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文檔簡(jiǎn)介
矩形中的幾何綜合
?思維方法
正向思維:是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式,指的是大家按照自上而下,由近及遠(yuǎn)、從左到右、從
可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問(wèn)題的思維途徑。
逆向思維:是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中,可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向,從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)
進(jìn)行探索的思維方式,比如正向思維無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)可反其道而行采取逆向思維,直接證明有困難時(shí)可采
用間接證明。
分類討論思想:當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),我們就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類,然后對(duì)每
一類分別進(jìn)行研究,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類的結(jié)果,得到整個(gè)問(wèn)題的解答。分類討論的分類并
非是隨心所欲的,而是要遵循以下基本原則:
1.不重(互斥性)不漏(完備性);
2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分(同一性);
3.逐級(jí)分類(逐級(jí)性)。
?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、矩形的性質(zhì)
1.平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;
2.角:矩形的四個(gè)角都是直角;
3.邊:鄰邊垂直;
4.對(duì)角線:矩形的對(duì)角線相等;
5.矩形是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸,分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線;對(duì)稱
中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).
二、矩形的判定方法
1.矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;
2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;
3.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形(或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”).
?典例分析
【典例1】在矩形4BCD中,E是4。邊上一點(diǎn).
(1)若Z71BE=60。,EC平分乙BED,且AB=1,求△EDC的面積;
(2)若“是力E中點(diǎn)且AE=B”,EFLBH于F點(diǎn),求證:BF=AH+WEF;
(3)若乙4BE=60。,EF14D于E點(diǎn),連接2F并反向延長(zhǎng)至G點(diǎn)使得力G=4F=3EF.點(diǎn)H在直線力D上方,
連接BH、HF,GB=BH,^GBH+^ABE=180°,請(qǐng)?zhí)骄坎⒄?qǐng)直接寫(xiě)出AF與FH的數(shù)量關(guān)系.
【思路點(diǎn)撥】
(1)利用角平分線的性質(zhì),構(gòu)造△CEF三△CED,同時(shí)得到含30。角的特殊RtZXBCF,可求出BC,進(jìn)而求
出ED,再求面積.
(2)將B尸分割為4H、8EF兩段,過(guò)4點(diǎn)作BF的垂線,垂足恰好是分割點(diǎn),分別證明.
(3)從NGBH+N2BE=180。,NABE=60。兩個(gè)條件可發(fā)現(xiàn)NG8H=120。=聯(lián)想到可以構(gòu)造手
拉手模型,再通過(guò)“8”字全等模型找到了HF與EF的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而找到了”F與4F的數(shù)量關(guān)系.
【解題過(guò)程】
解:(1)在矩形48C。中CD=48,AD=BC,=/.ABC=ZD=90°.
過(guò)C作CF1BE于F,如圖1.
圖1
?:乙CFE=ZD=90°,乙BEC=4DEC,CE=CE,
BECm△DECQMS).
???CF=CD=AB=1.
?:乙EBC=乙ABC-乙ABE=90°-60°=30°,Z.BFC=90°,
FC=^BC.即BC=2CF=2.
???△4=90。,AABE=60°,
??.Z.AEB=30°,
??.BE=2AB=2.
...AE=VBE2-AB2=A/22-12=V3.
??.ED=AD-AE=BC-AE=2-y/3.
?e,S^EDC—軟。,DC=三一誓
(2)過(guò)A作ZG1BF于G,過(guò)/作Z/1EF延長(zhǎng)線于/,如圖2.
圖2
???乙4/E=90°=Z.BAH,
???Z-ABH+乙AHB=90°,乙FEH+Z.FHE=90°,
工乙ABH=乙FEH.
又AE=BH,
AI=AH,AB=EI.
vAILEIfEF1BH,AG1BF,
???四邊形AGF/是矩形.
;.AG=FI,GF=AI.
???AAGH=乙EFH,^AHG=乙EHF,AH=HE,
.?.AAGH=AEFH.
??.EF=AG.
.?.AB=IE=2AG.
在RtZkZBG中,BG=7AB2-W=J(2ZG)2—g=例G=?F.
??.BF=GF+BG=AH+WEF.
(3)作△E/B關(guān)于AB的對(duì)稱連接KG,EH,如圖3.
圖3
???△KAB三AEAB,
??.KA=EA,Z,KBA=(ABE=60°.
乙KBE=乙KBA+乙EBA=60°+60°=120°.
???乙GBH+乙ABE=180°,
Z.GBH=180°-乙ABE=180°-60°=120°.
乙KBE=乙GBH,
??.Z.KBE-乙KBH=乙GBH-乙KBH.
???乙GBK=乙HBE.
又???GB=BH,KB=BE,
KGB=△HBE(SAS).
??.KG=HE,乙GKB=LHEB.
???KA=EA,Z.KAG=Z.EAF,AG=AF,
AAKG=Ai4EF(SAS).
??.KG=EF,4AKG=^AEF=90°.
.-.KGWAB.
"GKB=乙KBA=60°.
v/.BAE=90°,AABE=60°,
???乙BEA=30°.
???乙HEF=(BEF-乙HEB=乙BEA+^AEF-乙HEB=30°+90°-60°=60°.
為等邊三角形,
???FH=EF,
??.AF=3EF=3FH.
?學(xué)霸必刷
1.(2023?浙江寧波?中考真題)如圖,以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊為邊向外作矩形BCDE,連結(jié)4E/D,
設(shè)△4ED,/\ABE,△"£)的面積分別為S,Si,S2,若要求出S—Si—S2的值,只需知道()
A.△力BE的面積B.△2CD的面積C.△ABC的面積D.矩形8CDE的面積
【思路點(diǎn)撥】
過(guò)點(diǎn)4作FGIIBC,交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,易得:FG=BC,AF1BE,AG1CD,利用矩形
的性質(zhì)和三角形的面積公式,可得Si+S2=gs矩形BCDE,再根據(jù)s=S&4BC+S矩形⑶⑺月~^2=^AABC+
1
5s矩形BCDE,得到S—SI-S2=即可得出結(jié)論,
【解題過(guò)程】
解:過(guò)點(diǎn)/作FGIIBC,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
???矩形8CDE,
/.BC±BE,BC±CD,BE=CD,
???FG1BE,FG1CD,
???四邊形BFGC為矩形,
.-.FG=BC,AF1BE,AG1CD,
.?$=|BE-AF,S2=#D-AG,
,Si+S2=-BE^AF+AG)=5BE-BC—5s矩形BCDE,
又S=S4ABC+S矩形BCDE—Si—S2=S&ABC+5s矩形BCDE,
;.S—Si—S2=S4ABC+2^^B.^BCDE~^^,K.BCDE=^AABC>
只需要知道△4BC的面積即可求出S—Si—S2的值;
故選C.
2.(22-23九年級(jí)上?浙江寧波?期末)如圖,矩形&B1Q01在矩形4BCD的內(nèi)部,且Bi/IBC,點(diǎn)/,外
在對(duì)角線8。的異側(cè).連結(jié)BBi,DBi,BDi,DDlt若矩形A8CD?矩形48母1。1,且兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)已
知.只需要知道下列哪個(gè)值就一定可以求得四邊形B/Di。的面積()
A.矩形4BCD的面積B.ABiBDi的度數(shù)
C.四邊形的周長(zhǎng)D.的長(zhǎng)度
【思路點(diǎn)撥】
連接BQ,DAr,過(guò)點(diǎn)當(dāng)作8止LAB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)的作C#,4B于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)當(dāng)作為G14。于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)
作于點(diǎn)H,設(shè)小矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b,大矩形的長(zhǎng)和寬分別為ak和*,BF=m,AGn,然
后用分割法求得四邊形B&DDi的面積,進(jìn)而可以根據(jù)條件得到結(jié)果.
【解題過(guò)程】
解:如圖,連接BC。D公,過(guò)點(diǎn)當(dāng)作B1E14B于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)的作射F14B于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)當(dāng)作以G14D于點(diǎn)
G,過(guò)點(diǎn)Di作DiHlBC于點(diǎn)H,
,-,81cl1BC,
???四邊形力EBiG、四邊形EFQBi是矩形,
設(shè)小矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和6,大矩形的長(zhǎng)和寬分別為ak和尿,BF=m,AG=n,則S矩形人避心小=
S矩形4BCD=。匕々?,AE=bk—m—a,CH=ak—n—b,
cDBPbmS
???S^BCij=我的,4G=3an,SABC1D1=lii'=l>ADA1B1=|^i^i,AE=^b(bk-m-a),
S^ZMIDI—2^i^i-CH--a(ak—n—b'),
S四邊形B&DDI=SABC'BI+S&BC1D1+SADABI+S/XD41D1+S矩形&BICIDI
1111
=—an+—bm+—b(bk—m—a)+—a(ak—n—b)+ab
11
=—fc(a2+b2)=—fc[(a+b)2—2ab]
=?(a+b)2—kab,
???矩形ABC。和矩形力/1的。1的周長(zhǎng)已知,
???2(a+b)和2(ak+尿)為定值,
???k為定值,
?1?夫(a+b)2為定值,
當(dāng)S矩形ABCD已知時(shí),四邊形BiBDiD的面積即為定值,
故選:A.
3.(22-23八年級(jí)下?浙江寧波?期末)如圖,在矩形A8CD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)P為邊4。上一點(diǎn),
過(guò)P分另IJ作PE1AC,PF1BD,垂足為點(diǎn)E,F,過(guò)力作力“1BD,垂足為若知道△4PE與△DPF的周長(zhǎng)
B.△AD”的周長(zhǎng)
C.△ABC的周長(zhǎng)D.四邊形4PF”的周長(zhǎng)
【思路點(diǎn)撥】
連接OP,過(guò)“作4Mli8D,延長(zhǎng)FP交4M于一點(diǎn)G,根據(jù)PELAC,PFLBD,建立面積式子即可得S&w。=
SATIPO+SADP0,又因?yàn)?H1BD,即得S4A。。=《XD。X4",四邊形4BCD是矩形,得4H=EP+FP,接
著證明aaGP三aAEP,得力E=HF,即可得解.
【解題過(guò)程】
解:連接。P,過(guò)N作4MIIBD,延長(zhǎng)FP交4M于一點(diǎn)G,如圖所示:
BC
■:PE1AC,PF1BD,
-'-^AAPO=|xXOxEP,SADP0=|x£)0xFP,
?.?四邊形4BCD是矩形,
:.A0=DO,Z.ADO=Z-OADf
ill
則S/VIDO=Sop。+S^DPO=-xAOxEP+-xDOxFP=-xDOx(EP+FP),
-AHA.BD,
?"△/oo=|xDOxAH,
即=EP+FP,
???PF上BD,AHLBD,
-.AH||PF,
-AM||BD,
???四邊形4”FG是平行四邊形,
^/.GAP=/.ADO=乙。/0,
.-.AG=HF,
-AH1BD,
???四邊形/HFG是矩形,
-PE1AC,
:,/,AEP=4AGP=90°,
':AP=AP,
??.△AGP=△ZEP(AAS),
貝Ij/G=AEf
-AG=HF,
:,AE=HF,
???已知]與△DPF的周長(zhǎng)和,
EP+AP+AE+DP+FP+DF=EP+FP+AP+DP+DF+AE=AH+AD+DF+HF
即已知
=AH+AD+HD
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)=4"+/。+”。,
所以則一定能求出△4DH的周長(zhǎng),
故選:B.
4.(23-24八年級(jí)下?福建龍巖?階段練習(xí))如圖,四邊形力BCD是矩形,點(diǎn)F在邊上,2F平分立艮4。且
AD=AF,DE14F垂足為點(diǎn)E,連接BE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G,連接DF交BG于點(diǎn)H,連接EC交OF于點(diǎn)/,有下
列結(jié)論:①N2FD=ZZTD;②。尸垂直且平分EC;@AEFC=AEHD;④4B=EG;@z£GC=67.5°.其
中正確的結(jié)論有()個(gè).
A.1B.2C.3D.4
【思路點(diǎn)撥】
由矩形的性質(zhì)可得力。IIBC,ZBCD=90°,得出乙4DF=NCF。,由等腰三角形的性質(zhì)得出乙4尸。=乙4。尸,
故①正確;由RtaDEF三Rt^DCF得EF=CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得②正確;由NEDC=45。,
ED=DC,得△EDC不可能是等邊三角形,彳導(dǎo)ED手EC,故③錯(cuò)誤;由等腰三角形的性質(zhì)可判斷④;由全
等三角形的性質(zhì)及長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得△力ED為等腰直角三角形,求出N4BE=67,5。,再根據(jù)平行線的性質(zhì)
可得NEGC=AABE=67.5°,可判定⑤正確.
【解題過(guò)程】
解:???四邊形4BCD是矩形,
/.AD\\BCf£.BCD=90°,
???Z.ADF=Z.CFD,
vAD=AF,
Z-AFD=Z.ADF,
^AFD=^CFDf故①正確;
vLAFD=Z.CFD,DELAF,DCLBC,
??.DE=DC,
??.D在CE的垂直平分線上,
在RtMEF和RtMCF中,{器:g]
???Rt△DEFmRt△DCF(HL),
???EF=CF,
???點(diǎn)尸在CE的垂直平分線上,
???OF垂直且平分CE,故②正確;
???AF平分NB2D,
??2£MF=45。,
???/LADE=45°,
:.乙EDC=45°,
又ED=DC,
?.AEDC不可能是等邊三角形,
:.EDHEC,
???△EFCw^EHD錯(cuò)誤;故③錯(cuò)誤;
vAB=CD,ED=CD,
??.AB=ED,
,:乙EDG=45°,
???EDHEG,
:.AB豐EG,故④錯(cuò)誤;
V^DAF=45°,DE1AF,
???△/ED為等腰直角三角形,
???AE—DEf
vRt△DEF=Rt△DCF(HL),
???DE=DC,
又AB=DC,
???AB=AE,
???Z-ABE=Z.AEB,
v^LBAE=45°,
???/.ABE=67.5°,
-AB||PC,
???NEGC=448E=67.5。,
故⑤正確.
故選:c.
5.(22-23八年級(jí)下?廣西南寧?階段練習(xí))如圖,四邊形4BCD是矩形,點(diǎn)尸是力B邊的三等分點(diǎn),
BF=22F,點(diǎn)電是CB邊的中點(diǎn),連接力F,ErD,得到△EF。;點(diǎn)是C/的中點(diǎn),連接&F,得到
△&FD;點(diǎn)電是C&的中點(diǎn),連接E3乩E3D,得到△電/£>;…按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去,若矩形4BCD
的面積等于6,則△治023尸。的面積是.
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意,并結(jié)合矩形的性質(zhì)可得:AB=CD/D=BC,N4=NB=NC=90o/F=,B,=C%=5
力B=-CD,AB=CD=3AF,而S^EIFD=S-[S&ADF+^/\EXBF+,整理可得:SAE^FD=6—
(1+:x2+:x3),再表示出SAEZFD,S/^FD的面積,觀察規(guī)律可得:6—^1+—^―x2+^x3^=3——,
從而可求解.
【解題過(guò)程】
解:???四邊形/BCD是矩形,
AB=CD,AD=BCfZ,A==(C=90。,
???BF=2/凡點(diǎn)Ei是CB邊的中點(diǎn),
???AF==CE1=^AB=^D,AB=CD=3AF,
???S^E'FD=SABCD-(S&WF+SAE1BF+S^E]CD)
/l11\
=6-卬。?”+/%?BF+2密?叼
/I1111\
=6-[-AD-AF+-X-AD-2AF+-X-AD-3AF)
1/I1\
=6——AD-AFX^14--x2+-x3j
=6-(1+2X2+]X3),
???奧是CEI的中點(diǎn),
■■-BE2=弟C=\AD,CE2=;BC=\AD,
:,SAEZFD=S-(S△/皿z+S^EBF+SAECD),
319
1+2+
-X-X
整理得:SAE?FD44
同理可得:尸0=6_(1+tx2+?X3),
?,?S4EnFD=6—(1+x2+^x3)=3--,
.c_Qi
,??^△^2023?—J-22023,
故答案為:3—云篙.
6.(22?23九年級(jí)上?廣東深圳?期中)如圖,已知ZBIIC。,AB=CD,乙4=乙。,E是43邊的中點(diǎn),F(xiàn)為AD
邊上一點(diǎn),乙DFC=2乙BCE,若CE=4,CF=5,貝抬產(chǎn)的值為.
BC
【思路點(diǎn)撥】
先根據(jù)已知條件證四邊形/BCD是矩形,得出=ADWBC.再延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)G,證明△AGE三
△BCE(AAS),得出ZG=BC,再證明CF=FG,設(shè)OF=x,根據(jù)勾股定理得出:CD2=CF2-DF2=CG2-D
G2,列方程求出。尸的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出/£
【解題過(guò)程】
解:-ABWCD,AB=CD,
???四邊形/BCD是平行四邊形,
?MB||CD,
??.4+ZD=180°,
又?.,乙4=(D,
.??〃=90°,
???四邊形/BCD是矩形,
:.AD=BC,ADWBC;
如圖,延長(zhǎng)口4,CE交于點(diǎn)G,
???四邊形48CD是矩形,
:,/LDAB==90°,ADWBC,
'./.GAE=90°,乙G=LECB,
,:E是AB邊的中點(diǎn),
.\AE=BE,
(Z-G—Z-ECB
在△AGE和△BCE中,\^LGAE==90°,
IAE=BE
△AGE=△BCE(AAS),
.'.AG=BC,GE=CE=4.
-ADWBC,
:.Z-DFC=乙BCF,
-A.DFC=2(BCE,
"BCE—Z.FCE—Z-G,
;.CF=FG=5.
設(shè)DR=x,
根據(jù)勾股定理得:CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,
即52—%2=82—(5+%)2,
解得x=1.4,
:.DG=6.4,
:.AD=^DG=3.2,
:.AF=AD-DF1.8.
故答案為:1.8.
7.(22-23九年級(jí)上?廣東梅州?階段練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,28=2,AD=3,E為BC邊上一
動(dòng)點(diǎn),作EFLAE,且EF=AE.連接DF,AF.當(dāng)DF1EF時(shí),△ADF的面積為.
【思路點(diǎn)撥】
如圖,過(guò)。作DHIAE于X,過(guò)£作EM1AD于連接DE,證明四邊形DHEF是矩形得到
DH=EF=AE,證明四邊形4BEM是矩形,的EM=2B=2,利用面積法可得4E的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理可得
BE的長(zhǎng),證明aABE三△EQF,得FQ=BE=最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論.
【解題過(guò)程】
解:如圖,過(guò)。作。于〃,過(guò)E作EM14D于連接DE,
vEF1AE,DF1EF,
"DHE=乙HEF=乙DFE=90°,
???四邊形DHE尸是矩形,
:.DH=EF=AE,
???四邊形/BCD是矩形,
;/B=Z-BAD—90°,
-/LAME=90°,
四邊形4BEM是矩形,
.-.EM=4B=2,
設(shè)力E=EF=DH=x,
■■■SAADE=\AD-EM=^AE-DH,
.,.3x2=%2,
??-x=V6(負(fù)值舍去),
即/E=V6,
由勾股定理得:BE=yjAE2-AB2=V2,
過(guò)尸作PQIICD,交4。的延長(zhǎng)線于P交BC的延長(zhǎng)線于0,
:?乙Q=Z.ECD=LB=90°,乙P=Z.ADC=90°,
-Z.BAE+AAEB=Z.AEF=^AEB+^FEQ=90°,
"FEQ=Z-BAE,
':AE=EF,Z-B=Z-Q=90°,
???△/BEW2\EQF(AAS),
'-FQ=BE=V2,
.-.PF=2-V2,
■■■SAADF=|X£)-PF=|X(2-V2)=3-^,
故答案為:3—乎.
8.(22-23八年級(jí)下?江蘇泰州?期中)如圖,在矩形4BC。中,AB=2,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,作EF14E
交邊CD于F,將△CEF沿EF折疊后點(diǎn)C恰好落在2D邊上的G處,則4。長(zhǎng)=.
【思路點(diǎn)撥】
如圖,連接4F,過(guò)E作于H,證明四邊形EHOC為矩形,求解4E=7乎+/=而,設(shè)CF=%,
CE=y,EF=z,則%2+y2=z2,由等面積法可得:|xlx2+1xV5z+=|(x+2)(y+1),可得
y=2x,設(shè)GD=n,可得HG=2x—n,同理可得:|X2(2%—n)+1n(2—%)+?2%=1(2—x+2)
X2x,可得n=4久-4,GH=2x—(4x—4)=4—2%,由勾股定理可得:EH2+HG2=EG2,再建立方程
求解即可.
【解題過(guò)程】
解:???矩形48CD,
:/B=Z-BAD=乙D=Z.C=90°,AB=CD=2,
如圖,連接力F,過(guò)E作EH_LAD于H,
則四邊形EHDC為矩形,
.-.HD=EC,EH=CD=2,
■.■AE1EF,
:./.AEF=90°,
-BE=1,
?-AE=722+12=近,
設(shè)CF=x,CE=y,EF=z,則/+y2—z2,
由等面積法可得:Ix1x2+1xV5z+|xy=|(x+2)(y+1),
整理得:x+2y=V5z,則%2+4%y+4y2=5z2=5x2+5y2,
.?Ax2-4xy+y2=0,即(2%—y)2=0,
.,.y=2x,
設(shè)GO=n,
??.HG=2x—n,
由對(duì)折可得:GF=FC=x,Z,EGF=zC=90°,EG=EC=2x,而OF=2一%,
同理可得:
5x2(2%_7i)+萬(wàn)九(2_x)+5工,2%—萬(wàn)(2_%+2)x2%,
整理得:x(4x—n—4)=0,
':xW0,
.-.4%—n—4=0,即ri=4x—4,
:,GH=2x—(4x—4)=4—2x,
由勾股定理可得:EH2+HG2=EG2,
.,.4+(4—2%)2=(2x)2,
解得:x=I
...4。==2x+1=|5+1=-7.
故答案為:
9.(2024?江蘇淮安?一模)如圖,在矩形4BCD中,點(diǎn)K在4D上,且=3,4E=4,BC=14,點(diǎn)尸是
【思路點(diǎn)撥】
本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),分兩種情況:
當(dāng)翻折后,點(diǎn)F在BC下方時(shí),當(dāng)翻折后,點(diǎn)尸在BC上方時(shí),分別作出圖形,構(gòu)造直角三角形利用勾股定理建
立方程是解題的關(guān)鍵.
【解題過(guò)程】
解:當(dāng)翻折后,點(diǎn)尸在8。下方時(shí),過(guò)點(diǎn)尸作FG18C,并延長(zhǎng)交于4。于H,
4gH口
「[
E------____________________C
方
■:BF=CF,
.-.BG=CG=^BC=7,
?.?四邊形4BCD是矩形,
.?.4D=8C=14,ADIIBC,則
則四邊形4BGH也是矩形,
:.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,
.-.AB=HE,
由翻折可知,BE=EF,BP=FP,
.-.Rt△ABE=Rt△HEF(HL),
.-.HF=AE=4,則GF=HF-HG=1,
設(shè)BP=FP=x,則PG=BG—BP=7—x,
由勾股定理可得:PF2=PG2+FG2,即:%2=(7-x)2+1,解得:X=y,
當(dāng)翻折后,點(diǎn)尸在BC上方時(shí),過(guò)點(diǎn)F作尸G1BC,交于2D于H,
:.BG=CG=|BC=7,
?.,四邊形ABC。是矩形,
.-.AD=BC=14,AD||BC,則FH_LAD,
則四邊形48GH也是矩形,
.-.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,
:.AB=HE,
由翻折可知,BE=EF,BP=FP,
.-.Rt△ABEmRt△HEF(HL),
.-.HF=AE=4,則GF=HF+HG=7,
設(shè)BP=FP=x,則PGBG-BP^\7-x\,
由勾股定理可得:PF2=PG2+FG2,即:x2=(7-x)2+7,解得:x=7,
..BP=7(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合);
綜上,8「=7或m.
故答案為:7或今.
10.(23-24八年級(jí)下?重慶?階段練習(xí))如圖,己知£、尸分別是矩形ABCD的邊4B、CD上的點(diǎn),連接EF,
將矩形沿EF對(duì)折,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好落在邊BC上,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。,4。恰好經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)若
AB=24B=8,則折痕EF的長(zhǎng)度為.
A-------------------D
【思路點(diǎn)撥】
此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理與折疊、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),設(shè)4E=x,則
BE=—=8—x,求出4E=AE=5,BE=AB-AE=3,DM=CM=^CD=4,證明4EBmZiMa'C
(AAS),BE=CA'=3,A'E=A'M=3,貝必0=BC=7,由翻折的性質(zhì)得到AD=40=7,則M;D=4。一
A'M=7-5=2,設(shè)DF=y,貝ijDF=OF=y,MF=DM-DF=4-y,在RtZiOMF中,MF2=D'F2+
D'M2,得到y(tǒng)=5,過(guò)點(diǎn)/作FN_L4B于點(diǎn)N,貝叱4=ND=N4NF=90。,AN=DF=],NF=AD=7,
EN=AE-AN===(在Rt△EFN中,EF=y/NF2+EN2=竽.
【解題過(guò)程】
解:設(shè)力E=x,則BE=4B-4E=8-x,
'.'AB=2ArB=8,
:,A'B=4,
由翻折的性質(zhì)可知,AE=A'E=x,
?.?四邊形ABC。是矩形,
=乙B=Z.C=乙D=90°,CD=AB=8,AD=BC
在RtZkABE中,AfE2=AfB2+BE2,
.,.%2=42+(8—x)2
解得久=5,
.-.AE=A'E=5
.-.BE=AB-AE=3,
???4。恰好經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)M,
:.DM=CM=|C£>=4,
由翻折可知,NE4D'==90°,
.-.^EA'B+AMA'C=90°,
-Z-EA'B+/,A'EB=90°,
:.Z.A'EB=Z.MA'C,
又??£M=A'B=4,zB=ZC=90°,
:.ArEB=△M4c(AAS)
:.BE=CA'=3,4E=A'M=5,
:.BC=4B+4c=4+3=7
:.AD=BC=7
由翻折的性質(zhì)得到,A,D=AD=7,
:.M'D=A'D-A'M=7-5=2,
設(shè)。F=y,則DF=0F=y,MF=DM-DF=4-yf
在RtZkZXMF中,MF2=D'F2+D'M2
.,.(4—y)2=y2+22,
解得,y=|,
過(guò)點(diǎn)F作FN14B于點(diǎn)N,則乙4=4。=Z.ANF=90°,
四邊形ANFN是矩形,
3
??.AN=DF=-fNF=AD=7
37
??.EN=AE-AN==5--=-
在Rt△EFN中,EF=7NF2+EN2=卜+?=竽,
故答案為:竽
11.(22-23八年級(jí)下?山東青島?期末)如圖,在矩形/BCD中,。是對(duì)角線的交點(diǎn),AB=1,
28。4=60。,過(guò)C作CE1BO于點(diǎn)E,EC的延長(zhǎng)線與NBAD的平分線相交于點(diǎn)“,AH與BC交于點(diǎn)F,與BD
交于點(diǎn)M.給出下列四個(gè)結(jié)論:①BF=BO-②力C=CH-③BE=3DE-④S9CF=等MMF;⑤AH=V6
+V2.其中正確的結(jié)論有(填寫(xiě)正確的序號(hào)).
【思路點(diǎn)撥】
先證明△tMB是等邊三角形,得08=48,再證△ABF是等腰三角形,得BF=AB,即可得出=B。,
可判定①正確;求得NH=NC4”=15。,得出2c=07,可判定②正確;利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得
出。E=2C£),AB=池,再由CD=48,BD=DE+BE,即可求得BE=3DE,可判定③正確;過(guò)程點(diǎn)M
作MNJ.力B于N,分別求出S44CF=/F,4B=g二,S&BFM=5x]x"工=力工,即可得出S^CF=2
SABFM,可判定④錯(cuò)誤;過(guò)點(diǎn)〃作HQ_L4B交48延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)DC交HQ于P,先求出PH=1,從而求
得力Q=HQ=8+1,即可求得4H=VZ4Q=e+VL可判定⑤正確.
【解題過(guò)程】
解:???矩形/8C。,
.-.0A=0C=0D=OB,/.BAD=Z.ABC=Z.ADC=90°,
■:^B0A=60°,
.?.△Q4B是等邊三角形,
:.0B=AB,40AB=4AB0=60°
???4H平分NB4D,
:./.HAB=45°,
.-.^AFB=AHAB=45°,
:.BF=AB,
:.BF—OB,
故①正確;
.-.Z.CAH=/-0AB-Z.BAF=60°-45。=15。,
"MF=Z,AMB=180°-60°-45°=75°,
vCE1BD,
.?/HEM=90°,
.?ZH=90°-75°=15°,
"H="AH,
.-.AC=CH,
故②正確;
???矩形45c
:.AB\\CD,AB=CDf
:/CDE=60°,
"DCE=2LADB=30°,
??.OE=Q,AB=,D,
.t.DE=4BD,
':BD=DE+BE,
.'.BE=3DE,
故③正確;
在RtZ\4BC中,AB=1,ABAC=60°,
■■.AC=2,BC=V3,
':BF=AB=1,
...CF=V3-1,
???S/vic尸=-AB=
過(guò)程點(diǎn)”作MN148于N,如圖,
??ZHAB=45°,
??.44MN=乙HAB=45°,
:,AN=MN,
,?2MBN=60°,
;.MN=WBN,
-MN+BN=AN+BN=AB=1,
.'.BN=
.c—iv1y6T
x1x
??'△BFM-7o——;-,
?'?^AACF—2s△BFM,
故④錯(cuò)誤;
過(guò)點(diǎn)H作HQ14B交ZB延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)DC交HQ于P,
■.■HQLAB,
:./.AQH=90°,
.?.乙4HQ=4HAQ=45°,
■.AQ=HQ,"HP=45°+15°=60°,
■.PC=WPH,
?:乙BQP=Z.CBQ=Z.BCP=90°
四邊形BCPQ是矩形,
:.PQ=BC=?BQ=PC=WPH,
??-1+V3PH=V3+PH,
.-.PH=1,
:.AQ=HQ=y/3+l,
■?AH=五AQ=V6+V2,
故⑤正確,
??.正確的結(jié)論有①②③⑤
故答案為:①②③⑤.
12.(22-23八年級(jí)上?江蘇淮安?階段練習(xí))已知,如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形04BC為矩形,4(10,0),
《0,4),點(diǎn)。是。力的中點(diǎn),點(diǎn)尸在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).
(1)△。P。的面積5=;
(2)當(dāng)f為何值時(shí),CP=OD?
(3)當(dāng)△OP。為等腰三角形時(shí),寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案,不必寫(xiě)過(guò)程).
【思路點(diǎn)撥】
(1)由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出。。=《。4=5,yP=4,再利用三角形面積公式計(jì)算即可;
(2)由題意得出CP=。。=5,從而即可求解;
(3)分類討論:①當(dāng)。。=P。=5時(shí),②當(dāng)。P=P。時(shí),且位于點(diǎn)。左側(cè)時(shí),③當(dāng)。P=OD=5時(shí)和④
當(dāng)。。=PD=5,且位于點(diǎn)D右側(cè)時(shí),分別根據(jù)等腰三角形的定義和勾股定理求解即可.
【解題過(guò)程】
(1)解:???四邊形04BC為矩形,71(10,0),40,4),
■,OA=BC=10,OC=AB=4.
■:點(diǎn)、D是。a的中點(diǎn),
:.OD=j0A=5.
,?,點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),
???yp=4,
:.S—^OD-yp=10.
故答案為:10;
(2)解:?.?CP=OD=5,
CP_
??-t=—=5,
...當(dāng)t=5時(shí),CP=0D-,
如圖點(diǎn)Pi,過(guò)點(diǎn)。作DF1BC于尸,
■■PiF=gD2_DF2=3,
.-.CP1=CF—PiF=2,
”1(2,4);
②當(dāng)。P=P。時(shí),且位于點(diǎn)。左側(cè)時(shí),如圖點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作「2石1。4
??.CP2=0E=1o£>=2.5,
?也(254);
③當(dāng)。P=0D=5時(shí),如圖點(diǎn)P3,
■.-0C=4,乙OCP=90°,
2
■.CP3=^JoP^-OC=3,
?嗎(3,4);
④當(dāng)。。=PD=5,且位于點(diǎn)D右側(cè)時(shí),如圖點(diǎn)P4,過(guò)點(diǎn)作P4G1OA,
?.,P4G=OC=4,
:.DG=qDPA2_p4G2=3,
J.CP4=OG=OD+DG=8,
?'?P4(8,4).
綜上可知,當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)或(2.5,4)或(3,4)或(8,4).
13.(22-23八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期中)矩形4BCD中,點(diǎn)E、F在對(duì)角線4C上,AE=CF,連接BE、
(2)如圖2,當(dāng)4E=2EF時(shí),連接BF,DE,在不添加任何輔助線的情況下,直接寫(xiě)出四個(gè)三角形,使寫(xiě)
,2
出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形4BCD面積的看.
【思路點(diǎn)撥】
(1)由矩形的性質(zhì)可得=CD,AB||CD,貝此=通過(guò)證明△題《三△CDF(SAS),可得
Z.AEB=乙CFD,由NAEB+乙BEC=180°,Z.CFD+Z.AFD=180??傻肗8EC=^AFD,即可得到答案;
(2)作BG12C交4C于G,貝。S4ME=/石?BG,SAABC=^AC-BG,
由4E=2EF,AE=CF,可得4E=|XC,根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底邊之比,可得S“BE=
由矩形的性質(zhì)可得:=/矩形工,從而可得=三X5s矩形矩形/呂⑺,
_33113
同理可得尸=五S矩形748c0,S^BCE=五S矩形4BczrSMFB=gS矩形/BCZT^AADE=gS矩形力弘。,^AADF=五
13
S矩形/BCD,R矩形/BCD,SMDE=QgS矩形/BCD,即可得到答案?
【解題過(guò)程】
(1)證明:,??四邊形"BCD是矩形,
AB=CD,AB||CD,
???Z-BAE=乙DCF,
(AB=CD
在△ZBE和△COF中,\/-BAC=^DCF,
IAE=CF
???△ZBE32\CDF(SAS),
???Z.AEB=Z-CFD,
v/.AEB+乙BEC=180°,乙CFD+^AFD=180°,
???乙BEC=Z.AFD,
???BE||DF;
貝=夕月,BG,SNBC=“C.BG,
???AE=2EF,AE=CF,
AE=^AC,
c_2
,,、RABE—0ZV1BC,
由矩形的性質(zhì)可得:S&4BC=/矩形/BCD,
???S^ABE—^AABC=5X5s矩形4Bco=gS矩形4BC0,
同理可得:
_3c_3
^AABFX
=^AABC一55s矩形/BC。=五S矩形力BCO
_3le_Ac
ABCE=^AABCXd
S一52矩形/BC。一奇矩形ZBC。'
2_2
ABCF=^AABCX
S一55s矩形/Bco=gS矩形48co,
_2c_2入-1c
AADEX
S=5->AT4CD一5p矩形/BCO-“矩形ZBCO'
_3c_3
AADFX
S—^AACD一55s矩形4Bco=y^S矩形4BCO,
_2人-1c
MDF=^AACDX_d
S一5亍矩形ZBCO5矩形/BCO'
3_3i_Ac
CDE=^AACDXc
S^一5聲矩形力BCO一談矩形力BCO'
,綜上所述,△ABF、ABCE.AADF,△CDE的面積為矩形力BCD面積的行.
14.(23-24八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))已知如圖,矩形4BCD中,AB=5,P為2C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
BP=m,點(diǎn)、B關(guān)于直線4P的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E.
(1)當(dāng)爪=2時(shí),若直線PE恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,求此時(shí)4D的長(zhǎng);
(2)若4D足夠長(zhǎng),當(dāng)點(diǎn)E到直線4。的距離不超過(guò)3時(shí),求加的取值范圍.
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)點(diǎn)2關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E可證得4E=4B=5,PE=PB=m,^AEP=AABP,
乙4PE=NAPB,進(jìn)而可證4£>=PD,設(shè)4D=PD=X,則0E=X—2,AE-5,根據(jù)勾股定理列出方程解
答即可;
(2)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)E點(diǎn)位于直線4。上方且到力D距離為3時(shí);②當(dāng)£點(diǎn)位于直線力D下方且
到4。的距離為3時(shí).
【解題過(guò)程】
(1)如圖,
??,點(diǎn)B關(guān)于直線2P的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E,
:.AE=AB=5,PE=PB=m,/.AEP-/.ABP,/.APE=乙APB.
?.?四邊形4BCD是矩形,
."=90。,AD||BC,
:./.AEP=/.AED=90°,4PAD=4APB,
■■.Z-PAD=Z.APD,
:.AD—PD,
在△4DE中,設(shè)40=PD=x,
.■.DE=x—2,AE=5,
.,.(x—2)2+52=x2,
解得X=彳,
即2。的長(zhǎng)為弓;
4
(2)當(dāng)£點(diǎn)位于直線40上方且到49距離為3時(shí),如圖1,過(guò)點(diǎn)E作
???四邊形4BC”是矩形,
.-.AH=BG,GH=AB.
在中,AE=5,EH=3,
.'.AH=4,
在△EPG中,PE=m,PG=4—m,EG=2,
.,.(4—m)2+22=m2,
解得m=I,
當(dāng)E點(diǎn)位于直線2D下方且到4。的距離為3時(shí),如圖2,過(guò)點(diǎn)E作GH14B,
:.EH=4,
在△EPG中,PE=m,PG=8,EG=m—4,
.,.(m—4)2+82=m2,
解得m=10,
???當(dāng)點(diǎn)E到直線2D的距離不超過(guò)3時(shí),m的取值范圍為?!<m<10.
15.(22-23八年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)如圖1,在長(zhǎng)方形4BCD中,NA=NB=90。,含45。角的直角三角板
放置在長(zhǎng)方形內(nèi),4FEG=90°,EG=EF,頂點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、AD±_.
(1)求證:4AEG34BFE;
(2)若P是斜邊FG的中點(diǎn).
①如圖2,連接EP,請(qǐng)寫(xiě)出線段EP與4G、BF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②如圖3,連接BP,若AB=3a,則BP的長(zhǎng)等于
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到“=NB=90。,根據(jù)余角的性質(zhì)得到41EG=NBFE,根據(jù)全等三角形的判定定
理即可得到結(jié)論;
(2)①由(1)知,a/lEG三△8FE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BF,根據(jù)勾股定理和直角三角形的
性質(zhì)即可得到結(jié)論;②過(guò)G作GM1BC于M,過(guò)P作PN1BC于N,貝"PN||GM,四邊形2BMG是矩形,根據(jù)
矩形的性質(zhì)得到4B=3近,AG=BM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4G=BE,設(shè)4G=BE==x,根據(jù)
勾股定理即可得到結(jié)論.
【解題過(guò)程】
(1)證明:???四邊形48co是長(zhǎng)方形,
???44-L.B-90°,
vzFEG=90°,
:.Z.AEG+乙BEF=乙BEF+乙BFE=90°,
:.Z-AEG=Z-BFE,
-EG=EF,
△AEG=△BFE(AAS);
(2)解:①EP=,BF2+AG2;理由:
由(1)知,△AEG=ABFE,
:.AE=BF,
“FEG=90°,EG=EF,
.--FG=V2EG,
■■■EG=7AE2+力G2=yjBF2+AG^,
:.FG=&'BF2+AG2,
”是斜邊FG的中點(diǎn),
:.EP=#G=,BF2+AG2;
②過(guò)G作GMIBC于M,過(guò)P作PN1BC于N,則PN||GM,四邊形4BMG是矩形,
圖3
.-.GM=AB=3V2,AG=BM,
?;P是斜邊FG的中點(diǎn),
;.PN=池=當(dāng)
???AAEG三ABFE,
:-AG=BE,
設(shè)力G=BE=BM=x,則BF=AE=3V2-x.
;.FM=BF—BM=3V2-2%,
■■BN=3V2-x-|x(372-2%)
BP=7PN2+BN2=3.
故答案為:3.
16.(22-23八年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?期中)如圖,在矩形A8CD中,AD=4,4B=3,點(diǎn)£為4。中點(diǎn),連接
BE,CE,點(diǎn)尸為BE中點(diǎn),點(diǎn)G為線段CE上一點(diǎn),連接力F,FG.
(1)如圖1,若點(diǎn)G為CE中點(diǎn),求證:四邊形4FGE為平行四邊形;
(2)如圖2,若點(diǎn)G使得NFGE=2NECD,求四邊形4FGE的面積;
(3)如圖3,連接BG,若點(diǎn)G使得NE8G=45°,求CG的長(zhǎng).
【思路點(diǎn)撥】
(1)運(yùn)用三角形的中位線定理和矩形的性質(zhì)得到力E=FG,FGWAD,進(jìn)而得到四邊形4FGE為平行四邊形;
(2)連接BG,先證明aaBE三△£)(:£得至UNHBE=NOCE,再推導(dǎo)得到NBGE=90。,然后計(jì)算面積即可;
(3)過(guò)點(diǎn)E作EM1BE交BG延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作MT1EC于點(diǎn)T,作BR1EC于點(diǎn)R,得到△BRE三
然后利用三角形的面積求出邊的長(zhǎng)度即可.
【解題過(guò)程】
(1)證明:?.?點(diǎn)F為BE中點(diǎn),點(diǎn)G為CE中點(diǎn)
FG||BC,FG=1BC
矩形ABCD
■■.ADWBC,AD=BC
■.FG||A
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