2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：解三角形（六大考點(diǎn)）（解析版）

三年真題2

4<08斛三角形

目制魯港。絹施留

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)1:正余弦定理綜

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

合應(yīng)用

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)3：角平分線(xiàn)、中2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變

線(xiàn)、高問(wèn)題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題化，仍將以考查正余弦定理的基

2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題本使用、面積公式的應(yīng)用為主.從

考點(diǎn)4：解三角形范圍

2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題近三年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)

與最值問(wèn)題

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以

2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公

2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題式為主.

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)5：周長(zhǎng)與面積問(wèn)

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

題

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)6：解三角形中的

2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

幾何應(yīng)用

曾窟饗綴。闔滔運(yùn)溫

考點(diǎn)1:正余弦定理綜合應(yīng)用

1.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是。也c.己知a=呵b=2,/A=120。.

⑴求sinB的值；

⑵求c的值；

（3）求sin（B-C）的值.

【解析】（1）由正弦定理可得，’7==，即我宜=二一,解得：sin8=巫；

sinAsinBsin120°sin313

2222

（2）由余弦定理可得，a=b+c-2bccosA,Qp39=4+c-2x2xCx^-1^,

解得：c=5或。=一7（舍去）.

（3）由正弦定理可得，二=三，即獨(dú)!_=工，解得：sinC=%^,而4=120。,

sinAsmCsin1200sinC26

所以氏。都為銳角，因止匕cosC=E獨(dú)!…=

5226

用3屈2屈5A/137A/3

sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=---------X-------------------------------X------------=--------------

1326132626

2.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

sinCsin(A-5)=sin5sin(C—A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：24=廿十，

【解析】(1)由A=25,sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而。＜3＜],

所以sinBE(0,1),即有sinC=sin(C—A)＞。，而0＜。＜兀,0＜。一4＜兀，顯然CwC—A,所以，C+C-A=TI,

5兀

而A=25,A+B+C=JI,所以C=—.

8

(2)由sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A),

sinC(sinAcosB—cosAsin=sin5(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知,

g(/+c2-b2)_g(62+c2一*=3僅2+02一/)_1片+62-2),化簡(jiǎn)得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

3.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sin3),則NC=()

71—兀一271r571

A.lB.一C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】因?yàn)?a+c)(sinA—sinC)=Z?(sinA—sin3),

所以由正弦定理得(〃+c)(a-c)=b(a-b),^a1-c1=ab-b2,

a2+b2-c2ab

則a2+b2—c2=ab故cosC=

2ab2^b~2

jr

又0<C<7t,所以c=§.

故選：B.

4.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,6,c,若ocosB-6cosA=c,

TT

且C=《，則NB—()

71c?！?%

A.—B.-C.—

10510

【答案】C

[解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+5)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于3￡(0,兀),故sin5>0,

jr

據(jù)此可得cosA=0,A=—,

2

rrc兀兀3兀

則5=兀一A—。=兀------=—.

2510

故選：C.

5.(2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)在44BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為°,6,c,若8=：,b2^-ac,

34

則sinA+sinC=()

A2屈A/39「an3V13

A.----------R.--------C.------L).----

1313213

【答案】C

jrQ41

【解析】因?yàn)?=耳6=[QC,則由正弦定理得sinAsinC=§sin2B=1

9

由余弦定理可得:k-a2+c2-ac=—ac,

4

131313

即:=一&C,根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一,

4

因?yàn)锳C為三角形內(nèi)角,則sinA+sinC>0,WJsinA+sinC=-

2

故選：c.

9a2

6.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角A民。所對(duì)的邊分別為〃，4c,已知cos3=7,b=5-=~.

16fc3

⑴求。；

⑵求sinA；

⑶求cos（5-2A）的值.

【解析】（1）設(shè)。=2/,C=3/,/>0,貝！J根據(jù)余弦定理得/=片+/—2〃CCOS3,

o

即25=4r+9』一2x21x3/x—，解得/=2(負(fù)舍);

16

則a=4,c=6.

5A/7

（2）法一：因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sin3=Jl-cos23=

~L6~

45

ab

再根據(jù)正弦定理得,即sinA5a，解得sinA=

sinAsinB

16

^22_25262-42_3

法二：由余弦定理得cosA="十'—a+

2bc2x5x6-4,

_T7

因?yàn)锳c(O,7i),貝UsinA=

-4

（3）法一：因?yàn)閏os8=\>0,且3C（0,TI）,所以Be［。,］）

由(2)法一知sin8=%且

16

3

因?yàn)椤?lt;〃，則A<5,所以cosA=

4

3

貝1Jsin2A=2sinAcosA=2xx—=,cos2A=2cos2A—l=2x-1

4484I4

9一15幣3忑i57

cos(B-2A)=cosBcos2A+sinBsin2A=__y__I\z—__

168__16____8-64

法二：sin2A=2sinAcosA=2x立乂3=地,

448

則cos2A=2cos2A-l=I

5幣

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以sinB=，l-cos2g=

16

qicIn3FjS7

所以cos(B-2A)=cosBcos2A+sinBsin2A=一x—+-----x------=——

v716816864

7.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在"RC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

a=a,b=2c,cosA=——.

4

⑴求。的值；

(2)求sin3的值；

⑶求sin(2A-B)的值.

22

【解析】(1)因?yàn)?=b+c-2bccosAf即6=/+，+^-bc,而b=2c,代入得6=4c?+，+，，解得：。=1.

2

(2)由(1)可求出6=2,而0<4<兀，所以sinA=Jl-cos2A=巫,又，一=上，所以

4sinAsinB

°色L

.DbsinA*V10.

〃J64

(3)因?yàn)閏osA=-。，所以5<A<7t,故0<8<巴，XsinA=Vl-cos2A=^^,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2xf-■L]x=—,cos2A=2cos2A—l=2x——1=——,而sinB,所以

[4)481684

cosB=Vl-sin2B

4

故sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB

考點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用

8.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)5在點(diǎn)。正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，5C=CD,存在

點(diǎn)A滿(mǎn)足/84。=16.5。,/八4。=37。，貝|N5C4=（精確到0.1度）

A

【答案】7.8°

【解析】ZBCA=0,ZACD=90°-0f

CACD

在△OC4中，由正弦定理得

sin。sinACAD

__________CA__________CD

即sin[180°-（90°-0+37.0。）]sin37.0°

CACD

即sin（90。-6*+37.0。）-sin37.0°①

CACB

在V3C4中，由正弦定理得

sin5sinZCAB

________CA________CBCACB

即sin[180°—（6+16.5°）]sin16.5°即sin（6+16.5°）一sin16.5°，②

②sin（90。-6+37.0。）sin37.0°

因?yàn)镃D=C5,呆得一——x7

①sin（6+16.5。）sin16.5°

利用計(jì)算器即可得6。78,

故答案為：7.8。.

9.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是

2

c2+a2-b2

S=c2a2,其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

2

a=母,b=6,c=2，則該三角形的面積S=

【答案】曰.

22

]_c2+a2-b24+2-3_V23

【解析】因?yàn)閟=，所以s=4x2-

422一丁

故答案為:f.

考點(diǎn)3：角平分線(xiàn)'中線(xiàn)、高問(wèn)題

10.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知在AABC中，A+JB=3C,2sin（A-C）=sinB.

（1）求sinA；

（2）設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

【解析】（1）vA+B=3C,

jr

.\TI—C=3C,即。=—,

又2sin(A-C)=sin3=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

即tanA=3,所以0<A<],

屈

(2)由(1)知，cosA=

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

由正弦定理,,可得b=----1—=2A/TO,

sinCsinBV2

~T

—A.B,h——AB,AC,sinA,

22

.-./7=/7-sinA=2>/i0x^^=6.

10

11.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在“BC中，ABAC=60°,AB=2,BC=46,N54C的角平分

線(xiàn)交8C于。，則AD=.

【答案】2

【解析】

如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃—2x2xbxcos60。=6,

因?yàn)閎>。，解得：b=\+6,

由S“ABC=SJBD+^^ACD可得?

—x2xZ?xsin60°=—x2xAZ)xsin30°+—xAZ>xZ?xsin30°,

222

273(1+73)

解得：AD=-b=3+6-2

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+Z?2-2X2XZ7XCOS60°=6,因?yàn)閎>0,解得：力=1+6,

由正弦定理可得，&—=—竺=—L,解得：sinB="+3,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因?yàn)閘+6>#>0,所以C=45。，3=180--60°-45°=75°,

又/8A￡>=30°,所以NADB=75°,BPAD=AB=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題

12.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD2BD.當(dāng)

F取得最小值時(shí)，BD=______.

AB

【答案】石-1/-1+G

【解析】［方法一］:余弦定理

^CD=2BD=2m>0,

則在△ABD中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2加,

在AACD中，AC?=冢2+74P2-2CD-Ar)cosZADC=4"22+4-4〃7,

AC24m2+4—4m4(〃/+4+2〃z)-12(l+，")12

所以於’―》?+4+2加m2+4+2m(,1、，3

m+1H-------

''m+1

>4——12=4-2>/3

2(m+1)--3

Vm+1

當(dāng)且僅當(dāng)m+1=—。即m=0-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

Ar1

所以當(dāng)罰取最小值時(shí)，或癢L

故答案為：V3-1.

A

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,g),B(-t,0)

AC2_⑵+3_4產(chǎn)-4f+4__12

424-2有

當(dāng)且僅當(dāng)"1=白，即瓦)=白-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c?二爐+4+2x

22j「.2c+b=12+6x，

b=4A+4x-4x

c?=Y+4+2x

9o9「.2c+b=12+6x,

b=4+4x-4x

AT

令J,則2—+6-、

12+6/12+6x22

t2+2==626-2g,

c2x2+2x+4x+l)+—^—

X+17

/.?>4-2A/3,

3

當(dāng)且僅當(dāng)2=)'即尤=6+1時(shí)等號(hào)成立?

［方法四］:判別式法

設(shè)BD=x,貝l|CD=2x

在△ABD中，AB?++

在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=+4—4x,

匚匚ciAC*24x2+4—4x、一j4%2+4—4x

所以一彳=---------，記￡=---------，

A.Bx+4+2xx+4+2x

貝“（4_r）f-（4+2r）x+（4-4r）=0

由方程有解得：A=（4+2r）2-4（4-z）（4-4r）>0

即7-8+440,解得:4-2A/3<Z<4+2V3

所以襦=4—26，止匕時(shí)犬=爐=退一1

UUllA，

所以當(dāng)若取最小值時(shí)，xf-l，即加地-1.

cosAsin23

13.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記MBC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

1+sinA1+cos23

⑴若C=求8；

2J2

（2）求。匕的最小值.

c

【解析】⑴因?yàn)槭謘in2B2sinBcosB_sinB

即

1+cosIB2cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=—

2

而0<B<5,所以B哈

兀兀

（2）由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<兀,0<B<一,

22

而sin3=_cosC=sin[c-]）,

所以C=g+B,即有A=[_28,所以Be[o，M，Ce[彳，與]

22I4j124J

2222

匚匚2sinA+sinBcos2B+l-cosB

所以一z—=--------z---------=-------------5--------------

c2sin2Ccos2B

5—1）+1—COS2B9r—1—

——\---------------=4COS2B+--—_5>2A/8-5=4V2-5?

cosBcosB

當(dāng)且僅當(dāng)cos28=日時(shí)取等號(hào)，所以直/的最小值為4a一5.

14.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在AABC中，AC=3,8C=4,/C=90。.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，且PC=1,則麗.麗的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[—4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。（。,0）,A（3,0）,3（0,4）,

因?yàn)槭?1,所以尸在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)尸(cos3,sin。)，6￡[0,2TT],

所以⑸=(3—cos仇—sin。),PB=(-cos0,4-sin,

所以B4.P3=(-cose)x(3—cose)+(4_sin6)x(—sin8)

=cos20—3cos-4sin+sin20

=l—3cos9—4sin9

=1—5sin(e+°),其中sin0=1,cos0=',

因?yàn)橐籰<sin(9+0)<1,所以~4W1—5sin(夕+0)W6,即PAPBe[-4,6]；

故選：D

考點(diǎn)5：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題

15.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記入4BC的內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為已知sinC=&cos5，

4+—，=y[^Clb

⑴求民

⑵若AABC的面積為3+g,求c.

【解析】（1）由余弦定理有a?+/一°2=2Q/?COSC,對(duì)比已知4+廿一/="力,

a2+b2-c2_y/lab_^2

可得cosC=

lablab2

因?yàn)镃e（0,7t）,所以sinC>0,

從而sinC=A/1-COS2C=^1-

又因?yàn)閟inC=^cosB，即cos3=5,

注意到Be（O,7t）,

所以8=g.

(2)由⑴可得"=￥，”0,兀)，從而C弋,A**喑

=V2X73+V2X1=V6W2

22224

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.71~.71

sin——sin—sin—

1234

仄而。=嗎區(qū)瓜=Tjb4.回瀉c

由三角形面積公式可知，"1BC的面積可表示為

iABC222228

由已知AABC的面積為3+山，可得土迫,2=3+6，

8

所以c=20.

16.(2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)記AABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+石cosA=2.

(1)求A.

(2)若4=2,①sinC=csin23，求AABC的周長(zhǎng).

【解析】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+A/3COSA-2可得」sinA+^^cosA=1,即sin(A+^)=1,

223

由于Ae（0,無(wú)）nA+Se（/,?）,故A+g=g,解得A

333326

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sinA+百cosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得至!J：

4cos2A—4有cosA+3=0o（2cosA-0>=0,解得cosA=

7T

又AW(O,TT),故A=臺(tái)

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(%)=sin%+A/3COSX(0<x<兀)，則fM=2sin[x+]](()<x<兀)，

顯然x時(shí)，/(x)max=2,注意至[]/(A)=sinA+^/5cosA=2=2sin(A+彳)，

63

/(X)max=/(A),在開(kāi)區(qū)間?兀)上取到最大值，于是X=A必定是極值點(diǎn)，

IPf\A)=0=cosA-sinA,即tanA=/,

又Ae(0,7r),故A=?

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

=\/3),b=(sinA,cosA),由題意，a-b=sinA+\/3cosA=2，

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，無(wú)5=同Wcos他5)=2cos(萬(wàn),5),

則2cosa,b=2<=>cosa,b=1,此時(shí)a,b=0,即a,b同向共線(xiàn)，

根據(jù)向量共線(xiàn)條件，LeosA=V5.sinAotanA=，

3

TT

又Ae(0,兀),故A=U

6

方法五：利用萬(wàn)能公式求解

設(shè)t=tan:，根據(jù)萬(wàn)能公式，sinA+AcosA=2=3+百，

21+r1+t2

整理可得，I2-2(2-+(2-府=0=?_Q-A))2,

解得tan±=f=2-g,根據(jù)二倍角公式，tanA=3r=立，

21-t23

TT

又A￡(0,7l),故A=m

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

V2Z;sinC=csin2B<=>A/2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又氏Ce(0,7i),則sinBsinCwO,進(jìn)而cosB=變，得到2=:，

24

7兀

于是C=7i—A—5=—,

12

.血+遙

sinC=sin(7i-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=-------,

4

2bc

hC----=-----=------

由正弦定理可得，三----=----，EP.7171.7兀，

sinBsinCsm—sin—sin——

6412

解得b二2JJ,c=+\/2，

故陰。的周長(zhǎng)為2+#+3直

17.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,NZ為鈍角，（2=7,

sin2B=——bcosB?

7

⑴求NA；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得AABC存在，求AABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=^|；條件③：csinA=1V3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【解析】（1）由題意得2sinBcosB=3bcosB,因?yàn)锳為鈍角，

7

廠廠

貝iJcosNwO,則2sin8=Nb,貝iJsinB73sinAsinA,解得sinA=也，

7T2

因?yàn)锳為鈍角，則A=1.

（2）選擇①b=7,則sinB=3b=3x7=W,因?yàn)锳=多，則8為銳角，則8=￡,

1414233

止匕時(shí)A+i5=7i,不合題意，舍棄；

選擇②cos8="，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，則sin8=Jl-Q|；=等，

則代入2sinB=，^6得2x38=立6,解得6=3,

7147

sinC=sin（A+B）=sin=sin——cosB+cos——sinB

33

5A/3

~14~

貝1JS4Bc=‘a(chǎn)bsinC='x7x3x2=^^.

iASC22144

選擇③csinA=：代，則有ex且二也，解得c=5,

222

75

ac，即君sinC,解得sinC=%8

則由正弦定理得

sinAsinC14

2

、2

仔611

因?yàn)閏為三角形內(nèi)角，則cosC=1-=---,

14

(2兀兀i2兀2兀

貝lJsin3=sin(A+C)=sin—+C=sin—cosC+cos—sinC

333

=與旦+5百373

x------=------

21421414

則=Lesin5=Ix7x5x^=l^i

△ADC2

2144

18.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記加。的內(nèi)角A3,。的對(duì)邊分別為。，仇已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴證明：2tz2=b2+c29

(2)若Q=5,cosA=—,求A/4BC的周長(zhǎng).

【解析】(1)證明：因?yàn)閟inCsin(A-5)=sinBsin(C-A),

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sin5sinCcosA—sinBsinAcosC,

a2+b2-c2

所以=-ab-

2ac2bclab

即

所以2a1=b2+c2;

(2)因?yàn)镼=5,cosA=^,

由(1)得〃+，=50,

22

由余弦定理可得“2=b+c-IbccosA

貝IJ50—笆力c=25,

31

31

所以be后，

故僅+C)2=Z?2+C2+26C=50+31=81,

所以b+c=9,

所以々45。的周長(zhǎng)為a+〃+c=14.

19.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)在AABC中，sin2C-V3sinC.

⑴求—C；

(2)若6=6,且AABC的面積為6百，求AABC的周長(zhǎng).

【解析】(1)因?yàn)镃e(O,%),則sinC>0,由已知可得百sinC=2sinCcosC,

可得cosC=走，因此，C=￡.

26

(2)由三角形的面積公式可得￡M°=；。法皿。=|。=6A，解得a=4&.

由余弦定理可得=。2+/-2。6cosc=48+36-2x4遭x6x走=12,."=26，

2

所以，AABC的周長(zhǎng)為a+Z?+c=6^/3+6.

20.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)記^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。涉,c,已知'***=2.

cosA

⑴求Z?c；

小、什QCOSB-/7cosAbi…一nil

(2)右------------—=1,求AABC面積.

acosB+0cosAc

【解析】(1)ma2=b2+c2-2bccsA,所以?xún)?解得：bc=l.

O"+c-2Acos。

cosAcosA

/一、.acosB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

(2)由正弦定理可得----———=~,——-————~

acosB+bcos7AcsmAcosB+sinBcosAsinC

sin(A-B)sinBsin(A-B)-sinB1

sin(A+B)sin(A+B)sin(A+B)

變形可得：sin(A-5)-sin(A+5)=sin8,即一2cosAsin5=sinB,

而0<sin5Wl,所以cosA=—《，又OVAVTI,所以sinA=走，

22

故△ABC的面積為5AASC=iz?csinA=ixlx—=—.

2224

21.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)在AABC中，已知NA4C=120。，AB=2,AC=1.

(1)求sinNABC；

(2)若。為BC上一點(diǎn)，且NB4D=90。，求△ADC的面積.

【解析】(1)由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2/?ccosA

=4+1—2x2xlxcos120°=7,

a2+c2-b27+4-15不

則BC=布,COS5=

2ac2x2x414

sinZABC=A/1_COS2B

q—xABxADxsin90°

(2)由三角形面積公式可得■也=吊----------------=4,

山⑺-xACxADxsin30°

2

則SAACD=丁4甌=gx(5x2xlxsinl2(y[=^^.

22.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，Ac.已知4〃=辰,cosC=|.

(1)求sinA的值；

(2)若b=ll,求AABC的面積.

【解析】(1)由于cosC=《，0<C<7i,貝lJsinC=1.因?yàn)?〃=6c,

由正弦定理知4sinA=J^sinC,則sinA=^^sinC=^~.

216211a

(2)因?yàn)?a=石c,由余弦定理，得「a2+b2-c2a+^-^a1一53,

2ab22a2a5

4

即a?+6。-55=0,解得a=5,[fusinC=—,b=11,

114

所以"IBC的面積S=—msinC=—x5xllx—=22.

225

23.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)記金。的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c

為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為印邑，邑，己知￡一邑+邑=sin2=g.

(1)求AASC的面積；

(2)若sinAsinC=,求6.

3

【解析】⑴由題意得?立=立心5362s3c2,則

12242434

<C_V32也出2_V3

—+SR=—ci------bH------c=—，

1234442

〃242_序1

即a?+H一廿=2,由余弦定理得cos3=--------------,整理得accos5=l,貝！Jcos5>0,又sinB=-，