數(shù)學(xué)4優(yōu)化訓(xùn)練：二倍角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2二倍角的三角函數(shù)5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1。（全國(guó)卷Ⅲ）設(shè)0≤x≤2π，且=sinx—cosx,則(）A。0≤x≤πB.≤x≤C?！躼≤D?！躼≤思路解析：==|sinx-cosx|.又=sinx—cosx,∴|sinx—cosx|=sinx-cosx?！鄐inx-cosx≥0,sinx≥cosx。又0≤x<2π,∴≤x≤。答案：C2。（重慶)(cos-sin)(cos+sin）等于()A.-B.-C.D.思路解析：(cos—sin)(cos+sin)=cos2—sin2=cos.答案:D10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1。（浙江）已知k＜—4,則函數(shù)y＝cos2x+k(cosx-1）的最小值是（)A.1B.-1C.2k+1D.-2k+1思路解析：y＝cos2x+k（cosx-1）=2cos2x+kcosx-(k+1）。令t=cosx，t∈［—1,1],則y=2t2+kt-（k+1），對(duì)稱軸t=—.∵k<—4，∴t=—〉1?！嗪瘮?shù)y=2t2+kt-（k+1)在［-1，1］上為單調(diào)遞減函數(shù)。當(dāng)t=1,即cosx=1時(shí)，函數(shù)有最小值1。答案：A2.（湖北)函數(shù)y=｜sinx|cosx—1的最小正周期與最大值的和為_(kāi)____________。思路解析：y=|sinx|cosx-1=所以ymax=-，畫(huà)圖可知最小正周期為2π。答案：2π—3。（山東）已知函數(shù)y=sin（x—）cos(x—）,則下列判斷正確的是()A.此函數(shù)的最小周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(，0)B。此函數(shù)的最小周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（,0）C。此函數(shù)的最小周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(，0）D。此函數(shù)的最小周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0）思路解析：本題考查三角函數(shù)的變形及三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)。y=sin（x—）cos(x-)=sin(2x-），它的周期為T(mén)=π，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為x=+，當(dāng)k=0時(shí),對(duì)稱中心為（,0)。答案：B4。(江西）在△OAB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,cosθ），B(sinθ,1）,θ∈（0,］，則△OAB的面積達(dá)到最大值時(shí)，θ等于(）A。B.C。D。思路解析：運(yùn)用圖形,根據(jù)圖形表示△ABC的面積，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.運(yùn)用三角函數(shù)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)題目的要求將面積的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)，然后在表達(dá)式中，根據(jù)自變量的取值范圍,最終求出答案，所要注意的是，解決此類問(wèn)題時(shí)不能僅憑函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)考慮實(shí)際情況，例如，在函數(shù)的自變量中，可以取負(fù)數(shù)，而如果在實(shí)際題目中，自變量表示的是天數(shù)，那么自變量必須為正數(shù)，且為整數(shù)等等。S△ABC=1-sinθ—cosθ-（1—cosθ)（1—sinθ）=—sinθcosθ=—sin2θ。當(dāng)2θ=π，即θ=時(shí)，面積最大.答案:D5.(浙江）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+cos2x.(1）求f(）的值;(2）設(shè)α∈(0，π),f（）=，求sinα的值。思路解析：本題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、兩角和的公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力.解：(1)∵f（x）=sin2x+cos2x,∴f（）=sin+cos=1。（2)f(）=cosα+sinα=,∴sin(α+）=，cos（α+)=±。sinα=sin（α+-)=××=.∵α∈(0,π），∴sinα>0,故sinα=。志鴻教育樂(lè)園眼皮最大老師：“世界外什么東西最大？”學(xué)生:“眼皮.”老師：“為什么？"學(xué)生:“只要把眼一閉,全世界都被遮住了.”30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1.（全國(guó)Ⅰ)當(dāng)0<x<時(shí),函數(shù)f（x）=的最小值為（)A.2B。2C。4D。4思路解析:f(x）==+=+=cotx+4tanx=cotx+≥2=2×2=4。答案：C2.（全國(guó)Ⅱ)銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足tanA—=tanB，則有()A.sin2A-cosB=0B。sin2A+cosB=0C.sin2A—sinB=0D。sin2A+sinB=0思路解析：由已知得-=,∴=tanB?！?=tanB,—cot2A=tanB?！鄑an（2A+）=tanB.∴2A+—π=B,∴2A—B=，2A-=B，∴sin(2A—)=sinB?！郼os2A-sinB=0.∴cos（2A—)=sin2A.∴sin2A=cosB.∴sin2A—cosB=0。答案：A3。設(shè)α是第四象限的角,若=，則tan2α=________________。思路解析：由=，∴=.∴2cos2α+cos2α=?！?+2cos2α=.∴cos2α=。又∵α為第四象限角，即2kπ+<α〈2kπ+2π，∴4kπ+3π<2α〈4kπ+4π。故2α可能在第三、四象限.又cos2α=，∴sin2α=-.∴tan2α=—。答案:-4。（2005北京）函數(shù)f(x)=(）A。在［0,］,（,π）上遞增，在［π，］,（，2π）上遞減B.在［0，］，（π,）上遞增,在［，π］，（，2π)上遞減C.在(，π），（,2π)上遞增，在［0,］，(π，）上遞減D.在［0，］,(，π)上遞增，在［0,］，（，2π）上遞減思路解析：對(duì)二倍角余弦公式及兩個(gè)變式的正用、逆用應(yīng)熟練，對(duì)處理絕對(duì)值問(wèn)題的基本思路是用分類討論的思想去掉絕對(duì)值然后再研究問(wèn)題：正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.f（x）===.當(dāng)x∈[0，］或x∈（，π)時(shí)sinx≥0,f（x）=tanx在［0，],(，π）上為增函數(shù).當(dāng)x∈［π,］或x∈（，2π)時(shí),sinx≤0，f(x)=—tanx在［π，］，(，2π)上為減函數(shù)。答案：A5.（2005江蘇）若sin（-α)=，則cos(+2α）等于（)A。—B。-C.D.思路解析：本題考查三角函數(shù)兩角和公式，倍角公式及三角恒等變形和相關(guān)計(jì)算能力.cos（+2α)=2cos2（+α)-1=2［cos·cosα-sin·sinα]2—1=2(cosα-sinα)2—1=2（sin·cosα-cos·sinα)2-1=2×—1=—。答案:A6.（2005全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x）=2sin2x+sin2x，x∈［0,2π］,求使f(x)為正值的x的集合。解：∵f(x)=1—cos2x+sin2x=1+sin（2x-），∴f(x）〉01+sin(2x-)>0sin(2x—）〉—-+2kπ〈2x-〈+2kπkπ〈x〈+kπ。又x∈[0，2π],∴x∈(0,)∪（π,）.7。(2005天津）已知sin（α-）=，cos2α=，求sinα及tan(α+）。解法一:由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得=sin（α-)=(sinα-cosα)，即sinα—cosα=。①由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得=cos2α=cos2α-sin2α=（cosα—sinα)（cosα+sinα)=-(cosα+sinα),故cosα+sinα=—。②由①和②式得sinα=，cosα=—.因此,tanα=—，由兩角和的正切公式tan(α+)====。解法二:由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得=cos2α=1—2sin2α,解得sin2α=,即sinα=±.由sin(α—）=可得sinα-cosα=.由sinα=+cosα〉0，且cosα=sinα—〈0，故α在第二象限.于是sinα=，從而cosα=sinα—=-.以下同解法一。8。（2005遼寧)如圖3—圖3-2（1）將十字形的面積表示為θ的函數(shù).(2）θ為何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？思路解析：本題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和三角函數(shù)有關(guān)的極值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的能力.解：（1）設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy—x2=2sinθcosθ-cos2θ（〈θ〈).（2）S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ—φ)-,其中cosφ=。當(dāng)sin（2θ—φ）=1，即2θ—φ=時(shí)，S最大。S的最大值為。9.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，），求sinα,tanα。思路解析：可將sin2α,cos2α用升冪公式化為方程來(lái)解。本題一定要注意α的范圍，否則會(huì)出現(xiàn)cosα=0或sinα=—1的錯(cuò)誤。解：由題意知4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，即2cos2α(2sinα—1)(sinα+1）=0.又α∈(0,），∴sinα+1≠0,cos2α≠0。由2sinα—1=0得sinα=，∴α=，tanα=.10.（2005福建）已知-<x〈0，sinx+cosx=.(1）求sinx—cosx的值；（2）求的值.思路解析：本題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)符號(hào)的特點(diǎn)等基本知識(shí),以及推理和運(yùn)算能力.解:（1）由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,即2sinxcosx=-?！?sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.又∵—<x〈0,∴sinx〈0,cosx〉0,sinx-cosx<0.故s