北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 2.5.2　求一元二次方程的近似根 教案

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.5.2求一元二次方程的近似根教案授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.5.2求一元二次方程的近似根教案

本節(jié)課主要講解一元二次方程近似根的求解方法，包括公式法、配方法和迭代法。教材通過(guò)具體的例題和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生理解近似根的概念，掌握求解近似根的技巧，并能夠運(yùn)用這些方法解決實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)課內(nèi)容與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。通過(guò)求解一元二次方程的近似根，學(xué)生將學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，通過(guò)不斷地嘗試和修正，學(xué)生將提高自我反思和問(wèn)題解決的能力，為將來(lái)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是掌握一元二次方程近似根的求解方法。具體包括：

-理解一元二次方程的近似根概念，例如通過(guò)例題展示方程x^2-4x+3=0的近似根求解過(guò)程。

-掌握利用公式法求解近似根，如通過(guò)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來(lái)求解方程的根，并理解如何處理當(dāng)判別式小于0時(shí)的情況。

-學(xué)習(xí)配方法求解近似根，例如將方程x^2+2x-3=0通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為(x+1)^2=4，進(jìn)而求解x的近似值。

-熟悉迭代法求解近似根，如使用牛頓迭代法求解方程x^2-2=0的近似根。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)主要在于理解和應(yīng)用不同的求解方法，以及處理計(jì)算中的精度問(wèn)題。具體包括：

-學(xué)生可能難以理解為什么一元二次方程會(huì)有兩個(gè)根，以及如何確定近似根的范圍。例如，在求解方程x^2-4x+3=0時(shí)，學(xué)生可能不清楚如何確定根的區(qū)間。

-運(yùn)用公式法時(shí)，學(xué)生可能會(huì)在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，尤其是在處理根號(hào)內(nèi)負(fù)數(shù)的情況時(shí)。例如，對(duì)于方程x^2+4x+5=0，學(xué)生可能不知道如何處理判別式b^2-4ac<0的情況。

-配方法中的代數(shù)變換是學(xué)生常見(jiàn)的難點(diǎn)，如將方程x^2+2x-3=0配方成(x+1)^2=4時(shí)，學(xué)生可能不理解為什么需要添加和減去同一個(gè)數(shù)。

-迭代法的理解和應(yīng)用也是難點(diǎn)，學(xué)生可能難以掌握如何選擇合適的迭代公式和初始值，以及如何判斷迭代是否收斂。例如，在使用牛頓迭代法求解x^2-2=0時(shí)，學(xué)生可能不知道如何選擇x0的初始值以及如何判斷迭代結(jié)果是否足夠精確。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)詳細(xì)講解一元二次方程近似根的概念和求解方法，確保學(xué)生理解并掌握基本原理。

2.案例分析法：通過(guò)分析具體例題，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)習(xí)和體會(huì)近似根的求解過(guò)程。

3.小組討論法：鼓勵(lì)學(xué)生分組討論，共同解決課堂練習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：使用PPT展示一元二次方程的圖像和求解步驟，增強(qiáng)學(xué)生的直觀理解。

2.教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)軟件或在線工具，讓學(xué)生實(shí)際操作求解近似根，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：提供相關(guān)網(wǎng)絡(luò)鏈接，讓學(xué)生課后自主探究更多的求解方法和應(yīng)用實(shí)例，拓展學(xué)生的知識(shí)視野。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

2.新課講授（15分鐘）

-講解一元二次方程近似根的概念，通過(guò)方程x^2-4x+3=0的圖像展示，讓學(xué)生理解近似根的意義。

-詳細(xì)介紹公式法求解近似根的步驟，以方程x^2-2x-1=0為例，展示如何使用公式求出近似根，并討論精度問(wèn)題。

-介紹配方法求解近似根，通過(guò)方程x^2+2x-3=0的求解過(guò)程，展示配方步驟和如何得到近似根。

3.實(shí)踐活動(dòng)（10分鐘）

-讓學(xué)生獨(dú)立完成教材中的練習(xí)題，如求解方程x^2-5x+4=0的近似根，并要求學(xué)生展示解題過(guò)程。

-使用多媒體設(shè)備展示迭代法求解近似根的動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生觀察并理解迭代法的基本原理。

-分發(fā)含有不同難度一元二次方程的練習(xí)題，讓學(xué)生嘗試使用不同的方法求解近似根，并討論每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

-讓學(xué)生分組討論以下三個(gè)問(wèn)題：

-在求解一元二次方程的近似根時(shí)，哪種方法最有效？為什么？

-當(dāng)判別式小于0時(shí)，如何求解方程的近似根？

-如何確定近似根的精度，以及如何選擇合適的精度標(biāo)準(zhǔn)？

-每組選取一名代表匯報(bào)討論結(jié)果，舉例說(shuō)明討論的結(jié)論。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)一元二次方程近似根的求解方法及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。通過(guò)示例方程x^2-2=0，總結(jié)公式法、配方法和迭代法的步驟和關(guān)鍵點(diǎn)，確保學(xué)生能夠理解并掌握這些方法。同時(shí)，提醒學(xué)生在解題時(shí)注意精度問(wèn)題，以及如何選擇合適的求解方法。知識(shí)點(diǎn)梳理一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它不僅在數(shù)學(xué)理論上占有重要地位，而且在實(shí)際應(yīng)用中也有著廣泛的應(yīng)用。以下是關(guān)于一元二次方程的近似根求解的知識(shí)點(diǎn)梳理：

1.一元二次方程的定義

一元二次方程是指形式為ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

2.一元二次方程的根的判別式

一元二次方程的根的判別式是Δ=b^2-4ac。根據(jù)Δ的值，可以判斷方程的根的情況：

-當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根。

3.一元二次方程的根的求解公式

當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二次方程的兩個(gè)根可以用公式x=(-b±√Δ)/(2a)來(lái)求解。

4.一元二次方程近似根的概念

在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)需要求解一元二次方程的近似根，即不是精確的根，而是足夠接近真實(shí)根的數(shù)值。

5.求解一元二次方程近似根的方法

-公式法：當(dāng)Δ<0時(shí)，或者即使Δ≥0，但需要快速得到近似解時(shí)，可以使用公式法求解近似根。對(duì)于Δ<0的情況，可以采用割線法或者迭代法來(lái)求解實(shí)數(shù)近似根。

-配方法：通過(guò)將方程轉(zhuǎn)換為(x+p)^2=q的形式，然后求解x的近似值。這種方法適用于方程的根接近整數(shù)的情況。

-迭代法：包括牛頓迭代法等，通過(guò)不斷迭代來(lái)逼近方程的根。這種方法適用于求解任意精度要求的近似根。

6.近似根的精度控制

在求解近似根時(shí)，需要考慮精度問(wèn)題。通常，可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求來(lái)確定精度標(biāo)準(zhǔn)，例如，可以要求解得的近似根與真實(shí)根之間的誤差小于某個(gè)特定的值。

7.近似根的應(yīng)用

近似根在工程計(jì)算、物理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在求解物體的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可能需要求解一元二次方程的近似根來(lái)得到物體的位置。

8.實(shí)際問(wèn)題中的近似根求解

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需要根據(jù)問(wèn)題的具體情況來(lái)選擇合適的近似根求解方法。例如，在求解物體的最大高度時(shí)，可能需要求解一元二次方程的頂點(diǎn)坐標(biāo)。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

-提問(wèn)：在講解一元二次方程近似根的概念和求解方法時(shí)，教師可以通過(guò)提問(wèn)來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。例如，教師可以詢問(wèn)學(xué)生：“什么情況下需要求解近似根？”，“如何使用公式法求解一元二次方程的近似根？”等問(wèn)題，以此來(lái)評(píng)估學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的理解程度。

-觀察：教師在課堂上應(yīng)密切觀察學(xué)生的反應(yīng)和參與度。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行例題求解時(shí)，教師應(yīng)注意觀察學(xué)生的解題過(guò)程，看他們是否能夠正確運(yùn)用所學(xué)方法，以及是否能夠獨(dú)立解決遇到的問(wèn)題。

-測(cè)試：在課堂的最后，教師可以布置一些簡(jiǎn)短的測(cè)試題，讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)完成。這些測(cè)試題應(yīng)涵蓋本節(jié)課的核心知識(shí)點(diǎn)，如判別式的計(jì)算、近似根的求解方法等，以此來(lái)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-批改：教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，注意學(xué)生在解題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如計(jì)算錯(cuò)誤、理解錯(cuò)誤等。批改作業(yè)時(shí)，教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的解題思路和步驟，確保他們能夠正確運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)批改完成后，教師應(yīng)選擇一些具有代表性的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。這些作業(yè)可以是做得很好的，也可以是存在典型錯(cuò)誤的。通過(guò)公開(kāi)點(diǎn)評(píng)，教師可以指出學(xué)生的共性問(wèn)題，并提供正確的解題方法。

-反饋：教師應(yīng)及時(shí)將作業(yè)評(píng)價(jià)的反饋信息傳達(dá)給學(xué)生，鼓勵(lì)做得好的學(xué)生繼續(xù)保持，同時(shí)對(duì)存在問(wèn)題的學(xué)生提供個(gè)性化的指導(dǎo)，幫助他們改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，提高解題能力。

-鼓勵(lì)：在評(píng)價(jià)學(xué)生的作業(yè)時(shí)，教師應(yīng)注重鼓勵(lì)和激勵(lì)，尤其是對(duì)那些在努力學(xué)習(xí)和進(jìn)步的學(xué)生。通過(guò)正面的反饋，教師可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心，激發(fā)他們繼續(xù)努力學(xué)習(xí)的動(dòng)力。典型例題講解1.例題1：求解方程x^2-4x-5=0的近似根。

講解：首先計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*(-5)=36，由于Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。使用公式法求解，得到x=(4±√36)/(2*1)=2±3。因此，方程的近似根為x≈-1或x≈5。

答案：x≈-1或x≈5。

2.例題2：求解方程x^2-2x+1=0的近似根。

講解：計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*1=0，由于Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。使用公式法求解，得到x=(2±√0)/(2*1)=1。因此，方程的近似根為x≈1。

答案：x≈1。

3.例題3：求解方程x^2+4x+5=0的近似根。

講解：計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=(4)^2-4*1*5=-4，由于Δ<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。因此，需要使用迭代法或其他方法求解實(shí)數(shù)近似根。這里使用牛頓迭代法，選擇初始值x0=0，迭代公式為x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)。經(jīng)過(guò)幾次迭代，得到近似根x≈-2。

答案：x≈-2。

4.例題4：求解方程x^2-6x+9=0的近似根。

講解：該方程可以配方成(x-3)^2=0，因此方程的根為x=3。這是一個(gè)特殊情況，方程的近似根就是它的精確根。

答案：x=3。

5.例題5：求解方程x^2-4x+4=0的近似根。

講解：計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*4=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。使用公式法求解，得到x=(4±√0)/(2*1)=2。因此，方程的近似根為x≈2。

答案：x≈2。板書(shū)設(shè)計(jì)①一元二次方程的定義及標(biāo)準(zhǔn)形式

-定義：形式為ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

-標(biāo)準(zhǔn)形式：ax^2+bx+c=0

②一元二次方程的根的