聲學原理- 06講質(zhì)點振動

1§3.1

質(zhì)點的自由振動§3.2

質(zhì)點的衰減振動§3.3

質(zhì)點的強迫振動§3.4

質(zhì)點振動的一般方程第三章質(zhì)點振動學2§3.1.1

自由振動的方程（3-1-3）Fk=-Kmξ（3-1-1）Km—彈性系數(shù)；——振動圓頻率（3-1-2）根據(jù)牛頓第二定律：§3.1質(zhì)點的自由振動假設ξ很小，據(jù)虎克定律知彈力的大小與位移成正比，即：3一般解是兩個簡諧函數(shù)的線性迭加：

§3.1.2

自由振動的一般規(guī)律（3-1-4）A、B為待定常數(shù)，取決于運動的初始條件。(3-1-5)※系統(tǒng)的固有頻率質(zhì)點振動4§3.2.1

衰減振動方程

對小振動可認為阻力與速度成線性關系，即有：§3.2質(zhì)點的衰減振動或?qū)懗桑?3-2-3)(3-2-2)其中Rm為阻力系數(shù)，力阻>0，(3-2-1)可寫為：(3-2-1)為衰減系數(shù)5§3.2質(zhì)點的衰減振動

6§3.2質(zhì)點的衰減振動

7§3.2.1

衰減振動的一般規(guī)律

8§3.3.1

強迫振動方程加入一簡諧變化的外力Ff=Facosωt，ω為外力圓頻率，則（3-2-2）可改寫為：§3.3質(zhì)點的強迫振動其中：為衰減系數(shù)；（3-3-2）或：（3-3-1）9設方程（3-3-1）的一個特解形式為：(3-3-3)代入（3-3-1）有：

則：(3-3-4)式中：Zm=Rm+jXm稱為系統(tǒng)的力阻抗，Rm—力阻稱為力抗，ωMm稱為質(zhì)量抗§3.3.2

強迫振動的一般規(guī)律10——稱為彈性抗或力順抗——力阻抗的模為其幅角，力阻抗的單位—力歐姆1力歐姆=1N·m/s方程（3-3-2）的解可寫為：（3-3-5）其中：，上式取實數(shù)部分可得：（3-3-6）式中：§3.3.3

質(zhì)點的穩(wěn)態(tài)振動

11§3.3.3

質(zhì)點的穩(wěn)態(tài)振動

規(guī)一化的位移共振曲線12§3.3.3

質(zhì)點的穩(wěn)態(tài)振動

速度共振曲線13Qm≤共振消失，Qm越大越尖銳，Qm越小越平坦§3.3.3

質(zhì)點的穩(wěn)態(tài)振動

加速度共振曲線14設如右圖所示的振動系統(tǒng)：Fk=-Km(ξ-ξ1)，彈力Fr=-Rmυ，阻力系統(tǒng)的振動方程為：§3.3.4

隔振原理（3-3-9）由（3-3-6）式知：Mm的穩(wěn)態(tài)振動位移可表示為：（3-3-8）即：（3-3-7）15其振幅為：（3-3-10）——系統(tǒng)的力阻抗模值，則可以獲得位移比值為：

(3-3-11)§3.3.4

隔振原理16其位移共振曲線與圖A相似，顯然為使這一裝置Mm不受外界振動的影響，可加入一彈簧，通過選擇合適的彈性系數(shù)Km與裝置質(zhì)量Mm，使系統(tǒng)的固有頻率遠低于外界干擾頻率，這樣外界的影響就會大為減弱，從而起到隔振的作用?！?.3.4

隔振原理17§3.4質(zhì)點振動的一般方程

質(zhì)點振動的一般方程為：

(3-4-1)

Ff(t)——可以是周期性的，也可以是非周期性的18§4.1弦的振動§4.2膜的振動第四章彈性體振動學分布參數(shù)系統(tǒng)——振動系統(tǒng)的質(zhì)量在空間有一連續(xù)分布，并且空間中某一部分的質(zhì)量本身包含著彈性和阻尼性質(zhì)。19§4.1.1弦振動方程

在x位置弦離開平衡位置的垂直位移為η，且為小振動，§4.1弦的振動20利用Taylor展開可得：（4-1-1)(4-1-3)那么(4-1-2)可寫為：因為η很小，故θ很小，可用tanθ代替sinθ，則:(4-1-2)§4.1.1弦振動方程21設弦的密度為ρ，橫截面為S，則弦的單位長度的質(zhì)量即線密度為δ=ρS，而元段的質(zhì)量為δdx，由牛頓第二定律有：則(4-1-4)可寫為：(4-1-4)(4-1-5)§4.1.1弦振動方程22§4.1.2

弦振動方程的一般解

設，則ct1-x1=-x0，(4-1-6)23若x1-x0=λ，t1=T，則λ=cT

弦中振動傳播的速度為：(4-1-7)

c與弦的固有力學參量有關（T，δ）

(4-1-10)(4-1-9)(4-1-8)代入(4-1-6)可得：設弦的邊界條件為：§4.1.2

弦振動方程的一般解

24(4-1-9)可推廣為：(4-1-11)代入(4-1-10)可得：

f1為以2l為周期的周期函數(shù)，即有界弦將形成駐波(4-1-13)引入新的變量z=ct-l，則（4-1-12）變?yōu)椋?4-1-12)§4.1.2

弦振動方程的一般解

25弦振動的駐波解分離變量法§4.1.3自由振動的一般規(guī)律(4-1-16)(4-1-17)其中μ2為一常數(shù)，則可得到兩個獨立的方程：(4-1-15)設（4-1-5）的解可寫為以下形式：

(4-1-14)代入（4-1-5）式子可得：

26方程（4-1-16）、（4-1-17）的解為：

(4-1-18)

(4-1-19)其中At、Bt、Ax、Bx均為待定常數(shù)，將上面兩式代入(4-1-14)得：

(4-1-20)

其中A、B、仍是待定常數(shù)。如果弦的兩端固定，由η(x=0)=0可得：A=0(4-1-21)由η(x=l)=0可得：(4-1-22)

§4.1.3自由振動的一般規(guī)律27

這時B≠0，否則A=B=0，整個弦不振動，沒有意義，故必須滿足：

(4-1-23)這樣就有：(4-1-24)用新的符號ωn=2πfn來代替μ，則：——圓頻率(4-1-25)或：——振動頻率(4-1-26)當n＝1,——弦的基頻（第一諧頻）當n＞1,——弦的泛頻（第n諧頻）§4.1.3自由振動的一般規(guī)律28與這一系列簡正頻率fn對應的振動位移為：

(4-1-27)

此式稱為弦的第n次振動方式，或稱簡正振動方式，Bn、為待定常數(shù)?！?.1.3自由振動的一般規(guī)律波節(jié)——振幅為零的位置波腹——振幅極大的位置令：（4-1-28）則：（4-1-28）29可求得波節(jié)為：

(4-1-29)對于第n次振動有Xn0,Xn1,……,Xnm個波節(jié)若令則可得：(4-1-30)

可見對于n次振動有n個波腹，波腹與波節(jié)位置對于一定的振動方式是固定的。這種振動方式也稱為駐波方式。弦做自由振動時，一般幾個振動方式都可能存在，所以弦的總位移應是所有簡正振動方式的線性迭加為：§4.1.3自由振動的一般規(guī)律30

(4-1-31)式中：稱為n次振動方式的波數(shù)，

λn為相應的波長。(4-1-32)

其中為x的任意函數(shù)?，F(xiàn)在考慮初始條件的影響，設t=0時有：§4.1.3自由振動的一般規(guī)律31將（4-1-31）改寫為：

(4-1-33)其中仍為待定常數(shù)，將初始條件（4-1-32）代入上式得：

(4-1-34)將上式兩端乘上sinknxdx，并對它從0到積分，再利用正弦函數(shù)的正交特性：§4.1.3自由振動的一般規(guī)律32可得：

(4-1-35)初始條件一旦確定，則弦的振動位移就確定?！?.1.3自由振動的一般規(guī)律mode1mode2mode3懸掛鐵鏈的振動33[例].設在t=0時，在中央位置處弦被拉開一位移η，然后釋放，使其自由振動，則初始條件可寫為：(4-1-36)§4.1.3自由振動的一般規(guī)律34顯然當n為偶數(shù)時：C2=C4=C6=······=Cn=0；