云南省大理白族自治州某中學(xué)2025屆高三年級上冊開學(xué)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省大理白族自治州民族中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

Y—2

2.已知不等式3X+2W0的解集為A,不等式一7<0的解集為5,則A是5的（）

x-l

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量1,n,且同=|三|=中--2力=則向量庖亢的夾角為（）

八?！肛

A.0B.—C.—D.71

32

4.將國,馬，…,毛每個數(shù)均加上9,得到西+9次+9,…,x“+9,則兩組數(shù)數(shù)字特征不同的是

（）

A.平均數(shù)B.方差

C.極差D.眾數(shù)的個數(shù)

5.已知/，加是兩條不重合的直線，見6是兩個不重合的平面，下列結(jié)論正確的是（）

A.若/ua,機(jī)u尸,/!.機(jī)，則夕_1_尸B.若Iua,mu0,a1。,貝!!/_1.加

C.若aCl尸=，尸,〃?ua,m_L/,則機(jī)J./D.若lua,mu（3,a〃/3,貝!J/〃他

6.已知函數(shù)/（x）=liw+辦2_3x在（g,3）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

A.[§,+弓B.（0,-]

C.[，+℃）D.（°，（]

7.已知拋物線C:/=2px（0>O）的焦點(diǎn)尸到其準(zhǔn)線的距離為4,M是拋物線C上一點(diǎn)，若

4（2,3）,則W?|+幽|的最小值為（）

試卷第1頁，共4頁

A.8B.6C.5D.4

8.十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式

357]

sin%=--——+???+(-1)7^----…，(其中x￡氏，〃EN*,加=lx2x3x...x〃，0!=1),

3!5!7!(2〃—1)!

111/八〃-11

現(xiàn)用上述公式求1-4-不+-?+(-1)(2及一2)!+…的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是

()

A.sin30°B.sin33°C.sin36°D.sin39°

二、多選題

9.對于函數(shù)/'(x)=sinx+cosx,下列說法正確的有()

A.2%是/'(X)的最小正周期B.關(guān)于對稱

C.在0,|的值域?yàn)椋?,逝］D.在％上遞增

10.已知拋物線「：1=2處(°>0),過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)7(51)作:T的兩條切線，切點(diǎn)分別為

/、B,下列說法正確的是()

A.p=4B.當(dāng)/=1時，7L4_LT8

C.當(dāng)/=1時，直線的斜率為2D.直線過定點(diǎn)(0,1)

A.若圖中為/'(x)圖象，則/(x)在》=-2處取極小值

B.若圖中為了'(x)圖象，則/(x)有兩個極值點(diǎn)

C.若圖中為P=(x-2)〃x)圖象,則/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

D.若圖中為>=(x+2)/(x)圖象，則/(耳40的解集為卜卜2W2}

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.等差數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為S.，若&=6,品=27,貝!]"=.

13.現(xiàn)有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生

互不相鄰，則不同的站法為.

14.若(l+2x『°24=/+%%+出幺+...+%024—24,貝

%—2出+3%一?,,—2024。2()24二.

四、解答題

15.已知V/3C內(nèi)角aB,C的對邊分別為a,b,c,且回sinC=3ccos5.

⑴求角B的值；

(2)若6=4,ac=16,求V/BC的周長.

16.若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)a、6、。依次成調(diào)和數(shù)列,

則稱。是a和c的調(diào)和中項(xiàng).

⑴求g和1的調(diào)和中項(xiàng)；

(2)已知調(diào)和數(shù)列｛4｝,%=6,&=2,求｛4｝的通項(xiàng)公式.

(1)求證：ABVCD■.

(2)求二面角B-AC-D平面角的余弦值.

18.每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”,

為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生進(jìn)行在

線調(diào)查，得到了這1000名學(xué)生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],

(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示

試卷第3頁，共4頁

的頻率分布直方圖.

頻率

八羸

0.15------------------1—

18日平均閱讀時間(小時)

⑴求。的值：

(2)為進(jìn)一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平

均閱讀時間在(8,10］,(10,12］兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這

10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時間在12］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

226

19.設(shè)橢圓C：T+W=1(4>6>())的左焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為3,離心率為半，。是坐標(biāo)原

點(diǎn)，S.\OB\-\FB\=y［6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=履與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸，|尸耳=歸。］,直線加'與直線/的交

點(diǎn)為°,求VBP。的面積.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCCACCDBACBD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.

【詳解】2—2一二2—止二匕.

1+i222

故選:D.

2.C

【分析】解不等式，根據(jù)集合的包含關(guān)系求解即可.

【詳解】由尤2-3x+2=(x-l)(無一2戶0解得1W2,所以/={x|lVx42},

由(x-2)(x-1)<0解得1<x<2,所以B={x[l<x<2},

所以集合3是集合A的真子集，

所以A是8的必要不充分條件，

故選：C

3.C

【分析】對|3成-2萬兩邊同平方得9+4-12所?力=13,則解出膾?方=0,則得到答案.

【詳解】由|3成一2萬|=&5,得|3玩一2開=(3比一2初2=%沅12M㈤272玩?河=13,

又|玩|=|叫=1,9+4-12分元=13,整理得:m-n=0,

因?yàn)?見“e[0,句，所以玩，萬的夾角為

故選：C.

4.A

【分析】利用平均數(shù)、方差、極差、眾數(shù)的意義判斷即得.

【詳解】依題意，再+9,%+9,…,x“+9的平均數(shù)

〃日一

r

x=—V(xz+9)=—Vxz+9=x+9,

nz=inZ=1

因此兩組數(shù)的平均數(shù)不同，A是；

答案第1頁，共11頁

222

=-Y(^-x),再+9,工2+9廣、當(dāng)+9的方差5'2=，￡8+9-苫')2=-V(x,.-x)=5,

ntn,=1n,=1

因此兩組數(shù)的方差相同，B不是；

由于數(shù)據(jù)再,9,…,X"中的最大與最小，同力口9后，在數(shù)據(jù)玉+9,%+9,…,x“+9中對應(yīng)的數(shù)仍

是最大與最小，

因此兩組數(shù)的極差相同，C不是；

顯然數(shù)據(jù)為,9,…,血中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，同力口9后，在數(shù)據(jù)項(xiàng)+9,超+9,%+9中對應(yīng)的

數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，

因此兩組數(shù)的眾數(shù)的個數(shù)不變，D不是.

故選：A

5.C

【分析】對于A,根據(jù)a,6可能平行、可能相交且不垂直判斷；對于B,根據(jù)/，加可能平

行、可能相交且不垂直、異面且不垂直判斷；對于C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷；對于

D,根據(jù)/〃根或異面判斷.

【詳解】對于A,/u“,機(jī)u尸,/，加，則a,￡可能平行、可能相交且不垂直，故A不正確；

對于B,lua,mu(3,a1。,則/,加可能平行、可能相交且不垂直、可能異面且不垂直，

故B不正確；

對于C,若an￡=/,c_L￡,〃7ua,〃z_L/,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知加_L￡,故C正確；

對于D,若lua,mu/3,a〃/3,貝!!/〃根或異面，故D不正確.

故選：C.

6.C

【分析】求出函數(shù)/(x)=lnx+#-3x的導(dǎo)數(shù)，由題意可得2"2-3X+120在(g,3)上恒成立,

由此參變分離，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?'(無)=lnx+"2-3無，所以7~'(x)=，+2依_3=-x一一3x+l,

由/(無)在(1,3)上單調(diào)遞增，得/'(X)>0在(1,3)上恒成立，

即2晨-3x+120在(萬,3)上恒成立，,

即aN—=一;(工一1)2+|■在(；,3)上恒成立，

2x2x2x282

答案第2頁，共11頁

Q111QQQ

當(dāng)x=we（z，3）時，二次函數(shù)y=_彳（一一彳了+了取到最大值g,

222x288

99

即0的取值范圍為+s）,

oO

故選：C

7.D

【分析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得。，設(shè)在準(zhǔn)線/上的射影為初>4,利用拋物線的定

義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后易得最小值.

【詳解】由焦點(diǎn)廠到其準(zhǔn)線的距離為4,得P=4；

設(shè)在準(zhǔn)線/:x=-2上的射影為A/〉同如圖，

貝I]|M4|+\MF\=|A￡4|+\MM^>\AA^=2+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)4,M,/共線時取得等號.所以所求最小值是4.

故選：D.

8.B

【分析】求出(sinX)，后代入x=1得cosl=sin^j-1|可得答案，即[0。-詈1與33。最接近.

246-1X2

【詳解】(sin尤)'=cosx=l-1y+|y+-■?+卜1)”

（2?-2）1

所以cosl—1+--+(1)H

2!4!6!⑵-2)!

=sin[a一[=sin190°-7；由于

’1QQ°\

9。。一三與33。最接近，

答案第3頁，共11頁

故選：B

9.AC

【分析】利用輔助角公式化簡，再根據(jù)>=Zsin(o%+0)+3的性質(zhì)逐個判斷即可

【詳解】/(%)=sinx+COST=-^-sin[1+?)，

27r

對A,周期為丁=2萬，故A正確；

對B,令=，得〃x)=亞5擊仁+3=國嚀=1,所以函數(shù)小)不關(guān)于g,01寸稱,

故B不正確；

對C,當(dāng)OVxW^時，^<x+^<^,所以也、孝^^出口+:上gxl,即/'(x)的值

域?yàn)閇1,拒],故C正確；

對D,當(dāng)萬時，^<x+^<^~,所以函數(shù)/(x)在不上單調(diào)遞減，故D不正確,

故選：AC.

10.BD

【分析】根據(jù)T(f,T)為準(zhǔn)線上的點(diǎn)列方程-]=-1,解方程即可得到?？膳袛郃；利用導(dǎo)

數(shù)的幾何意義得到過點(diǎn)/的切線斜率，可得到為，馬為方程

x2-3x-4=0的解，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理得到給?率=-1,即可判

斷B；利用韋達(dá)定理和斜率公式求如即可判斷C；聯(lián)立x：-2比「4=0和片=4無得到

2必_1_2=0,同理可得2%_02_2=0,即可得到直線的方程為2y_/x_2=0,可判

斷D.

【詳解】因?yàn)?億-1)為準(zhǔn)線上的點(diǎn)，所以-5=-1,解得。=2,故A錯；

根據(jù)拋物線方程得到y(tǒng)=5,則>=鼻，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為/卜，手;3卜,J]，

1H

則±=土，整理得x；-2x「4=0,同理得考一2%-4=0,

]—X]2

答案第4頁，共11頁

所以X],%為方程--2尤-4=0的解，XjX2=-4,

所以禽?&B=5，/=T，則以，逸，故B正確；

X；X；

由B選項(xiàng)得芭+工2=2,所以左二這一4_占+工2_1,故C錯；

AB-X1-z-42

由B選項(xiàng)得x；-2/X]-4=0,又x；=4yt,聯(lián)立得2乂-%-2=0,

同理得2%-%-2=0,所以直線的方程為2?-女-2=0,恒過點(diǎn)（0,1）,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，

即確定題目中核心變量（通常為變量上）；②利用條件找到上過定點(diǎn)的曲線廠（x,y）=0之間的

關(guān)系，得到關(guān)于左與x,＞的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時，常根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

11.ABD

【分析】選項(xiàng)A：若圖為/（“圖象，〃x）在x=-2左右單調(diào)性一致，不是極值；

選項(xiàng)B：若圖為/（X）圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的大小判斷單調(diào)性，判斷極值.

選項(xiàng)C:若圖為y=（x-2）廠（龍）圖象,根據(jù)圖像的正負(fù)判斷y=7'（x）的正負(fù)，判斷單調(diào)性.

選項(xiàng)D:若圖為了=（尤+2）/（x）圖象，根據(jù)圖像的正負(fù)判斷y=/（x）的正負(fù)，解出/（無）40

的解集.

【詳解】選項(xiàng)A：若圖為/'（X）圖象，則/（x）在》=-2兩邊單調(diào)性一致，不是極值，故A錯

誤；

答案第5頁，共11頁

選項(xiàng)B：若圖為/'(X)圖象，X￡(-<?,-2),/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

xe(-2,0),r(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；xe(O,2),f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

xe(2,yo),/，(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)有-2,0,2三個極值點(diǎn)，選項(xiàng)B錯誤；

選項(xiàng)C:若圖為了=(》-2)廠(龍)圖象，貝口-2<0時，單調(diào)性相反，即xe(r?,-2),

/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;x?-2,0)"，(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;xe(0,2),/(x)>0,函數(shù)單

調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)性一致，/'(尤)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；故C正確；

選項(xiàng)D:若圖為了=(尤+2)〃x)圖象，尤+2<0,圖像正負(fù)相反，無+2>0時圖像正負(fù)一致,

/(尤)40的解集為{x|04x<2},故D錯誤;

故答案為：ABD.

12.15

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2(艮-工)=￡+59-56,求出答案.

【詳解】設(shè)S6=X,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2($6-63)=63+Sg-S6，

又Sf—S3=x—6,Sg—$6=27—x,貝jj2(x—6)=6+27—x,解得x=15.

故答案為：15

13.288

【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合特殊元素優(yōu)先安排的方法可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行：第一步，2名老師分別站兩端，有A：=2種站法；

第二步，先安排3名男生，有A；=6種站法，男生排好后，有4個空位可選；

第三步，將3名女生安排在4個空位中的3個，有A；=24種站法，所以不同的站法有

2x6x24=288.

故答案為：288

14,-4048

【分析】對(1+2》廣4=%+%x+%?+…+%必留"等號兩邊分別求導(dǎo)，再賦值》=-1,可

求得答案、。

答案第6頁，共11頁

［詳解］(1+2X『°24=%+qx+%￡H--+%024￡，

2023

等號兩邊分別求導(dǎo)，得4048(1+lx).=q+2a2x+3a3^+???+2024TZ2024A,

令x=—1,有4048x(-l)2023=a［一2。2+3。3----2024。2024，

所以％-2a2+3%2024。2()24=—4048.

故答案為：-4048

71

15.(1)-

⑵12

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可得答案;

(2)由余弦定理結(jié)合已知條件，即可求得答案.

【詳解】(1)因?yàn)閂§bsinC=3ccosB，所以gsin5sinC=3sinCcosB

又。為V45。內(nèi)角，sinCwO,所以百sinB=3cosB,

顯然8不滿足百sinB=3cos5,即有tan5二抬"，

JT

而8￡(0,兀)，所以

(2)由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=(tz+c)2-3ac,

6=4，QC=16，則a+c=J/+3tze=8,

所以V45c的周長為a+b+c=12.

1

16.⑴5

【分析】(1)根據(jù)題意得到3、9、1成等差數(shù)列，從而得到方程，求出6=：,得到答案；

b2

(2)根據(jù)題意得到，，［是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差，從而求

12〃+1ZX,一

出一=——,得到｛%｝的通項(xiàng)公式.

答案第7頁，共11頁

【詳解】(1)設(shè)工和1的調(diào)和中項(xiàng)為6,依題意得：3、:、1成等差數(shù)歹

3b

所以:===2,解得：b=\,

b22

故;和i的調(diào)和中項(xiàng)為5；

(2)依題意，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

…71171

則3d=----=>d=—,

269

11/八711/1\2z?-4

所以工=1+（〃一i）"=%+5（"-D=-1r

18

故?！?/p>

2〃+1

17.(1)證明見解析

⑵答

【分析】(1)取CD的中點(diǎn)E,連接/E,BE,利用線面垂直的判定定理得CD，平面/BE,

再由線面垂直的性質(zhì)定理可得答案；

(2)利用面面垂直的判定定理得平面平面ABE,取3E,BC的中點(diǎn)。，尸，由面面

垂直的性質(zhì)定理得20,平面BCO,以。為原點(diǎn)，OA,OF,OE所在的直線分別為x,y,z軸

建立空間坐標(biāo)系，求出平面/3C、平面/CD的一個法向量，由面面角向量求法可得答案.

【詳解】(1)取的中點(diǎn)￡,連接BE,

由NC=4D,所以4E_LCD,

由BCnBD,所以BE_LCD,

又BEME=E,BE、/Eu平面

所以CD_L平面/BE,又48u平面/BE,

所以48_LCD；

(2)由(1)知CD_L平面4BE,又CAu平面BCD,所以平面BCDJ,平面/BE,

由/C=BC=5,CE=3,所以/E=8E=4,

又4B=4,所以為正三角形，

取BE,BC的中點(diǎn)。，尸，則平面BCDn平面,

2。_L平面BCD,OF//CD,則CM,O￡OE兩兩垂直，

答案第8頁，共11頁

以。為原點(diǎn)，OA,。尸,?！晁诘闹本€分別為x，%z軸,

建立如圖所示的空間坐標(biāo)系；

則/（0,0,26），5（0,-2,0）,C（3,2,0）,。（一3,2,0）,

所以詼=（0,2,2芯），就=（3,2,-26），CD=（-6,0,0）,

設(shè)方=（%“1，Zi）是平面N3C的一個法向量，

n.?BA=02y,+26z1=0

所以彳-----?即,

nxAC-0[3西+2%-2A/3Z]=0

令4=6，所以石=4,乂二一3,即々二（4,一3,班）；

設(shè)%=卜2，%/2）是平面4cZ）的一個法向量，

n2CD=0X?=0

所以「一即

n,AC=03%+2%-2V=0

令,貝！J%2=0，%=3,即幾2=（0,3,g）,

設(shè)二面角的平面角為6,所以cosd=）「吧=坐

\nt\-\n2\14

二面角8-NC-D平面角的余弦值為國.

（2）分布列見解析，E（X）=（

【分析】（1）根據(jù)所以頻率和為1進(jìn)行計(jì)算；

（2）根據(jù)分層抽樣可得相應(yīng)組抽取的人數(shù)，則X服從超幾何分布，根據(jù)

P（X=k）=筆:，左=0,1,2,3進(jìn)行計(jì)算求解.

Jo

答案第9頁，共11頁

【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）=1.

解得a=0.10；

（2）由頻率分布直方圖得：

這1000名學(xué)生中日平均閱讀時間在（8,10］,（10,12］兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為0.15:0.1=3:2,

若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在（