13.5 逆命題與逆定理-2023-2024學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件

13.5逆命題與逆定理1.互逆命題與互逆定理1.理解互逆命題、互逆定理的概念，能寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題并能判定其真假；(重點(diǎn))2.能用學(xué)過(guò)的知識(shí)證明一個(gè)定理的逆命題是真命題還是假命題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.什么叫命題？2.命題由幾部分組成，一般可以寫(xiě)成什么樣的形式？3.命題有真命題和假命題之分.復(fù)習(xí)引入表示判斷的語(yǔ)句叫做命題.由條件和結(jié)論兩部分組成.可以寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式.互逆命題與互逆定理說(shuō)出下列命題的條件和結(jié)論：1.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；指出下列命題的條件和結(jié)論，并說(shuō)出它們的逆命題.(1)如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余.

例1(2)等邊三角形的每個(gè)角都等于60°.（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.（4）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（5）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)歸納

每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成結(jié)論，并將結(jié)論改成條件，便可得到原命題的逆命題．但是原命題正確，它的逆命題未必正確．

例如真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為“相等的角是對(duì)頂角”，此命題就是假命題．例2舉例說(shuō)明下列命題的逆命題是假命題.（1）如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5，那么這個(gè)整數(shù)能被5整除.（2）如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等.如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.我們已經(jīng)知道命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和它的逆命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”都是定理，因此它們就是互逆定理．歸納一個(gè)假命題的逆命題可以是真命題，甚至可以是定理．例如“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，但它的逆命題“對(duì)頂角相等”是真命題，且是定理．注意1：逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理，一定是真命題.注意2：不是所有的定理都有逆定理.2.線段垂直平分線1.理解和掌握線段垂直平分線的定理及其逆定理，并能利用它們來(lái)進(jìn)行證明或計(jì)算.(重點(diǎn))2.知道線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.3.了解數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)

高速公路AB在某高速公路

l的同側(cè)，有兩個(gè)工廠

A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒(méi)意見(jiàn)，問(wèn)醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?l生活中的數(shù)學(xué)線段垂直平分線的性質(zhì)定理如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.將線段AB沿直線MN對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么？如何表達(dá)，并簡(jiǎn)述你的證明過(guò)程.MNPACB對(duì)折后

PA、PB能夠完全重合，PA=PB.下面我們來(lái)證明剛才得到的結(jié)論：證明：∵M(jìn)N⊥AB（已知），∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定義).在△ACP和△BCP中，∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，PC=PC，∴△ACP≌△BCP(S.A.S.).∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).MNPACB你能用一句話來(lái)描述剛得到的結(jié)論嗎？線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：MNPACB幾何語(yǔ)言敘述：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（或PC⊥AB，AC=BC），∴PA=PB.線段垂直平分線的判定定理這一定理描述了線段垂直平分線的性質(zhì)，那么反過(guò)來(lái)會(huì)有什么結(jié)果呢？寫(xiě)出性質(zhì)定理及其逆命題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等一個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上想想看，這個(gè)逆命題是不是一個(gè)真命題？你能證明嗎？逆命題如果一個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上.已知：如圖，QA＝QB.求證：點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上．

分析：為了證明點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB；也可以先平分線段AB，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C，然后證明QC垂直于線段AB．你能根據(jù)分析中后一種添加輔助線的方法，寫(xiě)出它的證明過(guò)程嗎？證明：過(guò)點(diǎn)Q作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC，∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.∴AC=BC.∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上．定理到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.PAB線段垂直平分線的判定定理到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.PAB線段垂直平分線的判定發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．l是

AB的垂直平分線m是

BC的垂直平分線OA=OBOB

=OCOA

=OC點(diǎn)

O在

AC的垂直平分線

n上BCAOlnmBCAPlnm3.角平分線1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)及判定；（重點(diǎn)）2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理．能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（難點(diǎn)）3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理證明意識(shí)和能力．學(xué)習(xí)目標(biāo)ABC問(wèn)題情境在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等，請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置，P在何處？角是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？DPACBEO角平分線的性質(zhì)定理如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上的任意一點(diǎn)，且PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，將∠AOB沿OC對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么？如何表達(dá)，并簡(jiǎn)述你的證明過(guò)程.DPACBEO證明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE中，∵∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP，∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE.角平分線性質(zhì)定理的逆定理這一定理描述了角平分線的性質(zhì)，那么反過(guò)來(lái)會(huì)有什么結(jié)果呢？寫(xiě)出性質(zhì)定理及其逆命題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上逆命題如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.分析：為了證明點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上，可以先作射線

OP，然后證明Rt△PDO≌Rt△PEO，從而得到∠AOP=∠BOP.BADOPE證明：作射線OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO(H.L.).BADOPE∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.BADOPEDPACBEO應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.角平分線的判定定理與性質(zhì)定理互為逆定理.DPACBEO利用尺規(guī)作三角形的三條角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢?A

B

C

P

N

M

點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明證明其中的兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：A

B

C

O

F

H

DEIG試試看，你會(huì)寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？AO是∠BAC的平分線BO是∠ABC的平分線OI=OHOG=OIOH=OG點(diǎn)

O在∠BCA的平分線上例如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P也在∠A的平分線上.ABCPNM證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D、E、F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上，即點(diǎn)P到AB、BC、CA三邊的距離相等.ABCPEDFMN1.在你學(xué)過(guò)的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個(gè)例子說(shuō)明.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).真命題逆命題：如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么它有兩個(gè)角相等.真命題當(dāng)堂練習(xí)2.說(shuō)出下列命題的逆命題，并判定逆命題的真假：①既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱的圖形是圓.②有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.③磁懸浮列車是一種高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具.1.如圖所示，AC=AD，BC=BD，則下列說(shuō)法正確的是（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBAＡＢＣＤ2.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，F(xiàn)A＝FB，這樣的點(diǎn)在組合共有_________種.無(wú)數(shù)當(dāng)堂練習(xí)3.下列說(shuō)法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有__________（填序號(hào)）.①②③4.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P，滿足PA=PB=PC，則點(diǎn)P是△ABC()A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D5.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交交AC于E，連接BE，AB+BC=16cm，則△BCE的周長(zhǎng)是__________cm.16ABCDE1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠FDB=60°，則∠EBF=______°，BE=____________.60BFEBDFACG2.如圖，△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么線段BE是∠ABC的______________，AE+DE=______cm.ABEDC角平分線6當(dāng)堂練習(xí)3.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF.求證：CF=EB.CFAEDB證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.∵在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=ED，DF=DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(