一元二次不等式及其解法高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊(cè)

第1課時(shí)一元二次不等式及其解法(1)新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．2．能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．學(xué)科核心素養(yǎng)1.會(huì)求一元二次不等式的解集．(邏輯推理、直觀想象)2．會(huì)求分式不等式的解集．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能解決一元二次不等式的實(shí)際問(wèn)題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)4．理解一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關(guān)系，并能解決相應(yīng)的問(wèn)題．(邏輯推理)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是______的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一個(gè)2狀元隨筆一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)

a有a＞0或a＜0兩種，注意a≠0.當(dāng)a＜0時(shí)，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號(hào)要改變方向，這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}，則必有a＞0.(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(

)×√√×

答案：A

3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(

)A．1B．2C．3D．4答案：C

4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集為_(kāi)_______．R解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0無(wú)解．即函數(shù)y＝x2＋6x＋10的圖象在x軸上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集為R.題型探究課堂解透題型1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1

解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0.

方法歸納解不含參數(shù)的一元二次不等式的步驟1．通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．2．對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．3．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根．4．根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的草圖．5．根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集．記憶口訣：設(shè)相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，并與x軸相交，則有口訣：大于取兩邊；小于取中間．

BA題型2三個(gè)“二次”之間的關(guān)系例2

已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

方法歸納一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．

題型3解含參數(shù)的一元二次不等式角度1對(duì)判別式“Δ”進(jìn)行討論例3

解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

角度2對(duì)根的大小進(jìn)行討論例4

解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．解析：原不等式等價(jià)于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)當(dāng)－1－a＜－1＋a，即a＞0時(shí)，－1－a≤x≤－1＋a；(2)當(dāng)－1－a＝－1＋a，即a＝0時(shí)，不等式即(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)當(dāng)－1－a＞－1＋a，即a＜0時(shí)，－1＋a≤x≤－1－a.綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式的解集為{x|－1－a≤x≤－1＋a}；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＋a≤x≤－1－a}．角度3對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論例5

設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.

方法歸納解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟跟蹤訓(xùn)練3

解關(guān)于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.

解析：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0，a∈R，當(dāng)a>1或a<0時(shí)，a2>a，原不等式的解集為{x|x<a，或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，原不等式的解集為{x|x<a2，或x>a}當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠1}；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠0}．易錯(cuò)辨析忽視二次項(xiàng)系數(shù)致誤例6

若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集為(

)A．{x|－2＜x＜1}B．{x|x＜－2或x＞1}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|0＜x＜3}

答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視a的范圍致誤，易錯(cuò)選C.根據(jù)題中所給的二次不等式的解集，結(jié)合三個(gè)二次的關(guān)系得到a＜0，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b，c的關(guān)系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．

答案：C

答案：C

3．已知2a＋1＜0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(

)A．{x|x＜5a或x＞－a}B．{x|x＞5a或x＜－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}答案：A

4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集內(nèi)，則k的取值范圍是___________．k≤2或k≥4解析：由題意知：k