數(shù)學(xué)A版第二章點、線、面之間的位置關(guān)系測試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精點、直線、平面之間的位置關(guān)系測試題（時間:120分鐘總分：150分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α,l⊥β,則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β,l∥α，則l⊥β2．棱臺的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不相交3．一直線l與其外三點A，B，C可確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．1個 B．3個C．1個或3個 D．1個或3個或4個4．若三個平面兩兩相交，有三條交線，則下列命題中正確的是（)A．三條交線為異面直線B．三條交線兩兩平行C．三條交線交于一點D．三條交線兩兩平行或交于一點5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC,AB＝AC,D是BC的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是()A．5 B．8C．10 D．66．下列命題正確的有(）①若△ABC在平面α外，它的三條邊所在直線分別交α于P，Q，R，則P，Q，R三點共線；②若三條平行線a，b，c都與直線l相交，則這四條直線共面；③三條直線兩兩相交,則這三條直線共面．A．0個 B．1個C．2個 D．3個7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l,且點P∈α,P?l，則下列命題中的假命題是()A．過點P且垂直于α的直線平行于βB．過點P且垂直于l的直線在α內(nèi)C．過點P且垂直于β的直線在α內(nèi)D．過點P且垂直于l的平面垂直于β8．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM()A．與AC,MN均垂直相交B．與AC垂直,與MN不垂直C．與MN垂直，與AC不垂直D．與AC，MN均不垂直9．如圖，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，給出下列四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交；②過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線AB,B1C1都相交；④過M點有且只有一個平面與直線AB,B1C1都平行．其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③10．已知平面α外不共線的三點A,B，C到α的距離相等，則正確的結(jié)論是(）A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)11．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④12．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E,F，且EF＝eq\f（1，2),則下列結(jié)論錯誤的是（)A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A—BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分．把答案填在題中橫線上）13．已知A，B，C,D為空間四個點，且A，B,C，D不共面，則直線AB與CD的位置關(guān)系是________．14．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC,CD，DA上分別取點E,F，G，H，如果EH，F(xiàn)G相交于一點M，那么M一定在直線________上．15．如圖所示，以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面,則：(1)BD與CD的關(guān)系為________;(2）∠BAC＝________。16．在正方體ABCD—A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F,則：①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；②四邊形BFD′E有可能是正方形；③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D。以上結(jié)論正確的為__________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．（10分)如圖，已知點E，F(xiàn),G,H分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB,BC，CC1，C1D1的中點，求證：EF，HG，DC三線共點．18．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，點M在棱PD上，PB∥平面ACM。（1）試確定點M的位置，并說明理由；(2）求四棱錐P－ABCD的表面積．19．(12分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3）a,如圖．(1)求證：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的長．20．(12分)如圖,DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點．(1）證明:PQ∥平面ACD；（2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．21．(12分)如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD,點E,F分別是AB，BD的中點．求證:（1）直線EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD。22．（12分)已知四棱錐P－ABCD（圖1)的三視圖如圖2所示,△PBC為正三角形,PA垂直底面ABCD，俯視圖是直角梯形．（1)求正視圖的面積；（2)求四棱錐P－ABCD的體積；(3）求證：AC⊥平面PAB。參考答案一、選擇題1．答案B解析由垂直同一直線的兩平面平行知，B正確．2．答案B解析由棱臺的定義知，各側(cè)棱的延長線交于一點，所以選B.3．答案D解析當A，B，C共線且與l平行或相交時，確定一個平面;當A，B,C共線且與l異面時,可確定3個平面；當A,B,C三點不共線時，可確定4個平面．4．答案D5．答案B解析這些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8個．6．答案C解析易知①與②正確，③不正確．7．答案B8．答案A解析易證AC⊥面BB1D1D,OM?面BB1D1D，∴AC⊥OM.計算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN。9．答案C解析將過點M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉(zhuǎn)任意非零的角度，所得平面與直線AB,B1C1都相交，故③錯誤,排除A，B，D。10．答案D解析排除A、B、C，故選D.11．答案D12．答案D解析易證AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE?！逧F在直線B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f（1，2）×eq\f（1，2）×1×eq\f（\r(2),2）＝eq\f(\r(2）,24)?！郃、B、C選項都正確,由排除法即選D.二、填空題13答案異面解析如圖所示：由圖知，AB與CD為異面直線．14．答案BD15．答案(1)BD⊥CD(2)60°解析（1）AB＝AC，AD⊥BC,∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC為二面角的平面角，∠BDC＝90°，∴BD⊥DC。(2）設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a,則斜邊長為eq\r(2)a.∴BD＝CD＝eq\f（\r（2),2）a?！嗾郫B后BC＝eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2）,2)a))2)＝a。∴折疊后△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.16．答案①③④∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四邊形BFD′E為平行四邊形．∴①正確．②不正確（∠BFD′不可能為直角)．③正確（其射影是正方形ABCD)．④正確．當E，F(xiàn)分別是AA′，CC′中點時正確．三、解答題17．證明∵點E，F(xiàn)，G,H分別為所在棱的中點，連接BC1，GF,如圖．∴GF是△BCC1的中位線,∴GF∥BC1?！連E∥C1H,且BE＝C1H，∴四邊形EBC1H是平行四邊形．∴EH∥BC1,∴GF∥EH。∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．∵GF≠EH，故EF與HG必相交．設(shè)EF∩HG＝I?！逫∈GH，GH?平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可證I∈平面ABCD?！帱cI在交線DC上．即EF，HG,DC三線共點．18．解（1）點M為PD的中點．理由如下:連接BD,設(shè)BD∩AC＝O，則點O為BD的中點，連接OM，∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.∴OM為△PBD的中位線,故點M為PD的中點．（2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是邊長為1的正方形，∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝eq\f(1,2）×1×1＝eq\f(1,2），S△PBC＝eq\f(1,2)×1×eq\r（2)＝eq\f（\r（2），2），S△PCD＝eq\f（1,2）×1×eq\r(2）＝eq\f(\r(2），2).故四棱錐P－ABCD的表面積為S＝1＋2×eq\f（1，2）＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝2＋eq\r（2)。19．解（1)證明：作NP⊥AB于P，連接MP。NP∥BC，∴eq\f（AP,AB)＝eq\f（AN,AC）＝eq\f(A1M，A1B)，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C。MN?面MPN，∴MN∥面BB1C1C.(2）eq\f(NP，BC）＝eq\f(AN,AC)＝eq\f（\f（\r（2)，3）a，\r(2)a）＝eq\f（1，3），NP＝eq\f（1，3）a,同理MP＝eq\f（2，3）a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝eq\r（\f（4，9)a2＋\f(1，9）a2）＝eq\f(\r（5）,3）a。20．解(1）證明:因為P,Q分別為AE，AB的中點,所以PQ∥EB。又DC∥EB,因此PQ∥DC，又PQ?平面ACD,從而PQ∥平面ACD.（2)如圖，連接CQ,DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因為DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC,因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE。由（1)有PQ∥DC，又PQ＝eq\f（1,2）EB＝DC,所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ。因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝eq\r（5)，DP＝1,sin∠DAP＝eq\f（\r（5）,5)，因此AD和平面ABE所成角的正弦值為eq\f(\r(5)，5）.21．證明（1)在△ABD中,∵E，F(xiàn)分別是AB,BD的中點，∴EF∥AD。又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直線EF∥平面ACD。(2）在△ABD中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD。在△BCD中，∵CD＝CB,F為BD的中點,∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD。22．解（1)過A作AE∥CD，根據(jù)三視圖可知，E是BC的中點，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC為正三角形，∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC,∴PE2＝PC2－CE2＝3.∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD，∴PA⊥AE?！郟A2＝PE2－AE2＝2，即PA＝eq\r(2）.正視圖的面積為S＝eq\f（1,2）×2×eq\r（2）＝eq\r（2)。(2)由(1）可知，四棱錐P－ABCD的高PA＝eq\r(2），底面積為S＝eq