80．（2024·全國·高二假期作業(yè)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

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