2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：點共線、線共點、點共圓問題 學(xué)案講義

第9章點共線.線共點.點共圓問題

乞1解法概述

一、證明三點共線的常用方法

(1)取三點中的一點,與另外兩點分別連兩條直線，證明它們都平行于或都垂直于某一條直線.

(2)證明連接兩點的直線通過第三點.

(3)以三點中居中的點為頂點，過另外兩點作兩條射線，證明形成平角.

(4)居中的點與另外兩點分別相連,形成兩條直線，若與過中間點的一條直線組成對頂角，則三

點共線.

(5)連接三點的三條線段中,有一條等于另外兩條之和.

(6)以三點為頂點的三角形的面積為0.

(7)同一法，反證法.

二、證明三線共點的常用方法

(1)設(shè)兩直線的交點，再證明此點在第三條直線上.

(2)證明各直線都過同一個特殊點.

(3)設(shè)兩直線的交點，過此交點作出某一條直線，證明這條直線與第三條直線重合.

(4)證明以三直線兩兩相交的三個交點為頂點的三角形的面積為0.

(5)利用已知的線共點的結(jié)論.

(6)同一法、反證法.

三、證明四點共圓的常用方法

(1)四邊形對角互補或者某一外角等于內(nèi)對角.

(2)線段同側(cè)的兩點對于線段的張角相等.

(3)各點到某一定點的距離相等.

(4)利用相交弦定理的逆定理.

(5)把四邊形分成兩個有公共邊的三角形,證明這兩個三角形的外接圓重合.

(6)利用四點共圓的有關(guān)判定定理.

q.2范例分析

[范例1]

三角形一邊上的高線的垂足在另外兩邊及另外兩高線上的射影四點共線.

分析1對于四點共線問題，先證其中三點共線，再證第四點也在該直線上，如圖F9.1.1所

示,我們先證尸、。、M三點共線，這只要證.容易看出氏p、

°、。共圓,D、0、H、M共圓，所以N?+/PQD=180，ZDQM-ZDHM,

于是只要證=，這可由8、D、H、尸的共圓證出.

證明1因為田=N8QD=90所以仄P,。、。共圓所以“QD+，8=180.

圖F9.1.1

因為ZDQH+ZDMH^+90=180，所以。、。、〃、M共圓，所以

ZDQM=ZDHM

因為ZHDB+ZHFB=90+90=180所以5、。、〃、廠共圓，所以

NDHM=ZB.

所以/FOD+/Cgw=180，即尸、0、M三點共線.同理N、M、。共線.因為

M、。為兩直線上的公共點，所以P,Q,M,N四點共線.

A

圖F9.1.2

分析2也可以采用同一法，連PN,再證明Q,M在直線PN上.

設(shè)PN與BE,。尸各交于Q，M，如圖F9.1.2所示.因為=180，所

以/、P、D、N共圓，所以/1=/2.又由4E、D、8共圓，/1=/3,所以

N2=N3,所以ADQ、.共圓，所以/BQD=/BPD=90,即IBE.^B

過砧外的點。只能作一條垂線與砧垂直，由QQ上BE,DQ1BE，可見。與Q重

合.同理M與重合.這就證出了P,Q,M、N共線.（證明略.）

分析3如圖F9.1.3所示，連PN、PQ.若能證出PN、PQ都與同一條直線平行，則P、

N、Q共線.從圖上觀察，容易發(fā)現(xiàn)EF是所說的直線，連EF.

因為CFJ.AB,DPLAB,所以CFUDP,同理BE//DN.設(shè)H為ABC的垂心.由

AF_AHAH_AE知AF苗,所以PNUEF.只要再證PQI/EF,也就是要

FP-HD'HD-ENFP

BPBQ

證明一=—

PFQE

圖F9.1.3

和證明PN//E廠的方法類似，我們也嘗試找一媒介比值，這只要取殷即可，很容易由平

DC

BPBQ

行截比定理證出西=近，所以尸—.

這表明從P發(fā)出的兩直線P0、PN都與￡尸平行，所以尸，。、N共線.同理可證RM、

N共線.（證明略.）

［范例2J

Q和。外離，44是一條外公切線，4外是一條內(nèi)公切線，4,4是Q上的切點，

4、片是Q上的切點，則QQ、44、4用三線共點.

分析1證明三線共點，可先設(shè)兩條直線交于一點，再證另一直線也過此點或兩直線與第三

條直線的交點都與之重合.設(shè)44和4外交于p，容易證明P、4、Q、與共圓，利用圓

的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角的定理，可證E44s用，從而推出44//股.

同理有O\PHB艮，這樣分析后可以看出有可能通過比例證出44、4片和QQ的交點

重合.

圖F9.2.1

證明i連Q4?4、。2片、。耳,延長為4,交44于P,連萬q、PO2,設(shè)月q交

44于4,世交44于。.如圖F921所示.

因為1B\P,OBIB2P,所以R4、Q、與共圓，所以4/弭=24Q片.

O2BX22

因為以=現(xiàn)，O2B1=O2B2,所以等腰4%s用，所以/B24a=N%4.

因為?4，4旦，即/4綽2+/與4〃=9。，所以為4+44。=90，所以

44紇

因為股與，所以世〃44.

因為POX144，所以PQ〃3線.

設(shè)44的延長線交aa于",設(shè)44和°\°2交于N.由平行截比定理，

PD[_02MO2D2_02N

DQ—MO；D2P一市

因為以4s0?咯,PKB2sQAA,所以黑=[＜，盥=普，所以

生=型,所以PD\—。4

O2D2D2P'以D2P

OM__ONO?M+MO\_QN+NO]

所以22.由合比定理,即空L_9,所以

M0「NO、MO,—NO1MOXNO1

Aq=NO\,所以M、N重合.

所以44、4與、qq三線共點.

分析2。14和Q4同垂直于W4，則Q4和Q4可看作以44為直徑的圓的兩條切線?同

理Q4、q用都垂直于4與，則Q4、q用又可看作以4名為直徑的圓的切線.因為

Q4=Q4,Q4=Q用，可見Q、Q是到兩個圓的切線長相等的點，即直線QQ是

此二圓的根軸.

由分析1知44上咯,設(shè)垂足為因為NAMB、=/&呵=90,所以“是此兩圓

的公共點.故QQ應(yīng)在兩圓的公共弦線上.這樣，只要連QM證出Q、弘g共

線，問題就解決了.證明這樣的三點共線可采取分別證出Q、Q都在過河的某一條直線上的

方法.

證明2設(shè)44的延長線和44交于"如證明1所證，4M片?如圖F9.2.2所示，以

44、4用為直徑各作一個圓.因為N&MB：=/4g=90,所以M在此兩圓上.設(shè)兩

圓另外一交點為N.

連Q4,Q4,Q用Q區(qū).因為Q4,44,，所以如和Q4是

F9.2.2

44的兩條切線?同理Q4和Q與是4片的兩條切線.

連,設(shè)QM與44和4與各交于可、可,由切割線定理，

Of=oM-ONi,?？?(W-Q%.因為。展=0g，所以O(shè)fQV,=OMON2,所

以。風(fēng)=。％.所以耳、“重合,即可是44和4片?的公共點.因為兩圓相交只有

兩個公共點，所以N、”都與N點重合.可見Q在1w上,即Q在44和4用的公

共弦上.同理可證q在初乂上，所以Q、M、q三點共線.

所以QQ、44、片用三線共點.

分析3這個公共點是否能預(yù)先確定它的性質(zhì)?也即是說，M點是怎樣的特殊點?作出另一條

內(nèi)公切線斯，E、廠各是Q、q上的切點.設(shè)防的延長線與4^交于“，過《作

明，qa，M為垂足，則這個垂足M即是所說的點.這樣，我們可以先作出M,然后證

出44、/片也過此點.這只要在連4M即/后證出/a［物=/與此,則可推知

4、M、與三點共線.同理，4、M、4三點共線.可見44、4片都過QQ上的這個特

殊點

4

圖F9.2.3

證明3作另一條內(nèi)公切線所,在Q上的切點為￡.在Q上的切點為尸.延長￡尸，交

W4于片，過《作q02的垂線晶，交4員于月，交°\°2于M.連

響、MB2、MF、QK、?4、02F，如圖F9.2.3所示.

由整個圖形關(guān)于OXO2軸對稱知/R鳴=用蟠.因為甲,明都是切線,所以

QFl^F,Q4上鶴，可見片、F、M.Q、4五點都在以。耳為直徑的圓上，所

以NFM^=NFO2A,又NFQK=NB101K,N4a4=/8；物,所以

q物=/與此,可見4、M、反共線，即44與QQ也交于M點.

同理，利用《、片,M、E、Q（以Q4為直徑）五點共圓及關(guān)于QQ的軸對稱性，又可證

出4/=4必、可見4、4、M共線，即44的延長線也過M點.

綜上，44,4與，QQ三線共點于M.

[范例3]

P為等腰的底邊上的任一點，PQUAB,PRIIAC，分別交ZC、4B于

Q、R設(shè)D為P點關(guān)于直線RQ的對稱點,則/、D、B、C四點共圓.

分析1通過對角互補可證四點共圓.從條件知

RB=RP=RD,/ABC=/ACB,°。=0P=QC,又由/RP0是平行四邊形，可進

一步得到==QD=AR，可見ADQ=DAR，所以/RON=NQZD這

時把四邊形的兩組對角分別加起來，很容易發(fā)現(xiàn)對角之和相等.

BPC

圖F9.3.1

證明1如圖F9.3.1所示，連R。、.由對稱性，尸，RD=RP.

易證/RP0是平行四邊形，所以。P=/尺，RP=AQ，所以NE=。。，AQ=RD，所以

ADQ=DAR，故=

①易證RP=RB,所以RB=RD,NRDB=NRBD

②因為AB=AC,所以ZABC=ZACB

③式①+式②+式③得

ZQAD+ZABC+ZRBDZRDA+ZRDB+ZACB

即ZDAC+NDBC=ZADB+ZACB.

因為/。/。+/。3。+//。8+//<?8=360，所以/ZUC+/D8C=180，所以

/、D、B、C共圓.

分析2要證四點共圓，還可通過證明NBDC=NA4c由于=ZPQC=ZBRP,

只要證出NBDC和其中任一角相等即可.但是直接證NBDC和ZBAC.ZPQC、

心中的任何一個相等都有困難，這時可試著把/ADC分成幾部分，若每部分都和要

證的角有一定的關(guān)系，則。整體也容易建立與要證的角的聯(lián)系.

注意到RD=RB=RP,QD=QP=QC的事實,可以想到BDP的外心是凡PDC的外

心是。，引用圓周角和同弧對的圓心角關(guān)系的定理，可很快證出結(jié)論.

證明2連。°,DP、DR、DC，如圖F9.3.2所示.

易證RD=PB=PR,°。=°尸=°C可見人是。皮3的外心，。是PQC的外心.由

圓周角和同弧上的圓心角關(guān)系的定理，NBDP=g/BRP,NPDC=；/PQC

易證/BRP=/PQC=/B4C,

所以43?！?/「。。='/87?尸+工/尸℃=工/84。+,/8月。=/3/。,即

2222

NBDC=NBAC，所以/、D、B、C共圓.

圖F9.3.2

分析3要證四點共圓，可以通過證/、D、B、。到一個定點等距離.這個定點如果存在，

那么顯然是48。的外心。.利用BRO=AQO，可得07?=。。，即。點在火。的中

垂線上.只要證出ADRQ是等腰梯形，尺0、是底，則可知0也在40的中垂線上.這

樣，。到4D、B、。距離相等.

要證明ADRQ是等腰梯形，只要證出ADR=ADQ即可.

證明3設(shè)。為48c的外心.連。/、OB、OR、OQ、DR、DQ、OD、OC，如圖

Y9.3.3所示.

因為OA=OB,所以NOAB=NOBA.又NOAB=ZOAC,所以ZOAC=ZOBA.

易證/RPQ是平行四邊形，所以Z0=R尸，又RP=RD=RB,所以AQ=RB=RD,

所以O(shè)BR三OAQ，所以。火=。。，即。在火。的中垂線上.

因為。0=QP=ZR,RD=AQ,ND為公共邊，所以ADR=ADQ，所以R、。到40

等距離，所以/?；?。是等腰梯形.由等腰梯形的軸對稱性知，0點又在40的中垂線上，

即0A=0D.

所以。4=。。=。5=。。，可見/、D、B、C共圓.

圖F9.3.3

q.3研究題

[例1]

三角形的三條中線共點.

證明i（三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線8￡、C廠交于G,連4G并延長，交于。，延長40到〃，使朋=/G,

連BH、CH,如圖Y9.1.1所示，則GF、G￡各是血/和/7/C的中位線，所以

GF//BH,GE//HC，所以GBHC是平行四邊形，BC、GH是其對角線.

因為平行四邊形的對角線互相平分，所以5。=。。，所以，。是邊的中線，所以

AD,BE,CF三中線共點.

圖Y9.1.1

A

圖Y9.1.2

證明2（三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線5￡、。少交于G點，。為的中點，連G4GD，作CHHGD,交6￡的

延長線于〃,作EM7/CF,交AF于M,如圖￥9.1.2所示

在BCH和ACF中，由中位線定理知GB=GH,AM=MF=-AF=-BF.

22

在BEM中,由平行截比定理，型=”，，所以EG=LGB,所以，

GBBF222

所以EG=EH.

因為/￡=￡GEG=EH,所以4G、C、〃是平行四邊形的四個頂點，所以

GAHCH.

因為G4//S,GDHCH，所以4G、。共線，即40是中線，所以BE、CF=

中線共點.

A

圖Y9.1.3

證明3（中位線定理、相似三角形）

設(shè)中線交于G，中線CF交于G.連DE，如圖

所示，則?！晔?5c的中位線，所以DE,。石=匕3,由DEGs4SG知

2

AGAB

~GD~1DE~,

同理,連加后有器端=2,所以擠AG'，所以

笠產(chǎn)=/了’即卷'所以儂=G'DG與G'必定重合.

所以三中線BE、CF共點.

證明4（三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線5￡、W交于G，中線跖、/。交于G'.設(shè)尸，0分別是GB、GC的中點，連所、

PQ,如圖Y9.1.4所示，則叱、尸0分別是45。和GBC的中位線，所以

EF-BC,PQ-BC,所以￡廠PQ,所以￡、F、尸、Q是平行四邊形的四頂點，所

=2=2=

以GE=GP=PB.

同理，若連?！?又可證G'E=G'P=PB,所以GE=G'E=必，所以G、G重合.

所以三中線40、BE、CF共點.

圖Y9.1.4

圖Y9.1.5

證明5（引用第5章例2的結(jié)果）

設(shè)中線40、BE交于G,AD、CF交于G'.如圖Y9.1.5所示.

由第5章例2的結(jié)果，捺2普2,券=2若=2，所以擠薪可見G、G

內(nèi)分，。成等比值.由分點的唯一性知G、G'重合，即三中線BE、CF共點.

證明6（Ceva定理）

設(shè)BD=DC,CE=EA,AF=FB.

因為士L.叱.匕=1,由三線共點的Ceva定理知AD、BE、CF共點

FBDCEA

證明7（面積法、反證法）

設(shè)三中線兩兩相交于P、。、R，如圖￥9.1.6所示若P、Q、R共線，表明40、BE、CF

各有兩公共點，所以BE、CF共線，與三角形的假設(shè)違背，所以P、0、R不共線.

若P、Q、R實際上只是兩點,設(shè)P、。重合而與人不重合，則，。與CF有兩個公共點,

所以40、。廠應(yīng)重合，與已知矛盾，所以P、0、火不能僅有兩點重合.

若P、Q、R是不共線的三點，則SPQRW0.連陽，如圖79.1.6所示.FD是中位線，所

以陽///C所以所以s皿_S^c=S.—S歡C所以S,=S力.

同理,SAg=SBQD'Scpe=SBpF.

連/P、BR、C0.因為。、E、F各是BC、CA.45的中點，所

=

以SBRD=SCRD，SAQE=SCQE，S=SBPF?故SSD~ARF^AQPF~^~^PQR

C—C—CIVV—C—CIV

°AQE-uBQD一°BPRD丁心PQR，BPF~CPE~^CRQE丁2PQR

因為S^QPF—APF+SAPQ=SBPF+SAPQ9^BPRD=SBBD+SBPR=S即+SBPR，

ScRQE=Sc°ECQR~+S,把它們代人式、式、式再把三式相加，

+sSAQECQR(1)(2)(3),

就得到s40P+S"依+SCO&+3S&R=0,此式表明=0,這與假設(shè)矛盾.

所以尸、。、R是一個點，即三中線40、BE、CF共點.

證明8(引用第6章例5的結(jié)論)

設(shè)三中線40、BE、CF兩兩相交于P、Q、凡由第6章例5的結(jié)論，色必=,?一？一

S/BC川+2+i

這里人黑CE_AF，所以弓至=o，所以s噂=0.

)ABC

但由證明7的分析知，尸、Q,7?不可能共線或僅有兩點重合，所以P、Q、R實為一個點，

即三中線BE、CF共點.

圖Y9.1.7

證明9(面積法、三角形全等)

設(shè)中線8￡、C廠交于G，連4G并延長，交5C于。，作曲人CN，均與力。垂直，

垂足分別是M、N,如圖Y9.1.7所示

因為區(qū)廠分別是4G秒的中點，所以SA.ihB=SAar.=-5A.tCc■所以

AEB~^AEGFAFC~^AEGF，即5跖產(chǎn)3收.又因為sEGC~^EGA9'KS=S隰,

所以sAGCACS-

因為AGC./GB有公共底4G,CN、是對應(yīng)高，所以QV=

因為NCDN=NBDM,所以RtCNDvRtBMD,所以，即，D是5C邊

上的中線，所以三中線3、BE、CF共點

證明10(解析法)

如圖Y9.1.8所示，建立直角坐標(biāo)系.

C\/1\/i\

設(shè)。(c,0),/(a,b)，則?！?0,E—-—■

J\22J122J

內(nèi)分AD成比值2=2的點的坐標(biāo)為

Q

1Q+2?一

_北+AXD_2_a+。

yA+XyD_6+2.0_b

1+4—1+2—5

I33)

內(nèi)分BE成比值2=2的點的坐標(biāo)為

-0+2-------?

xB+AXE_2_〃+。

1+21+23

」0+2-5,

v_yB+^yE_2_b

1+21+23

（a+cb\

同法還可求出內(nèi)分庭為4=2的分點也是這個點，即是AD、BE、CF的公共

I33y

點，所以三中線4。、BE、CF共點.

[例2]

三角形的三高共點.

證明1（相似三角形、共圓）

設(shè)兩高5￡、C廠的交點為8,連M并延長，交BC于D,連EF,如圖￥921所示

由/、F、H、￡共圓知/1=/2.

由B、C、E、F共圓知22=/3,所以/1=/3.因為NC為公共角，所以

BECooADC，所以//OC=/5EC=90，所以40也是高線,即三高40、BE、CF

共點

A

A

證明2（共圓、證三點共線）

設(shè)兩高5￡、CF交于H,連4H,作HD上BC,垂足為。，連尸￡,如圖Y9.2.2所示

因為4F、H、￡共圓，所以/1=/2.

因為8、C、E、尸共圓，所以N1=N/CS.

因為TAD、C、￡共圓，所以N3=N/CB.

所以N3=/2,所以4H、。共線，即,所以三高40、BE、CF共點.

證明3（利用三角形三邊的中垂線共點的性質(zhì)）

分別過4B、。作對邊的平行線，三條直線兩兩相交,交點為《、&、。,如圖Y9.2.3

所示易證4/G各邊的中點分別是/、B、c，所以BE、CF是44G各邊的

中垂線.因為三角形各邊的中垂線共點，所以3、BE、CF共點，即N5C的三高共點.

A,

圖Y9.2.3

證明4（Ceva定理）

如圖Y9.2.4所示.

由Rt/OCsRt5￡C知2￡=生.

ACBC

由RtBE4sRtCK4知0￡=坦二

ABAC

由RtBFC-Rt80/知竺=處.

BCAB

A

圖Y9.2.4

以上三式連乘，得到0c.9.空ECAFBDr-r-isi

-------------,所以

ACABBCBCACAB

嗎=i.由Ceva定理知40、BE、CF共點

DCEAFB

證明5（解析法）

圖Y9.2.5

如圖Y9.2.5所示，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)。(a,0),A(b,c).

40的方程為x=6.

因為kAC=,所以左BE=—，所以BE的方

b-ac

a-b

程為y=----x.

c

兩方程聯(lián)立可得H[b,

、C,

b(a-b).

Qb

所以％=7,kCH=—4------=—,所以=-1,所以。/,可見CH

bb-ac

也是高，所以三高40、BE、CF共點.

[例3]

兩直線4、4交于。點，在4上有4B、C，滿足04=45=5。在4上有工、M、N,

滿足L0=0M=MN，則/1、BN、CW三直線共點.

證明1(三角形中位線定理、同一法)

設(shè)4LBN交手K.連必并延長，交0B的延長線于。，連4W,如圖Y9.3.1所示，則

AM是0BN的中位線，所以AM=-BN.

2

因為LAMsLKN,所以2竺=里=3,所以NK=^AM=>BN,所以

AMLM224

11C[BKB1AT)

KB」BN=LAM-KBUAM,所以^=—=7,所以

42CXAAM2

因為45=5。，所以8C=qs,即。與q重合.

所以/】、BN、CM三線共點.

l-l

CC\/)

圖Y9.3.1

圖Y9.3.2

證明2（平行截比定理、三角形的中位線）

作MP!IAL,交（于P，連4W,設(shè)/小CM交于K,連BN,如圖Y9.3.2所示.

易證AOL=POM，所以/。=PO,AP=/C.在CMP中，由中位線逆定理知AK是

CW的中位線，所以X=KM.

因為_24=9絲，而以AM//BN.

ABMN

在CMA中，由中位線逆定理知BN與CM的交點是CM的中點，即也過K.

所以/】、BN、CM三線共點.

證明3（中位線定理、重心的性質(zhì)）

連K4、CL，如圖￥9.3.3所示.

在OBN中,■是中位線，所以W//5M在⑷/。中，由中位線逆定理知5N必過

的中點K,即CK=KM.

在MLC中，C。是,邊上的中線，/點分。。成2:1的兩部分，所以/是MLC的

重心，所以￡/必是CM上的中線，即L4過K.

所以/】、BN、CM三線共點.

證明4（同一法）

設(shè)也、BN交于K，作冊〃4，分別交CW、LK于P、。，設(shè)CM、BN交于K,如圖

Y9.3.4所示.

易證OAL=BAQ,所以8。=OL=OM=MN.

KNLM30L\

由LKNSQKB^—=-=—=3.

由MNK'sPBK，知理=%.

BPK'B

在「E/r+nOMOCc心IMNc心IK'NcKNK'N?一^

在CW中，----=——=3,所以----=3,所以-----=3,即Rn——=----=3.可見

BPBCBPK'BKBK'B

K、K'都是內(nèi)分線段NB成比值3的點，由定比分點的唯一性知K、K'重合，即

AL、BN、CM共點.

N.M

圖Y9.3.3

圖Y9.3.4

證明5（解析法）

如圖Y935所示,建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)CU=4B=BC=a,LO=OM=MN=b,NAOM=a，貝(]

/(a,0),B(2a,0),C(3a,0),L(-ZJCOSa,-Z?sin?),M^bcosa,bsina),N(2Z?cosa,2Z?sin?)

”的方程為y=/ina

?(x-a),即

-bcosa-a

圖Y9.3.5

xbsina-(bcosa+a)y-absina=0①

5N的方程為y=_2加ine/_2fl),即

26cosa-2a

xbsina-(bcosa-a)y-2absina=0②

CW的方程為》=?加詁°—.(x-3a),即

bcosa-3a

xbsina-(bcosa-3a)y-3absina=0③

bsina-a-bcosa-absina

方程⑴、（2）、⑶的系數(shù)行列式為bsinaa-bcosa-2absina

bsina3a-bcosa-3absma

1-a-bcosa-1

=a/sin2]1a-bcosa-2

13a—bcosa-3

（

1-1-1111

二加sin2a?a11-2+Z7cosa?112二0

13-3113

7

所以4￡、BN、CM三線共點.

[例4]

在梯形48co中，40//5GAD+BC=AB,廠為CD的中點，則//、的平分線

必交于尸.

證明1（梯形的中位線、等腰三角形）

圖Y9.4.1

作FEUAD，交4B于E,如圖￥9.4.1所示,則EF是梯形的中位線,所以

EF=^（AD+BC）=^AB=AE=EB所以/I=N3.因為N2=N3，所以/1=/2,

即2%的平分線為

同理可證的平分線是BF.

證明2（三角形全等、等腰三角形）

延長/尸，交5。的延長線于G，如圖Y9.4.2所示易證ADF=GCF，所以4D=CG.

因為，所以5C+CG=/5,gpAB=BG，所以/I=N3.又N2=N3,

所以/1=/2,即//的平分線過F點.

同理可證NB的平分線也過F點.

圖Y9.4.2

圖Y943

證明3（梯形的中位線、三角形全等、菱形的性質(zhì)）

作FEIIAD,交AB于E，則所是梯形的中位線.過F作AB的平行線'交BC于H,

交AD的延長線于G,如圖Y9.4.3所示

易證FDG=FHC，所以O(shè)G=CH，所以4D+BC=4G+BH=4B.

易證ABHG是平行四邊形，所以ZG=相，所以/G=工=/E=,所以AEFG、

2

跳旌都是菱形，AF,8尸分別是它們的對角線.由菱形的對角線的性質(zhì)知/凡BF6

別是N4的角平分線.

證明4（三角形全等、內(nèi)角和定理）

在48上取G，使=.因為/B=/r>+5C=NG+G5，所以BG=5C.連G。、

GC、GF,AF,斯，如圖Y9.4.4所示，則Nl=N2,N3=N4.

因為/1+/2+//=180,/3+/4+/B=180,//+/8=180,所以

/1+/2+/3+N4=180,即Nl+N3=90,所以

/DGC=180-/1-/3=180-90=90.所以G尸是RtOGC斜邊上的中線，所以

FD=FC=FG.

由ADF=AGF,BCF=5G9知N5=/6,N7=N8，所以N4的平分線交

于廠點.

圖Y9.4.5

證明5（面積法）

過產(chǎn)作，交AD于M,交BC于N作FEL4B,垂足為E.侔4F、BF.

如圖Y945所示.

易證RtFMDvRiFNC,所以FM=FN.

因為

)

SADF+SBCF=^AD-FM+^BC-FN=^AD+BC-FM=^-AB-FM=^AD+BCy^=^-SABCDl

,所以MF=EF,所以MF=EF=FN.

可見廠點到N4的兩邊等距離，所以4F、AF分別是2的平分線.

證明6（解析法）

如圖Y9.4.6所示，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=b,BC-a,NABC=a，貝U

C(Q,O),A((a+b)

a+b、a+b

cos圓(q+b)sina),Z)9+(q+b)cos。,(6z+/7)sin6Z)F(]+COSOCj9sina

、22/

連BF、AF.

a+b.

------sma

m

因為kAB=tana,kBF=-------------=s"=tan-,所以BF是的平分線.

"『i+cos0"cos。2

同理/廠是的平分線.

圖Y9.4.6

[例5]

在48C中，NB=2NC,ADVBC,M在48的延長線上，BD=BM,N為4c的

中點，則D,N共線.

M

圖Y951

證明1（同一法）

連池并延長，交ZC于N,如圖Y951所示.

在BMD中，Nl=N2+NM=2/2,/2=/3,所

以/1=2/3.因為/1=2/。，所以N3=/C,所以

DN】=N。易證DN1=AN].

所以N]是RtADC的斜邊的中點，所以N與N重合.

所以M,D、N共線.

證明2（直角三角形斜邊中線定理）

如圖Y9.5.2所示，連DM、DN.

在Rt4DC中，QN是斜邊上的中線，所以=因為二。二,/月臺。，所以

2

ZNDC=-ZABC

2

因為二"C是等腰8W的外角，所以NABC=NM+NBDM=2NBDM,所以

NBDM=-ZABC

2

所以NBDM=/NDC，所以M、D、N共線.

M

圖Y953

證明3（角平分線、平行公理）

連DM、DN,作NABC的平分線BP，交4c于P，如圖Y9.5.3所示.因為

ZABC=2/C=2/2，所以/2=NC.

因為DN是Rt4DC斜邊上的中線，所以N4=NC,所以/2=/4,所以BP//DN.

因為/4SC是等腰BMD的外角，所以NABC=2/3,2/2=2/3,所以/2=N3,

所以BPHMD.可見MD、DN都與BP平行，所以M、D、N共線.

證明4（Menelaus定理）

在。。上取4，使@=DB，連,如圖Y9.5.4所示，則/班是等腰三角形，所

以奶=皿/網(wǎng)=/鄴

圖Y954

因為N/BC=2NC,所以N%43=2/C,所以期。也是等腰三角形.所以

/=4。因為BM=BD,AN=NC,所以

DC=DB\+BQ=BD+AB=BM+AB=AM所以處.處.經(jīng)=1

BMDCNA

由Menelaus定理知加、D、N三點共線.

證明5（解析法）

如圖Y955所示，建立直角坐標(biāo)系.

圖Y955

連。MDN,MN.

設(shè)4(0,a),C(c,0),8(50),則N.

7

作,垂足為￡,由三線合一定理知ME=￡D設(shè)N8A?=a,則

NBDM=a,ZABC=2a.因為ZABC=2ZC,所以ZC=a所以

M(2bcos%,2bcosasinfz).

2bcos2a2bcosasina

￡ca

所以SMND

222

00

12bcos2a2bcosasma

bcosa/

=——-——(acosa-csina

2-a

22

在RtADC中，由正弦定理,'二=一—=—泠—,所以

sinasmZDACsin190-a]cosa

fitcoscr=c-sincr，所以S=0,所以河、N、。三點共線.

[例6]

在45C中，E、尸分別是45,NC的中點，延長C￡到P，使EP=EC,延長BF到

Q，使尸Q=FB，則P,/、0共線.

證明1（證明平角）

如圖Y9.6.1所示"車/P,AQ.

易證AEP=BEC,AFQ=CFB，所以=,N3=NACB

圖Y9.6.1

因為N2+//8C+N/C8=180，所以N2+/1+/3=180，即/尸為平角，所

以P、4、0共線.

證明2（利用平行公理）

如圖Y9.6.2所示，連工尸、AQ,PB、QC.

因為四邊形4PBe和四邊形ABCQ的對角線互相平分，所以4PBe和ABCQ都是平行四

邊形，所以AP/IBC,//3C.由平行公理知P、/、Q共線.

證明3（中位線定理、乎行截比定理、同一法）

連0/并延長，交CE的延長線于《，連EF,如圖￥9.6.3所示.

因為￡尸是8/。的中位線，所以“。//￡/，所以超//即.

在C4片中.由平