2022-2023學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版必修第二冊）專題8.7 機(jī)械能守恒定律（解析版）

專題8.7機(jī)械能守恒定律【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1單體機(jī)械能守恒】 【題型2與關(guān)聯(lián)速度綜合】 【題型3臨界問題】 【題型4涉及彈性繩的問題】 【題型5輕桿連接體】 【題型6涉及彈簧的問題】 【題型7聯(lián)系實際】 【題型8圖像問題】 【題型1單體機(jī)械能守恒】【例1】水上樂園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點，不計摩擦和空氣阻力。則人的落水點到滑梯末端的水平距離為()A．4.0mB．4.5mC．5.0m D．5.5m解析：選A設(shè)人滑到滑梯末端速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，從滑梯末端水平飛出后做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可知落水時間為t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做勻速直線運動，則人的落水點距離滑梯末端的水平距離為x＝vt＝4.0m?！咀兪?-1】一半徑為R的圓柱體水平固定，橫截面如圖所示。長度為πR、不可伸長的輕細(xì)繩，一端固定在圓柱體最高點P處，另一端系一個小球。小球位于P點右側(cè)同一水平高度的Q點時，繩剛好拉直。將小球從Q點由靜止釋放，當(dāng)與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時，小球的速度大小為(重力加速度為g，不計空氣阻力)()A．eq\r(2＋πg(shù)R) B．eq\r(2πg(shù)R)C．eq\r(21＋πg(shù)R) D．2eq\r(gR)解析：選A當(dāng)與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時，小球下落的高度為h＝πR－eq\f(π,2)R＋R＝eq\f(π＋2,2)R，小球下落過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒有mgh＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立以上兩式解得v＝eq\r(2＋πg(shù)R)，故A正確，B、C、D錯誤?！咀兪?-2】如圖所示，光滑圓形軌道豎直固定在傾角α＝30°的光滑斜面上，B點為圓與斜面相切的點，C為圓軌道上與圓心等高的點，D點為圓形軌道的最高點。一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，從與D等高的A點無初速度釋放，小球可以無能量損失的通過B點進(jìn)入圓軌道，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取10m/s2。在小球運動的過程中，下列說法正確的是()A．小球可以通過D點B．小球到最高點時速度為零C．小球?qū)點的壓力大小為10ND．由于圓軌道的半徑未知，無法計算出小球?qū)點的壓力大小解析：選C根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，小球從A點由靜止釋放，則到達(dá)等高的D點時速度為零；而要想經(jīng)過圓軌道的最高點D的最小速度為eq\r(gR)，可知小球不能到達(dá)最高點D，而是過了C點后將脫離圓軌道做斜上拋運動，則到達(dá)最高點時速度不為零，A、B錯誤；從A點到C點由機(jī)械能守恒定律得mgR＝eq\f(1,2)mvC2，則在C點NC＝meq\f(vC2,R)，解得NC＝2mg＝10N，C正確，D錯誤?！咀兪?-3】如圖(a)，在豎直平面內(nèi)固定一光滑半圓形軌道ABC，B為軌道的中點，質(zhì)量為m的小球以一定的初動能Ek0從最低點A沖上軌道。圖(b)是小球沿軌道從A運動到C的過程中，動能Ek與其對應(yīng)高度h的關(guān)系圖像。已知小球在最高點C受到軌道的作用力大小為25N，空氣阻力不計，重力加速度g取10m/s2。由此可知()A．小球的質(zhì)量m＝0.2kgB．初動能Ek0＝16JC．小球在C點時重力的功率為60WD．小球在B點受到軌道的作用力大小為85N解析：選D由圖(b)可知，半圓形軌道的半徑為0.4m，小球在C點的動能大小EkC＝9J，因小球所受重力與彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：mg＋F＝eq\f(mvC2,R)＝eq\f(2EkC,R)，解得小球的質(zhì)量m＝2kg，A錯誤；由機(jī)械能守恒定律得，初動能Ek0＝mgh＋EkC＝25J，其中h＝0.8m，B錯誤；小球在C點時重力與速度方向垂直，重力的功率為0，C錯誤；由機(jī)械能守恒定律得，在B點的動能EkB＝mgeq\f(h,2)＋EkC＝17J，在B點軌道的作用力提供向心力，由牛頓第二定律得F＝eq\f(mvB2,R)＝eq\f(2EkB,R)＝85N，D正確?！绢}型2與關(guān)聯(lián)速度綜合】【例2】如圖所示，光滑水平面與光滑半球面相連，O點為球心，一輕繩跨過光滑小滑輪連接物塊A、B，A、B質(zhì)量相等且可視為質(zhì)點，開始時A、B靜止，輕繩水平伸直，B與O點等高，釋放后，當(dāng)B和球心O連線與豎直方向夾角為30°時，B下滑速度為v，此時A仍在水平面上，重力加速度為g，則球面半徑為()A.eq\f(7v2,4g) B.eq\f(72＋\r(3)v2,4g)C.eq\f(7\r(3)v2,4g) D.eq\f(7v2,4\r(3)g)解析：選D滑塊A和滑塊B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故：mgRcos30°＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，將B的速度沿著平行繩子和垂直繩子方向正交分解，如圖所示：滑塊A、B沿著繩子的分速度相等，故：vA＝vBcos30°，其中：vB＝v，聯(lián)立解得：R＝eq\f(7v2,4\r(3)g)，故D正確?！咀兪?-1】如圖所示，左側(cè)為一個半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點為球心，碗的內(nèi)表面及碗口光滑。右側(cè)是一個固定的光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ＝30°。一根不可伸長的不計質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及斜面頂端的光滑的定滑輪且兩端分別系有可視為質(zhì)點的小球m1和m2，且m1＞m2。開始時m1恰在碗口水平直徑右端的A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直。當(dāng)m1由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時細(xì)繩突然斷開，不計細(xì)繩斷開瞬間的能量損失。(1)求小球m2沿斜面上升的最大距離s；(2)若已知細(xì)繩斷開后小球m1沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2)。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解析](1)設(shè)小球m1到達(dá)最低點B時，m1、m2速度大小分別為v1、v2如圖所示，由運動的合成與分解得v1＝eq\r(2)v2對m1、m2組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得m1gR－m2gh＝eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22又h＝eq\r(2)Rsin30°聯(lián)立以上三式解得v1＝eq\r(2×\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)v2＝eq\r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，設(shè)細(xì)繩斷開后m2沿斜面上升的距離為s′，對m2，由機(jī)械能守恒定律得m2gs′sin30°＝eq\f(1,2)m2v22小球m2沿斜面上升的最大距離s＝eq\r(2)R＋s′聯(lián)立以上兩式并代入v2，解得s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R。(2)對m1，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)m1v12＝m1geq\f(R,2)代入v1解得eq\f(m1,m2)＝eq\f(2\r(2)＋1,2)≈1.9。[答案](1)eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)1.9【變式2-2】如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上。開始時連接圓環(huán)的繩子處于水平，長度l＝4m?，F(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2。若圓環(huán)下降h＝3m時的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)解析：選A圓環(huán)下降3m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和繩子看成一個整體，整體只有重力做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)圓環(huán)下降h＝3m時，根據(jù)機(jī)械能守恒可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，聯(lián)立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正確?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點)套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長且不可伸長的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m。與定滑輪等高的A點和定滑輪之間的距離為d＝3m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略?，F(xiàn)將小環(huán)從A點由靜止釋放，小環(huán)運動到C點速度為0，重力加速度取g＝10m/s2，則下列說法正確的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A.A、C間距離為4mB.小環(huán)最終靜止在C點C.小環(huán)下落過程中減少的重力勢能始終等于物塊增加的機(jī)械能D.當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時，小環(huán)與物塊的動能之比為2∶1答案AD解析小環(huán)運動到C點時，由機(jī)械能守恒得mgLAC＝Mg(eq\r(d2＋Leq\o\al(2,AC))－d)，解得LAC＝4m，故A正確；假設(shè)小環(huán)最終靜止在C點，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點對小環(huán)有FT＝eq\f(mg,sin53°)＝eq\f(5,4)mg≠2mg，所以假設(shè)不成立，小環(huán)不能靜止，故B錯誤；由機(jī)械能守恒定律可知，小環(huán)下落過程中減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為物塊增加的機(jī)械能和小環(huán)增加的動能，故C錯誤；將小環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度vM＝vmcos60°，由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，小環(huán)與物塊的動能之比為2∶1，故D正確。【題型3臨界問題】【例3】(多選)如圖所示，由長為L的輕桿構(gòu)成的等邊三角形支架位于豎直平面內(nèi)，其中兩個端點分別固定質(zhì)量均為m的小球A、B，系統(tǒng)可繞O點在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始位置OA水平。由靜止釋放，重力加速度為g，不計一切摩擦及空氣阻力。則()A．系統(tǒng)在運動過程中機(jī)械能守恒B．B球運動至最低點時，系統(tǒng)重力勢能最小C．A球運動至最低點過程中，動能一直在增大D．?dāng)[動過程中，小球B的最大動能為eq\f(\r(3),4)mgL解析：選AD系統(tǒng)在運動過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故A正確；系統(tǒng)的重心在A、B連線的中點位置，當(dāng)AB連線水平時，系統(tǒng)重力勢能最小，動能最大，故A球運動至最低點過程中，動能先增加，后減小，故B、C錯誤；AB連線水平時，系統(tǒng)動能最大，此時A球運動到圖中B球位置，故根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：mg·eq\f(\r(3),2)L＝2×eq\f(1,2)mv2，解得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(\r(3),4)mgL，故D正確?！咀兪?-1】如圖所示是一豎直固定在水平地面上的可伸縮細(xì)管，上端平滑連接四分之一細(xì)圓弧彎管，管內(nèi)均光滑，右管口切線水平。豎直細(xì)管底部有一彈射裝置(高度忽略不計)，可以讓靜止在細(xì)管底部的小球(可視為質(zhì)點)瞬間獲得足夠大的速度v0，通過調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的長度h，可以改變上端管口到地面的高度，從而改變小球平拋的水平距離，重力加速度為g，則小球平拋的水平距離的最大值是()A.eq\f(v02,g)B.eq\f(v02,2g)C.eq\f(v02,3g)D.eq\f(v02,4g)解析：選B設(shè)管口到地面的高度是H，小球從管口射出的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝mgH＋eq\f(1,2)mv2，小球離開管口后做平拋運動，則x＝vt，H＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立方程，可得x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq\r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函數(shù)的特點可知當(dāng)H＝eq\f(v02,4g)時x取最大值，xmax＝eq\f(v02,2g)?！咀兪?-2】如圖所示，露天娛樂場中過山車是由許多節(jié)完全相同的車廂組成，過山車先沿水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形軌道，若過山車全長為L(L＞2πR)，R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的長度和高度，為使整個過山車安全通過固定的圓形軌道，那么過山車在運行到圓形軌道前的速度至少為(車廂間的距離不計，忽略一切摩擦)()A.eq\r(gR) B.eq\r(3πg(shù)L)C.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))) D.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(πR,L))))[解析]當(dāng)過山車進(jìn)入軌道后，動能逐漸向勢能轉(zhuǎn)化，車速逐漸減小，當(dāng)車廂占滿圓形軌道時速度最小，設(shè)此時的速度為v，過山車的質(zhì)量為M，圓形軌道上那部分過山車的質(zhì)量M′＝eq\f(M,L)·2πR，由機(jī)械能守恒定律可得：eq\f(1,2)Mv02＝eq\f(1,2)Mv2＋M′gR，又因圓形軌道頂部車廂應(yīng)滿足：mg＝meq\f(v2,R)，可求得：v0＝eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L))))。故C正確。[答案]C【變式3-3】如圖所示，半徑R＝0.5m的光滑半圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑水平地面相切于圓軌道最低端點A。質(zhì)量m＝1kg的小球以初速度v0＝5m/s從A點沖上豎直圓軌道，沿軌道運動到B點飛出，最后落在水平地面上的C點，g取10m/s2，不計空氣阻力。(1)求小球運動到軌道末端B點時的速度vB；(2)求A、C兩點間的距離x；(3)若小球以不同的初速度沖上豎直圓軌道，并沿軌道運動到B點飛出，落在水平地面上。求小球落點與A點間的最小距離xmin。答案(1)eq\r(5)m/s(2)1m(3)1m解析(1)選水平地面為零勢能參考面，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋mg·2R解得vB＝eq\r(5)m/s。(2)由平拋規(guī)律得2R＝eq\f(1,2)gt2，x＝vBt，解得x＝1m。(3)設(shè)小球運動到B點半圓軌道對小球的壓力為FN圓周運動向心力FN＋mg＝eq\f(mveq\o\al(2,B),R)得當(dāng)FN＝0時，小球運動到軌道末端B點時的速度最小vBmin＝eq\r(5)m/s由(2)的計算可知，最小距離xmin＝x＝1m?！绢}型4涉及彈性繩的問題】【例4】(多選)研究“蹦極”運動時，在運動員身上系好彈性繩并安裝傳感器，可測得運動員豎直下落的距離及其對應(yīng)的速度大小。根據(jù)傳感器收集到的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的“速度—位移”圖像。若空氣阻力和彈性繩的重力可以忽略，根據(jù)圖像信息，下列說法正確的有()A．彈性繩原長為15mB．當(dāng)運動員下降10m時，處于失重狀態(tài)C．當(dāng)運動員下降15m時，繩的彈性勢能最大D．當(dāng)運動員下降20m時，其加速度方向豎直向上解析：選BD運動員下降15m時速度最大，此時加速度為零，合外力為零，彈性繩彈力不為零，彈力等于重力，彈性繩處于伸長狀態(tài)，故A錯誤；當(dāng)運動員下降10m時，速度向下并且逐漸增大，處于失重狀態(tài)，故B正確；當(dāng)運動員下降15m時，速度不為零，運動員繼續(xù)向下運動，彈性繩繼續(xù)伸長，彈性勢能繼續(xù)增大，故C錯誤；當(dāng)運動員下降20m時，運動員向下減速運動，其加速度方向豎直向上，故D正確?！咀兪?-1】如圖所示，一光滑細(xì)桿固定在水平面上的C點，細(xì)桿與水平面的夾角為30°，一原長為L的輕質(zhì)彈性繩，下端固定在水平面上的B點，上端與質(zhì)量為m的小環(huán)相連，當(dāng)把小環(huán)拉到A點時，AB與地面垂直，彈性繩長為2L，將小環(huán)從A點由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)運動到AC的中點D時，速度達(dá)到最大。重力加速度為g，下列說法正確的是()A.在下滑過程中小環(huán)的機(jī)械能先減小后增大B.小環(huán)剛釋放時的加速度大小為gC.小環(huán)到達(dá)AD的中點時，彈性繩的彈性勢能為零D.小環(huán)的最大速度為eq\r(gL)答案B解析小環(huán)和彈性繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小環(huán)到達(dá)AC的中點D時，彈性繩的長度為2L，伸長量不為0，在AD之間有一位置彈性繩與AC垂直，小環(huán)從A點到彈性繩與AC垂直位置的過程中，彈性繩對小環(huán)做正功，從彈性繩與AC垂直位置到C點的過程中，彈性繩對小環(huán)做負(fù)功，所以下滑過程中小環(huán)的機(jī)械能先增大后減小，故A錯誤；在A位置，環(huán)受重力、彈性繩拉力和支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsin30°＋F彈sin30°＝ma，在D點，環(huán)的速度最大，說明加速度為零，彈性繩長度為2L，故mgsin30°－F彈cos60°＝0，聯(lián)立解得a＝g，故B正確；小環(huán)到達(dá)AD的中點時，彈性繩的長度為eq\r(3)L，伸長量不為0，故彈性勢能不為零，故C錯誤；在D點速度最大，此時彈性繩長度等于初位置彈性繩的長度，故初位置和D位置環(huán)的彈性勢能相等，所以mg·2Lcos60°＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gL)，故D錯誤?！咀兪?-2】如圖所示，彈性輕繩的一端套在手指上，另一端與彈力球連接，用手將彈力球以某一豎直向下的初速度向下拋出，拋出后手保持不動。從球拋出瞬間至球第一次到達(dá)最低點的過程中(彈性輕繩始終在彈性限度內(nèi)，空氣阻力忽略不計)，下列說法正確的是()A．繩伸直以后，繩的拉力始終做負(fù)功，球的動能一直減小B．該過程中，手受到的繩的拉力先增大后減小C．該過程中，重力對球做的功大于球克服繩的拉力做的功D．在最低點時，球、繩和地球組成的系統(tǒng)勢能最大解析：選D繩伸直以后，繩的拉力始終做負(fù)功，但重力大于拉力時球的速度增大，故球的動能增大，當(dāng)重力與拉力相等時球的速度最大，動能最大，球繼續(xù)向下運動，當(dāng)重力小于拉力時球的速度減小，則球的動能減小，A錯誤；該過程中，手受到繩的拉力一直增大，B錯誤；由動能定理可得WG－W克繩＝0－eq\f(1,2)mv02，該過程中重力對球做的功小于球克服繩的拉力做的功，C錯誤；在最低點時，小球的動能為零，球、繩和地球組成的系統(tǒng)勢能最大，D正確?！咀兪?-3】一蹦極運動員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺下落，到最低點時距水面還有數(shù)米距離。假定空氣阻力可忽略，運動員可視為質(zhì)點，下列說法錯誤的是（）A．運動員到達(dá)最低點前重力勢能始終減小B．蹦極繩張緊后的下落過程中，彈性力做負(fù)功，彈性勢能增加C．蹦極過程中，運動員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．蹦極過程中，重力勢能的改變量與重力勢能零點的選取有關(guān)答案：D【題型5輕桿連接體】【例5】一質(zhì)量不計的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B。支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，如圖所示。開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則()A．A球的最大速度為2eq\r(gl)B．A球的速度最大時，兩小球的總重力勢能最小C．A球第一次轉(zhuǎn)動到與豎直方向的夾角為45°時，A球的速度大小為eq\r(\f(8\r(2)＋1gl,3))D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1解析：選B根據(jù)題意知無論何時兩球的角速度均相同，線速度大小之比均為vA∶vB＝2∶1，D錯誤；由機(jī)械能守恒可知，A球的速度最大時，二者的動能最大，此時兩球總重力勢能最小，B正確；當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時，由機(jī)械能守恒得mg·2lcosθ－2mg·l(1－sinθ)＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)×2mvB2，解得vA2＝eq\f(8,3)gl(sinθ＋cosθ)－eq\f(8,3)gl，由數(shù)學(xué)知識知，當(dāng)θ＝45°時，sinθ＋cosθ有最大值，最大值為vA＝eq\r(\f(8\r(2)－1gl,3))，A、C錯誤?！咀兪?-1】(多選)如圖所示，一輕質(zhì)支架的兩端分別連著質(zhì)量為m和2m的小球A和B(可視為質(zhì)點)，支架的OA段長為L，OB段長為2L，∠AOB＝120°保持不變，可繞水平固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動。已知重力加速度為g，當(dāng)OB與水平方向成30°角時無初速度釋放支架，直到B球第一次運動到最低點的過程中，下列說法正確的是()A．當(dāng)B球運動到最低點時，A球的速度大小為eq\r(gL)B．當(dāng)B球運動到最低點時，B球的速度大小為eq\r(2gL)C．B球運動到最低點的過程中，支架對A球做正功D．B球運動到最低點的過程中，B球的機(jī)械能守恒[解析]小球A與B角速度大小相同，故eq\f(vA,vB)＝eq\f(rAω,rBω)＝eq\f(1,2)，即vB＝2vA，B球第一次運動到最低點時，由幾何關(guān)系和整個系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得2mg×3L－mg×eq\f(3,2)L＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)×2mvB2，聯(lián)立解得vA＝eq\r(gL)，vB＝2eq\r(gL)，故A正確，B錯誤；B球第一次運動到最低點的過程中，對于A球，由幾何關(guān)系和動能定理，可得－mg×eq\f(3,2)L＋W＝eq\f(1,2)mvA2－0，解得W＝2mgL＞0，支架對A球做正功，故C正確；同理，B球第一次運動到最低點的過程中，支架對B球做負(fù)功，B球的機(jī)械能不守恒，故D錯誤。[答案]AC【變式5-2】(多選)如圖所示，長為L的輕桿，一端裝有轉(zhuǎn)軸O，另一端固定一個質(zhì)量為2m的小球B，桿中點固定一個質(zhì)量為m的小球A，若桿從水平位置由靜止開始釋放，在轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，不計一切摩擦，下列說法中正確的是()A．A、B兩球總機(jī)械能守恒B．輕桿對A球做正功，輕桿對B球做負(fù)功C．輕桿對A球不做功，輕桿對B球不做功D．輕桿對A球做負(fù)功，輕桿對B球做正功解析：選AD兩球組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，兩球的角速度相等，到達(dá)豎直位置時，設(shè)A球的速度為v，則B球的速度為2v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgeq\f(L,2)＋2mgL＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)×2m(2v)2，解得v＝eq\f(\r(5gL),3)；對A球運用動能定理得W＋mgeq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mv2，解得W＝－eq\f(2,9)mgL，則輕桿對A球做負(fù)功；對B球運用動能定理得W′＋2mgL＝eq\f(1,2)×2m(2v)2，解得W′＝eq\f(2,9)mgL，則輕桿對B球做正功。故A、D正確，B、C錯誤?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，質(zhì)量均為m的a、b兩球固定在輕桿的兩端，桿可繞O點在豎直面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，已知兩球距O點的距離L1＞L2，現(xiàn)在由圖示位置靜止釋放，則在a下降過程中()A．a(chǎn)、b兩球的角速度大小始終相等B．重力對b球做功的瞬時功率一直增大C．桿對a球做負(fù)功，a球的機(jī)械能不守恒D．桿對b球做負(fù)功，b球的機(jī)械能守恒解析：選ACa、b兩球同時繞O點轉(zhuǎn)動，角速度大小始終相等，故A正確；剛開始，b球的速度為0，重力對b球做功的瞬時功率為0，在豎直位置，速度與重力方向垂直，重力對b球做功的瞬時功率為0，所以重力對b球做功的瞬時功率先增大后減小，故B錯誤；在a球下降的過程中，b球的動能增加，重力勢能增加，所以b球的機(jī)械能增加，根據(jù)重力之外的力做功量度物體機(jī)械能的變化，所以桿對b球做正功，a球和b球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，a球的機(jī)械能減小，桿對a球做負(fù)功，故C正確，D錯誤?！绢}型6涉及彈簧的問題】【例6】(多選)如圖所示，一輕彈簧一端固定在O點，另一端系一小球，將小球從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點靜止釋放，讓小球自由擺下，不計空氣阻力，在小球由A點擺向最低點B的過程中，下列說法正確的是()A.小球的機(jī)械能守恒B.小球的機(jī)械能減少C.小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變D.小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案BD解析小球由A點下擺到B點的過程中，彈簧被拉長，彈簧的彈力對小球做了負(fù)功，所以小球的機(jī)械能減少，故選項A錯誤，B正確；在此過程中，由于只有重力和彈簧的彈力做功，所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即小球減少的重力勢能等于小球獲得的動能與彈簧增加的彈性勢能之和，故選項C錯誤，D正確?！咀兪?-1】2021年7月30日，東京奧運會蹦床女子決賽中，中國包攬女子蹦床金、銀牌，朱雪瑩奪金，劉靈玲獲蹦床銀牌。在運動員蹦床訓(xùn)練中，從運動員下落到離地面高h(yuǎn)1處開始計時，其動能Ek與離地高度h的關(guān)系如圖所示。在h1～h2階段圖像為直線，其余部分為曲線，h3對應(yīng)圖像的最高點，運動員的質(zhì)量為m，重力加速度為g，不計空氣阻力和一切摩擦。下列有關(guān)說法正確的是()A．整個過程中運動員的機(jī)械能守恒B．從運動員的腳接觸蹦床直至蹦床被壓縮至最低點的過程中，其加速度先增大后減小C．運動員從h1降到h5過程中，蹦床的最大彈性勢能為Epm＝mgh1D．運動員處于h＝h4高度時，蹦床的彈性勢能為Ep＝mg(h2－h(huán)4)解析：選D運動員與蹦床組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A錯誤；運動員的腳接觸蹦床到彈力等于重力的過程中有mg－kx＝ma，運動員下降過程中x增大，則a減小，當(dāng)彈力等于重力到蹦床被壓縮至最低點的過程中有kx－mg＝ma′，運動員下降過程中x增大，則a′增大，則從運動員的腳接觸蹦床直至蹦床被壓縮至最低點的過程中，其加速度先減小后增大，B錯誤；運動員從h1下降到h5過程中，蹦床的最大彈性勢能為Epm＝mg(h1－h(huán)5)，C錯誤；運動員處于h＝h4高度時，根據(jù)機(jī)械能守恒有mg(h2－h(huán)4)＝Ep，D正確?！咀兪?-2】如圖所示，A、B兩物體在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過細(xì)線繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行。已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放C后C沿斜面下滑，A剛離開地面時，B獲得最大速度。求：(1)斜面傾角α；(2)B的最大速度v。[解析](1)當(dāng)A剛離開地面時，設(shè)彈簧的伸長量為xA，對A有kxA＝mg，此時B受到重力mg、彈簧的彈力kxA、細(xì)線拉力FT三個力的作用，B的速度達(dá)到最大，即加速度為零，受力平衡，則C也受力平衡，對B有FT－mg－kxA＝0，對C有4mgsinα－FT＝0，解得sinα＝0.5，所以α＝30°。(2)開始時彈簧壓縮的長度為xB＝eq\f(mg,k)，則xA＝xB，當(dāng)A剛離開地面時，B上升的距離以及C沿斜面下滑的距離均為xA＋xB，由于xA＝xB，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長狀態(tài)時的彈性勢能相等，而且A剛離開地面時，B、C兩物體的速度相等，由機(jī)械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sinα－mg(xA＋xB)＝eq\f(1,2)(4m＋m)v2，解得v＝2geq\r(\f(m,5k))。[答案](1)30°(2)2geq\r(\f(m,5k))【變式6-3】(多選)如圖所示，有質(zhì)量為2m、m的小滑塊P、Q，P套在固定豎直桿上，Q放在水平地面上。P、Q間通過鉸鏈用長為L的剛性輕桿連接，一輕彈簧左端與Q相連，右端固定在豎直桿上，彈簧水平，α＝30°時，彈簧處于原長。當(dāng)α＝30°時，P由靜止釋放，下降到最低點時α變?yōu)?0°，整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內(nèi)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降過程中()A．P、Q組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B．當(dāng)α＝45°時，P、Q的速度相同C．彈簧彈性勢能最大值為(eq\r(3)－1)mgLD．P下降過程中動能達(dá)到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg解析：選CD對于P、Q組成的系統(tǒng)，由于彈簧對Q要做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；但對P、Q和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力或彈簧彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯誤；當(dāng)α＝45°時，根據(jù)P、Q沿輕桿方向的分速度相等得vQcos45°＝vPcos45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B錯誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得Ep＝2mgL(cos30°－cos60°)，彈性勢能的最大值為Ep＝(eq\r(3)－1)mgL，故C正確；P下降過程中動能達(dá)到最大前，P加速下降，對P、Q整體，在豎直方向上根據(jù)牛頓第二定律有3mg－N＝2ma，則有N＜3mg，故D正確?！绢}型7聯(lián)系實際】【例7】載人飛行包是一個單人低空飛行裝置，如圖所示，其發(fā)動機(jī)使用汽油作為燃料提供動力，可以垂直起降也可以快速前進(jìn)，若飛行包(包括人)在豎直方向上勻速上升的過程中(空氣阻力不可忽略)，下列說法正確的是()A．發(fā)動機(jī)對飛行包不做功B．飛行包的重力做正功C．飛行包的動能不變D．飛行包的機(jī)械能不變解析：選C飛行包(包括人)在豎直勻速上升的過程中，發(fā)動機(jī)的動力向上，則發(fā)動機(jī)對飛行包做正功，A錯誤；高度上升，飛行包的重力做負(fù)功，B錯誤；飛行包(包括人)在豎直方向上勻速上升，故飛行包的動能不變，C正確；飛行包在上升過程中動能不變，重力勢能變大，故機(jī)械能變大，D錯誤。【變式7-1】(多選)如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”的玩具陀螺能在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模型。半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的鐵球(可視為質(zhì)點)沿軌道外側(cè)運動，A、B分別為軌道的最高和最低點，軌道對鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，則()A．鐵球繞軌道可能做勻速圓周運動B．鐵球繞軌道運動過程中機(jī)械能守恒C．鐵球在A點的速度必須大于eq\r(gR)D．軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌解析：選BD鐵球在運動的過程中，磁力和支持力不做功，只有重力做功，所以鐵球的機(jī)械能守恒，在最高點的速度最小，在最低點的速度最大，鐵球不可能做勻速圓周運動，A錯誤，B正確；鐵球在最高點的速度只要大于0即可通過最高點，C錯誤；要使鐵球不脫軌，鐵球在最高點的速度恰好為0，合力恰好等于0，則由機(jī)械能守恒定律可知鐵球到達(dá)最低點時的速度滿足mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，軌道對鐵球的支持力恰好等于0，有F－mg＝meq\f(v2,R)，解得F＝5mg，故要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，D正確?！咀兪?-2】蕩秋千是人們喜歡的一項健身娛樂活動。蕩秋千者通過做功，逐漸增加自身的機(jī)械能，從而逐漸“蕩”高。其原理如下：人向下擺動過程中逐漸“下蹲”使重心下降，而在秋千上擺過程中，人又逐漸站起使重心升高，機(jī)械能增加，從而逐漸“蕩”高。有一個正在“蕩”秋千的運動員質(zhì)量為75kg，身高為1.8m，在水平地面上站立時重心高1.0m，蹲坐時重心高0.6m。秋千擺長為5.0m。若該運動員從與豎直方向成37°角位置開始下擺。(忽略空氣阻力、秋千的質(zhì)量，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求運動員到達(dá)秋千下擺的豎直最低位置時的速度大??；(2)求運動員在秋千下擺的豎直最低位置時受到秋千的作用力大小。解析：秋千擺長L0＝5.0m，運動員在水平地面上站立時重心高H1＝1.0m，蹲坐時重心高H2＝0.6m，以秋千下擺的最低位置處為零勢能點。(1)秋千下擺過程中運動員機(jī)械能守恒，mg[L0－(L0－H1)cos37°]＝mgH2＋eq\f(1,2)mv2，解得v≈4.9m/s。(2)設(shè)運動員在秋千下擺到最低位置時受到秋千的作用力大小為F，則F－mg＝meq\f(v2,L0－H2)，解得F≈1159N。答案：(1)4.9m/s(2)1159N【變式7-3】有一款名叫“跳一跳”的微信小游戲，游戲要求操作者通過控制棋子(質(zhì)量為m)脫離平臺時的速度，使其能從一個平臺跳到旁邊的平臺上．如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌跡，不計空氣阻力．則下列說法中正確的是(重力加速度為g)()A．棋子從起跳至運動到最高點的過程中，機(jī)械能增加mghB．棋子離開平臺時的動能為mghC．棋子從離開平臺至運動到最高點的過程中，重力勢能增加mghD．棋子落到平臺上的速度大小為eq\r(2gh)【答案】C【題型8圖像問題】【例8】某實驗小組做了如下實驗，裝置如圖甲所示。豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾角為θ的斜面軌道AB和圓弧軌道BCD組成，在B點相切。使質(zhì)量m＝0.1kg的小球從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，用壓力傳感器測出小球經(jīng)過圓弧最高點D時對軌道的壓力F。改變H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，取g＝10m/s2。(1)求圓軌道的半徑R；(2)若小球從D