2023-2024學年北京西城區(qū)師范大學第二附屬中學高一（上）期中數(shù)學試題及答案

2023北京北師大二附中高一（上）期中數(shù)學一、單選題（共10小題，每題4分，共40分），B={x=2k?k}，那么A（）A=?1,0,2,31.已知集合??0,3?3D.1,01,2A.B.C.2.命題“xR，x2?2x+30的否定為（）A.xR，xC.xR，x2?2x+30?2x+30B.xR，xD.xR，x2?2x+30?2x+30223.已知ab0，則下列不等式中成立的是（）1a1babab0A.B.C.D.abb2114.函數(shù)y=A.奇函數(shù)?的奇偶性是（）1+x1?xB.偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)()=x3?x?5的零點所在的區(qū)間是（fx）5.函數(shù)()()1,2A.C.B.D.(2,3)(4)16.“m”是“一元二次方程x+x+m=0”有實數(shù)解的24A.充分非必要條件C.必要非充分條件B.充分必要條件D.非充分非必要條件7.下圖是王老師鍛煉時所走的離家距離（S）與行走時間（t）之間的函數(shù)關系圖，若用黑點表示王老師家的位置，則王老師行走的路線可能是（）A.B.C.D.2xx+12()=8.函數(shù)fx的圖象大致為（）A.B.D.C.9.設f（xR上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，若x0且x+x0，則（）112A.f（﹣xf（﹣x）B.fxf（﹣x）1212C.f（﹣xf（﹣x）D.f（﹣xf（﹣x）大小不確定12121x+2()=10.已知函數(shù)fx?mx有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）10m1A.mB.D.C.1m2m?1二、填空題（共5小題，每題5分，共25分）1()=fx函數(shù)的定義域是______.1?x112.函數(shù)y=的值域是________．x+2x+22x,yx+3y=1xy13.若正實數(shù)滿足：，則的最大值為________.2?2x+x1x()=fx，則((?))=；若關于的方程()=恰有兩個不fxff1k14.已知函數(shù)1x______x?x1同的解，則實數(shù)k的取值范圍是______.?6)(x?4)0,xZ中元素個數(shù)最少，則實數(shù)的取值范圍是(k)=x(?k215.若使集合k________.三、解答題（共6小題，共85分）?2x?3B=x0x，.=RA=xx216.已知全集U（1）求(，集合；Dx2aa=xa+，若DA，求實數(shù)的取值范圍.Ua（2）設非空集合1()=17.已知函數(shù)fxx5.，2x+1（1）判斷函數(shù)()的單調(diào)性，并用定義證明你的結論；fxfm+1f2m?1（2）求不等式()()的解集..(?)y2，且x18.已知（1）求實數(shù)y的取值集合M；（2）設不等式(x?ax+a?20)()的解集為N，若xN是xM的必要條件，求a的取值范圍.19.近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷.特別是美國對我國華為的限制.盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步.華為在2018年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強勁.今年，我國華為某一企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)x（千部）手機，需另2+10x100x,0x40R(x)R(x)=投入成本萬元，且10000，由市場調(diào)研知，每部手機售價0.7x+?x40x且全年生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.（1）求出2020年的利潤W()（萬元）關于年產(chǎn)量銷售額—x=（2）2020年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？1()為二次函數(shù)，()的圖象過點()，對稱軸為=?，函數(shù)()在R上最小值為fxfx0,2xfx20.已知函數(shù)27.4（1）求()的解析式；fxf(x)，mR時，求函數(shù)的最小值（用mxmm?（2）當Fx=fx?ax?1（3）若函數(shù)()()(3)上只有一個零點，求a的取值范圍.在A=a,a,,a1aaa20521.設整數(shù)集合，其中，且對于任意1210012100(i,j1ij100)，若++ijA，則ia.j（1）請寫出一個滿足條件的集合A;x,200,xA;（2）證明:a=205,求滿足條件的集合A的個數(shù).（3）若參考答案一、單選題（共10小題，每題4分，共40分）1.【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義可求AB.【詳解】因為B={x=2k?k}，故B中的元素為大于或等于1的奇數(shù)，AB=?3，故故選：D.2.【答案】D【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結果.【詳解】因為命題“xR，x2?2x+30，則其否定為“xR，x2?2x+30”故選：D3.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一分析四個不等式關系是否恒成立，可得答案．【詳解】解：0，ab0，故C錯誤；11兩邊同除得：，故A錯誤；abab，故B錯誤；兩邊同乘b得：abb2，故D正確；故選D．【點睛】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了不等式恒成立，不等式的基本性質(zhì)等知識點，難度中檔．4.【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判定即可.【詳解】由函數(shù)解析式可知xxxR，即定義域關于原點對稱，1111()=fx?(?)=?fx=?()，fx又1+x1?x1?x1+x11y=?所以函數(shù)是奇函數(shù).1+x1?x故選：A5.【答案】B【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結合數(shù)形結合思想進行判斷即可.【詳解】f(x)=x3?x?5=0x=x+53y=x3和函數(shù)yx5在同一直角坐標系內(nèi)圖象如下圖所示：=+函數(shù)f0=f)=f(2)=f3)=f(4)=55一方面()()()，f1f20另一方面根據(jù)數(shù)形結合思想可以判斷兩個函數(shù)圖象的交點只有一個，故選：B6.【答案】A141414+x+m0有解，則==1?4m0mmm是【詳解】試題分析：方程x2．的充分不必要條件．故A正確．考點：充分必要條件7.【答案】C.【詳解】圖象顯示有一段時間吳老師離家距離是個定值，故他所走的路程是一段以家為圓心的圓弧，所以A、B、D三個選項均不符合，只有選項C符合題意.故選：C.8.【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域和奇偶性排除選項A和B，再利用特殊值即可排除選項C，進而求解.2xf(x)=【詳解】由題意可知：函數(shù)+1的定義域為xR，22x2xx+12f(?x)==?=?f(x)，又因為x2+1所以函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，故排除選項A和B；2xx+12=0，故排除選項又因為當x0時，函數(shù)f(x)C，故選：D.9.【答案】A【分析】由條件可得()在(,0)上是增函數(shù)，根據(jù)條件可得01?x，所以()(?)，從而得出答f1fx2fx2案.【詳解】()是R上的偶函數(shù)，且在()上是減函數(shù)fx故()在(,0)上是增函數(shù)fxx0x+x001?x；2因為且，故112fxf?x所以有()()，又因為f(?)()xfx1112f?x)f(?x)所以有(12故選：A.10.【答案】A【分析】利用常變量分離法，結合數(shù)形給思想進行判斷即可.1x+21x+2()=fx?=0=x2且m0，mxmxx0【詳解】令，顯然有且(+)xx2,x01xx2=(+)=于是有，?(+)(?)(?0)mxx2,x,2(+)xx2,x0()=(+)=gxxx2設，它的圖象如下圖所示：,2?(+)(?)(?0)xx2,x1x+21()=fx?m1mx01因此要想函數(shù)有三個零點，只需，m故選：A【點睛】方法點睛：解決函數(shù)零點個數(shù)問題一般的方法就是讓函數(shù)值為零，然后進行常變量分離，利用數(shù)形結合思想進行求解.二、填空題（共5小題，每題5分，共25分）(?),1【答案】【分析】利用二次根式的意義計算即可.【詳解】由題意可知1?x0x1，即函數(shù)的定義域為(?,1).故答案為：(?,1)12.【答案】1f(x)=x+2x+2=(x+(02+2x+2的范圍可得函數(shù)y=的值域【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解x2+2x+2f(x)=x22+1，可得f(x)的最小值為，【詳解】解：由1y=的值域為，．x+2x+22故答案為：，(0．【點睛】本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；、換元法，、數(shù)形結合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，、單調(diào)性法，10、利用導數(shù)求函數(shù)的值域，、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．113.【答案】1x+3y=123【分析】運用基本不等式得出，化簡求得即可.12x,y+=，x3y1【詳解】正實數(shù)x+3y=1231滿足：，化簡得出11，12x=y=.當且僅當，時等號成立261故答案為【點睛】本題考查了運用基本不等式求解二元式子的最值問題，關鍵是判斷、變形得出不等式的條件，屬于容易題.314.【答案】①.?.()4【分析】利用分段函數(shù)代入解析式求函數(shù)值即可得第一空，利用函數(shù)的單調(diào)性結合圖象得第二空.3(?)=((?)=()=?f14ff1f4【詳解】易知，4又x1時，y=x2?2x+1=(x?2單調(diào)遞減，且ymin0，=11x10y=?1單調(diào)遞減，且1y0?時，，xxy=f(x)的圖象如下：作出函數(shù)所以方程f(x)=k有兩個不同解即函數(shù)=()y=kyfx與有兩個不同交點，k0,1().顯然34?；()故答案為：(??)215.【答案】【分析】首先討論k的取值，解不等式；再由集合A的元素個數(shù)最少，推出只有k0滿足，若集合A的66元素個數(shù)最少，由k0，集合A=xZk+x4，只需求k+的最大值即可，再由集合A中kk6xZ，只需5k?+?4即可求解.k(?k2?6)(x?4)xZ，故【詳解】由題知集合A內(nèi)的不等式為；當k=0時，可得A=xZx4當k0時，x?40(?k2?6)(x?4)0可轉(zhuǎn)化為x?4064k+或，因為，kx?k2?60kx?k2?60k6k6k所以不等式的解集為xx4xk+A=xZx4xk+或或，所以66當k0時，由k+4，所以不等式的解集為xk+x4，kk6=xZk+x4所以A，此時集合A的元素個數(shù)為有限個.k綜上所述，當k0時，集合A的元素個數(shù)為無限個，6當k0時，集合A的元素個數(shù)為有限個，故當k0時，集合A的元素個數(shù)最少，且當k+k的值越大，集合A的元素個數(shù)越少，66(6)內(nèi)f(k)=k+k0f(k)=1?f(k)=0k=?6f(k)?,?在令（，令解得，所以kk2單調(diào)遞增，在?6,0?5?26?4)f(k)f(6)=?=?26xZ，內(nèi)單調(diào)遞減，所以，又因為65k+?4，即3k?2時，，所以當k6=xZk+x4中元素的個數(shù)最少，故3k?2集合Ak故答案為:(??2)【點睛】本題主要考查集合的運算和解不等式，綜合性比較強.三、解答題（共6小題，共85分）16.1）x3x4()?2（2））利用一元二次不等式解法化簡集合A，然后利用補集和交集運算求解即可；（2）根據(jù)集合關系列不等式組求解即可.【小問1?2x?3A=x?1xA=xx2因為所以因為，所以，x?x，B=x0x，所以(x3x4=.【小問2x?x因為，a2a+3a2a+3a3，解得3a?2或a3.由題意得或2a+3?1(+).?2a所以實數(shù)的取值范圍是()在5單調(diào)遞減，證明見解析fxx17.1）3mm2（2）2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可作差求解，（2）由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1()在5單調(diào)遞減，證明如下：fxx(?)(+)11xxxx()?()=?=21212xx5fxfx設，則，1212x2+1x2+1(++)x1x1122212(x?xx+xx1)+12+10，2xx522由于，所以122121fx?fx0因此()()f1()()，所以()在5單調(diào)遞減，f2fxx，故12【小問2由（1）知()在x5單調(diào)遞減，fx32fm+1f2m?1所以由()()得5m+12m?12，解得m2，3mm2故不等式的解集為21M=y?y218.1）4194a?a或（2）4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解集合M．（2）xN是xM的必要條件，即MNa，對分類討論，解出不等式(xa)(x+a?2)0?的解集，a可得的取值范圍．【小問112214y=x2?x=x??，1212?故函數(shù)在單調(diào)遞減，在,1，1214x=y=?x=?1時，y=2，當，x=1時，y=0故當時取最小值，當11?y2M=y?y2故，所以，44【小問2xN是xM的必要條件，即MN．N=(2?a,a),當a1時，a2?a，此時12?a?9a4，解得所以；4a2當a=1時，N為空集，不適合題意，所以a=1舍去；N=(a,2?a)，1時，a2?a，此時當a1a?14a?4，解得所以2?a21494a綜上可得的取值范圍是a?a或?2+600x0x40?10xW(x)=19.1）10000；?(x+)+x40x（2）2020年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.）根據(jù)給定的函數(shù)模型，直接計算作答.（2）利用（1）中函數(shù)，借助二次函數(shù)最值及均值不等式求出最大值，再比較大小作答.【小問12+10x100x,0x40R(x)=依題意，銷售收入700x萬元，固定成本250萬元，另投入成本萬10000x+?x40x元，?2+600x?0x4010x因此W(x)=700x?R(x)?250=，10000?(x+)+x40x所以2020年的利潤W()（萬元）關于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關系式是?2+600x?0x4010xW(x)=10000.?(x+)+x40x【小問2由（1）知，當0x40時，W(x)=10(x?30)2+87508750，當且僅當x=30時取等號，1000010000當x40時，W(x)=?(x+)+9200?2x+92009000，當且僅當x==，即xxxx=100時取等號，而87509000，因此當x=100時，W(x)=9000，所以2020年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.127420.1）f(x)(x=+2)+1712(m+)+,m?2214732f(x)=,?m（2）423732(m?)+,m224133)3．（3）[,【分析】（）設出函數(shù)的解析式，結合函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)最值，求出函數(shù)的解析式即可；m（2）通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；a（3）根據(jù)一元二次方程根的分布，結合零點存在性定理得到關于的不等式，解出即可．【小問1設函數(shù)f(x)a(xh)+k，=?2127x=?由對稱軸為，函數(shù)f(x)在R上最小值為可得417f(x)=a(x+)2+，將代入f(x)得：a=1，得故2417f(x)=(x+)2+；24【小問2f(x)的對稱軸為x12=?，1m?f(x)[m?2,m]在遞減，時，2174f(x)min=f(m)=(m+)2+，2132121?m[m?2,??,m]時，f(x)在)遞減，在(遞增，221274故f(x)minf(=?)=，3mf(x)[m?2,m]在遞增，時，237f(x)min=f(m?2)=(m?)2+故；241712(m+)+,m?2214732f(x)=,?m綜上，；423732(m?)+,m224【小問317F(x)=f(x)?ax?1=(x+)2+?ax?1=x2+?a)x+1在(0,3)上只有一個零點，或=?24當Δ=0時，即1a=(?)2?4=0，解得=a3a1當a=?1時，x2+2x+1=0，x=?1不滿足題意，舍去，當a=3時，x2?2x+1=0，x=1滿足題意，13當0時，當()F(0)F30，解得a，此時F(x)在上只有一個零點，31310F(0)=1，當F313a0()=?=時，此時=F(x)=+=?a2x10，由于解得，此時331x=x=3或313a綜上可得，3133a綜上：