2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學上冊專項復習：矩形中的幾何綜合（壓軸題）解析版

矩形中的幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每

一類分別進行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標準劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?知識點總結(jié)

一、矩形的性質(zhì)

1.平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

2.角：矩形的四個角都是直角；

3.邊：鄰邊垂直；

4.對角線：矩形的對角線相等；

5.矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點.

二、矩形的判定方法

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2.有三個角是直角的四邊形是矩形；

3.對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.

?典例分析

【典例1】在矩形4BCD中，E是4。邊上一點.

(1)若Z71BE=60。，EC平分乙BED,且AB=1,求△EDC的面積；

(2)若“是力E中點且AE=B”，EFLBH于F點,求證：BF=AH+WEF；

(3)若乙4BE=60。，EF14D于E點，連接2F并反向延長至G點使得力G=4F=3EF.點H在直線力D上方,

連接BH、HF,GB=BH,^GBH+^ABE=180°,請?zhí)骄坎⒄堉苯訉懗鯝F與FH的數(shù)量關(guān)系.

【思路點撥】

(1)利用角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造△CEF三△CED,同時得到含30。角的特殊RtZXBCF,可求出BC,進而求

出ED,再求面積.

(2)將B尸分割為4H、8EF兩段，過4點作BF的垂線，垂足恰好是分割點，分別證明.

(3)從NGBH+N2BE=180。，NABE=60。兩個條件可發(fā)現(xiàn)NG8H=120。=聯(lián)想到可以構(gòu)造手

拉手模型，再通過“8”字全等模型找到了HF與EF的數(shù)量關(guān)系，進而找到了”F與4F的數(shù)量關(guān)系.

【解題過程】

解：（1）在矩形48C。中CD=48,AD=BC,=/.ABC=ZD=90°.

過C作CF1BE于F,如圖1.

圖1

?:乙CFE=ZD=90°,乙BEC=4DEC,CE=CE,

BECm△DECQMS）.

???CF=CD=AB=1.

?:乙EBC=乙ABC-乙ABE=90°-60°=30°,Z.BFC=90°,

FC=^BC.即BC=2CF=2.

???△4=90。，AABE=60°,

??.Z.AEB=30°,

??.BE=2AB=2.

...AE=VBE2-AB2=A/22-12=V3.

??.ED=AD-AE=BC-AE=2-y/3.

?e,S^EDC—軟。,DC=三一誓

(2)過A作ZG1BF于G,過/作Z/1EF延長線于/,如圖2.

圖2

???乙4/E=90°=Z.BAH,

???Z-ABH+乙AHB=90°,乙FEH+Z.FHE=90°,

工乙ABH=乙FEH.

又AE=BH,

AI=AH,AB=EI.

vAILEIfEF1BH,AG1BF,

???四邊形AGF/是矩形.

；.AG=FI,GF=AI.

???AAGH=乙EFH,^AHG=乙EHF,AH=HE,

.?.AAGH=AEFH.

??.EF=AG.

.?.AB=IE=2AG.

在RtZkZBG中，BG=7AB2-W=J(2ZG)2—g=例G=?F.

??.BF=GF+BG=AH+WEF.

(3)作△E/B關(guān)于AB的對稱連接KG,EH,如圖3.

圖3

???△KAB三AEAB,

??.KA=EA,Z,KBA=(ABE=60°.

乙KBE=乙KBA+乙EBA=60°+60°=120°.

???乙GBH+乙ABE=180°,

Z.GBH=180°-乙ABE=180°-60°=120°.

乙KBE=乙GBH,

??.Z.KBE-乙KBH=乙GBH-乙KBH.

???乙GBK=乙HBE.

又???GB=BH,KB=BE,

KGB=△HBE(SAS).

??.KG=HE,乙GKB=LHEB.

???KA=EA,Z.KAG=Z.EAF,AG=AF,

AAKG=Ai4EF(SAS).

??.KG=EF,4AKG=^AEF=90°.

.-.KGWAB.

"GKB=乙KBA=60°.

v/.BAE=90°,AABE=60°,

???乙BEA=30°.

???乙HEF=(BEF-乙HEB=乙BEA+^AEF-乙HEB=30°+90°-60°=60°.

為等邊三角形，

???FH=EF,

??.AF=3EF=3FH.

?學霸必刷

1.（2023?浙江寧波?中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊為邊向外作矩形BCDE,連結(jié)4E/D,

設△4ED,/\ABE,△"￡）的面積分別為S,Si，S2，若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.△力BE的面積B.△2CD的面積C.△ABC的面積D.矩形8CDE的面積

【思路點撥】

過點4作FGIIBC,交EB的延長線于點F,DC的延長線于點G,易得：FG=BC,AF1BE,AG1CD,利用矩形

的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得Si+S2=gs矩形BCDE,再根據(jù)s=S&4BC+S矩形⑶⑺月~^2=^AABC+

1

5s矩形BCDE，得到S—SI-S2=即可得出結(jié)論，

【解題過程】

解：過點/作FGIIBC,交的延長線于點F,OC的延長線于點G,

???矩形8CDE,

/.BC±BE,BC±CD,BE=CD,

???FG1BE,FG1CD,

???四邊形BFGC為矩形，

.-.FG=BC,AF1BE,AG1CD,

.?$=|BE-AF,S2=#D-AG,

，Si+S2=-BE^AF+AG)=5BE-BC—5s矩形BCDE，

又S=S4ABC+S矩形BCDE—Si—S2=S&ABC+5s矩形BCDE，

；.S—Si—S2=S4ABC+2^^B.^BCDE~^^,K.BCDE=^AABC>

只需要知道△4BC的面積即可求出S—Si—S2的值；

故選C.

2.（22-23九年級上?浙江寧波?期末）如圖，矩形&B1Q01在矩形4BCD的內(nèi)部，且Bi/IBC,點/，外

在對角線8。的異側(cè).連結(jié)BBi，DBi，BDi，DDlt若矩形A8CD?矩形48母1。1，且兩個矩形的周長已

知.只需要知道下列哪個值就一定可以求得四邊形B/Di。的面積（）

A.矩形4BCD的面積B.ABiBDi的度數(shù)

C.四邊形的周長D.的長度

【思路點撥】

連接BQ,DAr,過點當作8止LAB于點E,過點的作C#，4B于點F,過點當作為G14。于點G,過點

作于點H,設小矩形的長和寬分別為a和b,大矩形的長和寬分別為ak和*,BF=m,AGn,然

后用分割法求得四邊形B&DDi的面積，進而可以根據(jù)條件得到結(jié)果.

【解題過程】

解：如圖，連接BC。D公,過點當作B1E14B于點E,過點的作射F14B于點F,過點當作以G14D于點

G,過點Di作DiHlBC于點H,

,-,81cl1BC,

???四邊形力EBiG、四邊形EFQBi是矩形,

設小矩形的長和寬分別為a和6,大矩形的長和寬分別為ak和尿，BF=m,AG=n,則S矩形人避心小=

S矩形4BCD=。匕々？，AE=bk—m—a,CH=ak—n—b,

cDBPbmS

???S^BCij=我的,4G=3an,SABC1D1=lii'=l>ADA1B1=|^i^i,AE=^b(bk-m-a),

S^ZMIDI—2^i^i-CH--a(ak—n—b'),

S四邊形B&DDI=SABC'BI+S&BC1D1+SADABI+S/XD41D1+S矩形&BICIDI

1111

=—an+—bm+—b(bk—m—a)+—a(ak—n—b)+ab

11

=—fc(a2+b2)=—fc[(a+b)2—2ab]

=?(a+b)2—kab,

???矩形ABC。和矩形力/1的。1的周長已知，

???2(a+b)和2(ak+尿)為定值，

???k為定值，

?1?夫(a+b)2為定值，

當S矩形ABCD已知時，四邊形BiBDiD的面積即為定值,

故選：A.

3.（22-23八年級下?浙江寧波?期末）如圖，在矩形A8CD中，對角線AC,BD交于點0,點P為邊4。上一點,

過P分另IJ作PE1AC,PF1BD,垂足為點E,F,過力作力“1BD,垂足為若知道△4PE與△DPF的周長

B.△AD”的周長

C.△ABC的周長D.四邊形4PF”的周長

【思路點撥】

連接OP,過“作4Mli8D,延長FP交4M于一點G,根據(jù)PELAC,PFLBD,建立面積式子即可得S&w。=

SATIPO+SADP0,又因為4H1BD,即得S4A。。=《XD。X4"，四邊形4BCD是矩形，得4H=EP+FP,接

著證明aaGP三aAEP,得力E=HF,即可得解.

【解題過程】

解：連接。P,過N作4MIIBD,延長FP交4M于一點G,如圖所示：

BC

■:PE1AC,PF1BD,

-'-^AAPO=|xXOxEP,SADP0=|x￡)0xFP,

?.?四邊形4BCD是矩形，

：.A0=DO,Z.ADO=Z-OADf

ill

則S/VIDO=Sop。+S^DPO=-xAOxEP+-xDOxFP=-xDOx(EP+FP),

-AHA.BD,

?"△/oo=|xDOxAH,

即=EP+FP,

???PF上BD,AHLBD,

-.AH||PF,

-AM||BD,

???四邊形4”FG是平行四邊形，

^/.GAP=/.ADO=乙。/0,

.-.AG=HF,

-AH1BD,

???四邊形/HFG是矩形,

-PE1AC,

：,/,AEP=4AGP=90°,

'：AP=AP,

??.△AGP=△ZEP(AAS)，

貝Ij/G=AEf

-AG=HF,

：,AE=HF,

???已知］與△DPF的周長和,

EP+AP+AE+DP+FP+DF=EP+FP+AP+DP+DF+AE=AH+AD+DF+HF

即已知

=AH+AD+HD

因為的周長=4"+/。+”。,

所以則一定能求出△4DH的周長,

故選：B.

4.（23-24八年級下?福建龍巖?階段練習）如圖，四邊形力BCD是矩形，點F在邊上，2F平分立艮4。且

AD=AF,DE14F垂足為點E,連接BE并延長交CD于點G,連接DF交BG于點H,連接EC交OF于點/,有下

列結(jié)論：①N2FD=ZZTD；②。尸垂直且平分EC；@AEFC=AEHD；④4B=EG；@z￡GC=67.5°.其

中正確的結(jié)論有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【思路點撥】

由矩形的性質(zhì)可得力。IIBC,ZBCD=90°,得出乙4DF=NCF。，由等腰三角形的性質(zhì)得出乙4尸。=乙4。尸,

故①正確；由RtaDEF三Rt^DCF得EF=CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得②正確；由NEDC=45。，

ED=DC,得△EDC不可能是等邊三角形，彳導ED手EC,故③錯誤；由等腰三角形的性質(zhì)可判斷④；由全

等三角形的性質(zhì)及長方形的性質(zhì)可得△力ED為等腰直角三角形，求出N4BE=67,5。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)

可得NEGC=AABE=67.5°,可判定⑤正確.

【解題過程】

解：???四邊形4BCD是矩形，

/.AD\\BCf￡.BCD=90°,

???Z.ADF=Z.CFD,

vAD=AF,

Z-AFD=Z.ADF,

^AFD=^CFDf故①正確；

vLAFD=Z.CFD,DELAF,DCLBC,

??.DE=DC,

??.D在CE的垂直平分線上，

在RtMEF和RtMCF中，｛器：g]

???Rt△DEFmRt△DCF(HL),

???EF=CF,

???點尸在CE的垂直平分線上，

???OF垂直且平分CE,故②正確；

???AF平分NB2D,

??2￡MF=45。，

???/LADE=45°,

:.乙EDC=45°,

又ED=DC,

?.AEDC不可能是等邊三角形，

:.EDHEC,

???△EFCw^EHD錯誤；故③錯誤；

vAB=CD,ED=CD,

??.AB=ED,

,:乙EDG=45°,

???EDHEG,

:.AB豐EG,故④錯誤;

V^DAF=45°,DE1AF,

???△/ED為等腰直角三角形，

???AE—DEf

vRt△DEF=Rt△DCF(HL),

???DE=DC,

又AB=DC,

???AB=AE,

???Z-ABE=Z.AEB,

v^LBAE=45°,

???/.ABE=67.5°,

-AB||PC,

???NEGC=448E=67.5。，

故⑤正確.

故選：c.

5.(22-23八年級下?廣西南寧?階段練習)如圖，四邊形4BCD是矩形，點尸是力B邊的三等分點，

BF=22F,點電是CB邊的中點，連接力F,ErD,得到△EF。；點是C/的中點，連接&F,得到

△&FD；點電是C&的中點，連接E3乩E3D,得到△電/￡＞；…按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若矩形4BCD

的面積等于6,則△治023尸。的面積是.

【思路點撥】

根據(jù)題意，并結(jié)合矩形的性質(zhì)可得：AB=CD/D=BC,N4=NB=NC=90o/F=，B,=C%=5

力B=-CD,AB=CD=3AF,而S^EIFD=S-[S&ADF+^/\EXBF+,整理可得：SAE^FD=6—

（1+：x2+：x3）,再表示出SAEZFD,S/^FD的面積，觀察規(guī)律可得：6—^1+—^―x2+^x3^=3——,

從而可求解.

【解題過程】

解：???四邊形/BCD是矩形，

AB=CD,AD=BCfZ,A==(C=90。，

???BF=2/凡點Ei是CB邊的中點，

???AF==CE1=^AB=^D,AB=CD=3AF,

???S^E'FD=SABCD-(S&WF+SAE1BF+S^E]CD)

/l11\

=6-卬。?”+/％?BF+2密?叼

/I1111\

=6-[-AD-AF+-X-AD-2AF+-X-AD-3AF)

1/I1\

=6——AD-AFX^14--x2+-x3j

=6-(1+2X2+]X3),

???奧是CEI的中點，

■■-BE2=弟C=\AD,CE2=；BC=\AD,

:，SAEZFD=S-(S△/皿z+S^EBF+SAECD),

319

1+2+

-X-X

整理得：SAE?FD44

同理可得:尸0=6_(1+tx2+?X3),

?，?S4EnFD=6—(1+x2+^x3)=3--,

.c_Qi

,??^△^2023?—J-22023,

故答案為：3—云篙.

6.(22?23九年級上?廣東深圳?期中)如圖，已知ZBIIC。，AB=CD,乙4=乙。，E是43邊的中點，F(xiàn)為AD

邊上一點，乙DFC=2乙BCE,若CE=4,CF=5,貝抬產(chǎn)的值為.

BC

【思路點撥】

先根據(jù)已知條件證四邊形/BCD是矩形，得出=ADWBC.再延長CE交于點G,證明△AGE三

△BCE(AAS),得出ZG=BC,再證明CF=FG,設OF=x,根據(jù)勾股定理得出：CD2=CF2-DF2=CG2-D

G2,列方程求出。尸的長度，進而求出/￡

【解題過程】

解：-ABWCD,AB=CD,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

?MB||CD,

??.4+ZD=180°,

又?.,乙4=(D,

.??〃=90°,

???四邊形/BCD是矩形，

：.AD=BC,ADWBC；

如圖，延長口4,CE交于點G,

???四邊形48CD是矩形，

：,/LDAB==90°,ADWBC,

'./.GAE=90°,乙G=LECB,

，:E是AB邊的中點，

.\AE=BE,

(Z-G—Z-ECB

在△AGE和△BCE中，\^LGAE==90°,

IAE=BE

△AGE=△BCE(AAS),

.'.AG=BC,GE=CE=4.

-ADWBC,

：.Z-DFC=乙BCF,

-A.DFC=2(BCE,

"BCE—Z.FCE—Z-G,

；.CF=FG=5.

設DR=x,

根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,

即52—%2=82—(5+%)2,

解得x=1.4,

：.DG=6.4,

：.AD=^DG=3.2,

：.AF=AD-DF1.8.

故答案為：1.8.

7.(22-23九年級上?廣東梅州?階段練習)如圖，在矩形ABCD中，28=2,AD=3,E為BC邊上一

動點，作EFLAE,且EF=AE.連接DF,AF.當DF1EF時，△ADF的面積為.

【思路點撥】

如圖，過。作DHIAE于X,過￡作EM1AD于連接DE,證明四邊形DHEF是矩形得到

DH=EF=AE,證明四邊形4BEM是矩形，的EM=2B=2,利用面積法可得4E的長，根據(jù)勾股定理可得

BE的長，證明aABE三△EQF,得FQ=BE=最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論.

【解題過程】

解：如圖，過。作。于〃，過E作EM14D于連接DE,

vEF1AE,DF1EF,

"DHE=乙HEF=乙DFE=90°,

???四邊形DHE尸是矩形，

：.DH=EF=AE,

???四邊形/BCD是矩形，

;/B=Z-BAD—90°,

-/LAME=90°,

四邊形4BEM是矩形，

.-.EM=4B=2,

設力E=EF=DH=x,

■■■SAADE=\AD-EM=^AE-DH,

.,.3x2=%2,

??-x=V6(負值舍去)，

即/E=V6,

由勾股定理得：BE=yjAE2-AB2=V2,

過尸作PQIICD,交4。的延長線于P交BC的延長線于0,

:?乙Q=Z.ECD=LB=90°,乙P=Z.ADC=90°,

-Z.BAE+AAEB=Z.AEF=^AEB+^FEQ=90°,

"FEQ=Z-BAE,

'：AE=EF,Z-B=Z-Q=90°,

???△/BEW2\EQF(AAS),

'-FQ=BE=V2,

.-.PF=2-V2,

■■■SAADF=|X￡)-PF=|X(2-V2)=3-^,

故答案為：3—乎.

8.(22-23八年級下?江蘇泰州?期中)如圖，在矩形4BC。中,AB=2,E為BC上一點,且BE=1,作EF14E

交邊CD于F,將△CEF沿EF折疊后點C恰好落在2D邊上的G處，則4。長=.

【思路點撥】

如圖，連接4F,過E作于H,證明四邊形EHOC為矩形，求解4E=7乎+/=而,設CF=%,

CE=y,EF=z,則%2+y2=z2,由等面積法可得：|xlx2+1xV5z+=|(x+2)(y+1),可得

y=2x,設GD=n,可得HG=2x—n,同理可得：|X2(2%—n)+1n(2—%)+?2%=1(2—x+2)

X2x,可得n=4久-4,GH=2x—(4x—4)=4—2%,由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,再建立方程

求解即可.

【解題過程】

解：???矩形48CD,

:/B=Z-BAD=乙D=Z.C=90°,AB=CD=2,

如圖，連接力F,過E作EH_LAD于H,

則四邊形EHDC為矩形，

.-.HD=EC,EH=CD=2,

■.■AE1EF,

：./.AEF=90°,

-BE=1,

?-AE=722+12=近,

設CF=x,CE=y,EF=z,則/+y2—z2,

由等面積法可得：Ix1x2+1xV5z+|xy=|(x+2)(y+1),

整理得：x+2y=V5z,則％2+4%y+4y2=5z2=5x2+5y2,

.?Ax2-4xy+y2=0,即(2%—y)2=0,

.,.y=2x,

設GO=n,

??.HG=2x—n,

由對折可得：GF=FC=x,Z,EGF=zC=90°,EG=EC=2x,而OF=2一%,

同理可得：

5x2(2%_7i)+萬九(2_x)+5工,2%—萬(2_%+2)x2%,

整理得：x(4x—n—4)=0,

'：xW0,

.-.4%—n—4=0,即ri=4x—4,

:,GH=2x—(4x—4)=4—2x,

由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,

.,.4+(4—2%)2=(2x)2,

解得：x=I

...4。==2x+1=|5+1=-7.

故答案為：

9.（2024?江蘇淮安?一模）如圖，在矩形4BCD中，點K在4D上，且=3,4E=4,BC=14,點尸是

【思路點撥】

本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，分兩種情況：

當翻折后，點F在BC下方時，當翻折后，點尸在BC上方時，分別作出圖形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理建

立方程是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：當翻折后，點尸在8。下方時，過點尸作FG18C,并延長交于4。于H,

4gH口

「［

E------____________________C

方

■:BF=CF,

.-.BG=CG=^BC=7,

?.?四邊形4BCD是矩形，

.?.4D=8C=14,ADIIBC,則

則四邊形4BGH也是矩形，

：.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,

.-.AB=HE,

由翻折可知，BE=EF,BP=FP,

.-.Rt△ABE=Rt△HEF(HL),

.-.HF=AE=4,則GF=HF-HG=1,

設BP=FP=x,則PG=BG—BP=7—x,

由勾股定理可得：PF2=PG2+FG2,即：%2=(7-x)2+1,解得：X=y,

當翻折后，點尸在BC上方時，過點F作尸G1BC,交于2D于H,

：.BG=CG=|BC=7,

?.,四邊形ABC。是矩形，

.-.AD=BC=14,AD||BC,則FH_LAD,

則四邊形48GH也是矩形，

.-.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,

:.AB=HE,

由翻折可知，BE=EF,BP=FP,

.-.Rt△ABEmRt△HEF(HL),

.-.HF=AE=4,則GF=HF+HG=7,

設BP=FP=x,則PGBG-BP^\7-x\,

由勾股定理可得：PF2=PG2+FG2,即：x2=(7-x)2+7,解得：x=7,

..BP=7(此時點P與點G重合)；

綜上，8「=7或m.

故答案為：7或今.

10.(23-24八年級下?重慶?階段練習)如圖，己知￡、尸分別是矩形ABCD的邊4B、CD上的點，連接EF,

將矩形沿EF對折，點4的對應點4恰好落在邊BC上，。的對應點為。，4。恰好經(jīng)過CD的中點若

AB=24B=8,則折痕EF的長度為.

A-------------------D

【思路點撥】

此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理與折疊、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，設4E=x,則

BE=—=8—x,求出4E=AE=5,BE=AB-AE=3,DM=CM=^CD=4,證明4EBmZiMa'C

(AAS),BE=CA'=3,A'E=A'M=3,貝必0=BC=7,由翻折的性質(zhì)得到AD=40=7,則M;D=4。一

A'M=7-5=2,設DF=y,貝ijDF=OF=y,MF=DM-DF=4-y,在RtZiOMF中，MF2=D'F2+

D'M2,得到y(tǒng)=5，過點/作FN_L4B于點N,貝叱4=ND=N4NF=90。，AN=DF=],NF=AD=7,

EN=AE-AN===(在Rt△EFN中，EF=y/NF2+EN2=竽.

【解題過程】

解：設力E=x,則BE=4B-4E=8-x,

'.'AB=2ArB=8,

：,A'B=4,

由翻折的性質(zhì)可知，AE=A'E=x,

?.?四邊形ABC。是矩形，

=乙B=Z.C=乙D=90°,CD=AB=8,AD=BC

在RtZkABE中，AfE2=AfB2+BE2,

.,.%2=42+(8—x)2

解得久=5,

.-.AE=A'E=5

.-.BE=AB-AE=3,

???4。恰好經(jīng)過CD的中點M,

:.DM=CM=|C￡>=4,

由翻折可知，NE4D'==90°,

.-.^EA'B+AMA'C=90°,

-Z-EA'B+/,A'EB=90°,

：.Z.A'EB=Z.MA'C,

又??￡M=A'B=4,zB=ZC=90°,

：.ArEB=△M4c(AAS)

：.BE=CA'=3,4E=A'M=5,

：.BC=4B+4c=4+3=7

：.AD=BC=7

由翻折的性質(zhì)得到，A,D=AD=7,

：.M'D=A'D-A'M=7-5=2,

設。F=y,則DF=0F=y,MF=DM-DF=4-yf

在RtZkZXMF中,MF2=D'F2+D'M2

.,.(4—y)2=y2+22,

解得，y=|,

過點F作FN14B于點N,則乙4=4。=Z.ANF=90°,

四邊形ANFN是矩形，

3

??.AN=DF=-fNF=AD=7

37

??.EN=AE-AN==5--=-

在Rt△EFN中，EF=7NF2+EN2=卜+?=竽，

故答案為：竽

11.（22-23八年級下?山東青島?期末）如圖，在矩形/BCD中，。是對角線的交點，AB=1,

28。4=60。，過C作CE1BO于點E,EC的延長線與NBAD的平分線相交于點“，AH與BC交于點F,與BD

交于點M.給出下列四個結(jié)論：①BF=BO-②力C=CH-③BE=3DE-④S9CF=等MMF；⑤AH=V6

+V2.其中正確的結(jié)論有（填寫正確的序號）.

【思路點撥】

先證明△tMB是等邊三角形，得08=48,再證△ABF是等腰三角形，得BF=AB,即可得出=B。,

可判定①正確；求得NH=NC4”=15。，得出2c=07,可判定②正確；利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得

出。E=2C￡）,AB=池,再由CD=48,BD=DE+BE,即可求得BE=3DE,可判定③正確；過程點M

作MNJ.力B于N,分別求出S44CF=/F,4B=g二，S&BFM=5x]x"工=力工,即可得出S^CF=2

SABFM,可判定④錯誤；過點〃作HQ_L4B交48延長線于Q,延長DC交HQ于P,先求出PH=1,從而求

得力Q=HQ=8+1,即可求得4H=VZ4Q=e+VL可判定⑤正確.

【解題過程】

解：???矩形/8C。，

.-.0A=0C=0D=OB,/.BAD=Z.ABC=Z.ADC=90°,

■：^B0A=60°,

.?.△Q4B是等邊三角形，

：.0B=AB,40AB=4AB0=60°

???4H平分NB4D,

：./.HAB=45°,

.-.^AFB=AHAB=45°,

：.BF=AB,

：.BF—OB,

故①正確；

.-.Z.CAH=/-0AB-Z.BAF=60°-45。=15。，

"MF=Z,AMB=180°-60°-45°=75°,

vCE1BD,

.?/HEM=90°,

.?ZH=90°-75°=15°,

"H="AH,

.-.AC=CH,

故②正確；

???矩形45c

：.AB\\CD,AB=CDf

:/CDE=60°,

"DCE=2LADB=30°,

??.OE=Q,AB=，D,

.t.DE=4BD,

'：BD=DE+BE,

.'.BE=3DE,

故③正確；

在RtZ\4BC中，AB=1,ABAC=60°,

■■.AC=2,BC=V3,

'：BF=AB=1,

...CF=V3-1,

???S/vic尸=-AB=

過程點”作MN148于N,如圖，

??ZHAB=45°,

??.44MN=乙HAB=45°,

：,AN=MN,

,?2MBN=60°,

;.MN=WBN,

-MN+BN=AN+BN=AB=1,

.'.BN=

.c—iv1y6T

x1x

??'△BFM-7o——；-，

?'?^AACF—2s△BFM，

故④錯誤；

過點H作HQ14B交ZB延長線于Q,延長DC交HQ于P,

■.■HQLAB,

：./.AQH=90°,

.?.乙4HQ=4HAQ=45°,

■.AQ=HQ,"HP=45°+15°=60°,

■.PC=WPH,

?:乙BQP=Z.CBQ=Z.BCP=90°

四邊形BCPQ是矩形，

：.PQ=BC=?BQ=PC=WPH,

??-1+V3PH=V3+PH,

.-.PH=1,

：.AQ=HQ=y/3+l,

■?AH=五AQ=V6+V2,

故⑤正確，

??.正確的結(jié)論有①②③⑤

故答案為：①②③⑤.

12.(22-23八年級上?江蘇淮安?階段練習)已知，如圖，O為坐標原點，四邊形04BC為矩形，4(10,0),

《0,4),點。是。力的中點，點尸在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點8運動.

(1)△。P。的面積5=；

(2)當f為何值時，CP=OD?

(3)當△OP。為等腰三角形時，寫出點尸的坐標(請直接寫出答案，不必寫過程).

【思路點撥】

(1)由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出。。=《。4=5,yP=4,再利用三角形面積公式計算即可；

(2)由題意得出CP=。。=5,從而即可求解；

(3)分類討論：①當。。=P。=5時，②當。P=P。時，且位于點。左側(cè)時，③當。P=OD=5時和④

當。。=PD=5,且位于點D右側(cè)時，分別根據(jù)等腰三角形的定義和勾股定理求解即可.

【解題過程】

(1)解：???四邊形04BC為矩形，71(10,0),40,4),

■，OA=BC=10,OC=AB=4.

■:點、D是。a的中點，

：.OD=j0A=5.

,?,點P在邊BC上運動，

???yp=4,

:.S—^OD-yp=10.

故答案為：10；

(2)解：?.?CP=OD=5,

CP_

??-t=—=5,

...當t=5時，CP=0D-,

如圖點Pi，過點。作DF1BC于尸,

■■PiF=gD2_DF2=3,

.-.CP1=CF—PiF=2,

”1(2,4)；

②當。P=P。時，且位于點。左側(cè)時，如圖點P2，過點P2作「2石1。4

??.CP2=0E=1o￡>=2.5,

?也(254)；

③當。P=0D=5時，如圖點P3，

■.-0C=4,乙OCP=90°,

2

■.CP3=^JoP^-OC=3,

?嗎(3,4)；

④當。。=PD=5,且位于點D右側(cè)時，如圖點P4，過點作P4G1OA,

?.,P4G=OC=4,

：.DG=qDPA2_p4G2=3,

J.CP4=OG=OD+DG=8,

?'?P4(8,4).

綜上可知，當△OPD為等腰三角形時，點P的坐標為(2,4)或(2.5,4)或(3,4)或(8,4).

13.（22-23八年級下?黑龍江哈爾濱?期中）矩形4BCD中，點E、F在對角線4C上，AE=CF,連接BE、

(2)如圖2,當4E=2EF時，連接BF,DE,在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四個三角形，使寫

,2

出的每個三角形的面積都等于矩形4BCD面積的看.

【思路點撥】

(1)由矩形的性質(zhì)可得=CD,AB||CD,貝此=通過證明△題《三△CDF(SAS),可得

Z.AEB=乙CFD,由NAEB+乙BEC=180°,Z.CFD+Z.AFD=180。可得N8EC=^AFD,即可得到答案；

(2)作BG12C交4C于G,貝。S4ME=/石?BG,SAABC=^AC-BG,

由4E=2EF,AE=CF,可得4E=|XC,根據(jù)高相等的兩個三角形的面積之比等于底邊之比，可得S“BE=

由矩形的性質(zhì)可得：=/矩形工，從而可得=三X5s矩形矩形/呂⑺，

_33113

同理可得尸=五S矩形748c0，S^BCE=五S矩形4BczrSMFB=gS矩形/BCZT^AADE=gS矩形力弘。，^AADF=五

13

S矩形/BCD，R矩形/BCD，SMDE=QgS矩形/BCD，即可得到答案?

【解題過程】

(1)證明：,??四邊形"BCD是矩形，

AB=CD,AB||CD,

???Z-BAE=乙DCF,

(AB=CD

在△ZBE和△COF中，\/-BAC=^DCF,

IAE=CF

???△ZBE32\CDF(SAS),

???Z.AEB=Z-CFD,

v/.AEB+乙BEC=180°,乙CFD+^AFD=180°,

???乙BEC=Z.AFD,

???BE||DF；

貝=夕月,BG,SNBC=“C.BG，

???AE=2EF,AE=CF,

AE=^AC,

c_2

,,、RABE—0ZV1BC，

由矩形的性質(zhì)可得：S&4BC=/矩形/BCD,

???S^ABE—^AABC=5X5s矩形4Bco=gS矩形4BC0,

同理可得：

_3c_3

^AABFX

=^AABC一55s矩形/BC。=五S矩形力BCO

_3le_Ac

ABCE=^AABCXd

S一52矩形/BC。一奇矩形ZBC。'

2_2

ABCF=^AABCX

S一55s矩形/Bco=gS矩形48co，

_2c_2入-1c

AADEX

S=5->AT4CD一5p矩形/BCO-“矩形ZBCO'

_3c_3

AADFX

S—^AACD一55s矩形4Bco=y^S矩形4BCO，

_2人-1c

MDF=^AACDX_d

S一5亍矩形ZBCO5矩形/BCO'

3_3i_Ac

CDE=^AACDXc

S^一5聲矩形力BCO一談矩形力BCO'

，綜上所述，△ABF、ABCE.AADF,△CDE的面積為矩形力BCD面積的行.

14.（23-24八年級下?江蘇無錫?階段練習）已知如圖，矩形4BCD中，AB=5,P為2C上一個動點,

BP=m,點、B關(guān)于直線4P的對稱點是點E.

(1)當爪=2時，若直線PE恰好經(jīng)過點。，求此時4D的長；

(2)若4D足夠長，當點E到直線4。的距離不超過3時，求加的取值范圍.

【思路點撥】

(1)根據(jù)點2關(guān)于直線AP的對稱點是點E可證得4E=4B=5,PE=PB=m,^AEP=AABP,

乙4PE=NAPB,進而可證4￡>=PD,設4D=PD=X,則0E=X—2,AE-5,根據(jù)勾股定理列出方程解

答即可；

(2)分兩種情況進行討論：①當E點位于直線4。上方且到力D距離為3時；②當￡點位于直線力D下方且

到4。的距離為3時.

【解題過程】

(1)如圖，

??,點B關(guān)于直線2P的對稱點是點E,

：.AE=AB=5,PE=PB=m,/.AEP-/.ABP,/.APE=乙APB.

?.?四邊形4BCD是矩形，

."=90。，AD||BC,

：./.AEP=/.AED=90°,4PAD=4APB,

■■.Z-PAD=Z.APD,

:.AD—PD,

在△4DE中，設40=PD=x,

.■.DE=x—2,AE=5,

.,.(x—2)2+52=x2,

解得X=彳，

即2。的長為弓;

4

(2)當￡點位于直線40上方且到49距離為3時，如圖1,過點E作

???四邊形4BC”是矩形，

.-.AH=BG,GH=AB.

在中，AE=5,EH=3,

.'.AH=4,

在△EPG中，PE=m,PG=4—m,EG=2,

.,.(4—m)2+22=m2,

解得m=I，

當E點位于直線2D下方且到4。的距離為3時，如圖2,過點E作GH14B,

:.EH=4,

在△EPG中,PE=m,PG=8,EG=m—4,

.,.(m—4)2+82=m2,

解得m=10,

???當點E到直線2D的距離不超過3時，m的取值范圍為?!<m<10.

15.(22-23八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)如圖1,在長方形4BCD中，NA=NB=90。，含45。角的直角三角板

放置在長方形內(nèi)，4FEG=90°,EG=EF,頂點E、F、G分別在AB、BC、AD±_.

(1)求證：4AEG34BFE；

(2)若P是斜邊FG的中點.

①如圖2,連接EP,請寫出線段EP與4G、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖3,連接BP,若AB=3a,則BP的長等于

【思路點撥】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到“=NB=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到41EG=NBFE,根據(jù)全等三角形的判定定

理即可得到結(jié)論；

(2)①由(1)知，a/lEG三△8FE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BF,根據(jù)勾股定理和直角三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論；②過G作GM1BC于M,過P作PN1BC于N,貝"PN||GM,四邊形2BMG是矩形，根據(jù)

矩形的性質(zhì)得到4B=3近，AG=BM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4G=BE,設4G=BE==x,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

【解題過程】

(1)證明:???四邊形48co是長方形，

???44-L.B-90°,

vzFEG=90°,

：.Z.AEG+乙BEF=乙BEF+乙BFE=90°,

：.Z-AEG=Z-BFE,

-EG=EF,

△AEG=△BFE(AAS);

(2)解：①EP=,BF2+AG2；理由：

由(1)知，△AEG=ABFE,

：.AE=BF,

“FEG=90°,EG=EF,

.--FG=V2EG,

■■■EG=7AE2+力G2=yjBF2+AG^,

：.FG=&'BF2+AG2,

”是斜邊FG的中點，

：.EP=#G=,BF2+AG2；

②過G作GMIBC于M,過P作PN1BC于N,則PN||GM,四邊形4BMG是矩形,

圖3

.-.GM=AB=3V2,AG=BM,

?；P是斜邊FG的中點，

;.PN=池=當

???AAEG三ABFE,

：-AG=BE,

設力G=BE=BM=x,則BF=AE=3V2-x.

;.FM=BF—BM=3V2-2%,

■■BN=3V2-x-|x(372-2%)

BP=7PN2+BN2=3.

故答案為：3.

16.(22-23八年級下?湖南長沙?期中)如圖，在矩形A8CD中，AD=4,4B=3,點￡為4。中點，連接

BE,CE,點尸為BE中點，點G為線段CE上一點，連接力F,FG.

(1)如圖1,若點G為CE中點，求證：四邊形4FGE為平行四邊形;

(2)如圖2,若點G使得NFGE=2NECD,求四邊形4FGE的面積；

(3)如圖3,連接BG,若點G使得NE8G=45°,求CG的長.

【思路點撥】

(1)運用三角形的中位線定理和矩形的性質(zhì)得到力E=FG,FGWAD,進而得到四邊形4FGE為平行四邊形;

(2)連接BG,先證明aaBE三△￡)(：￡得至UNHBE=NOCE,再推導得到NBGE=90。，然后計算面積即可;

(3)過點E作EM1BE交BG延長線于點M,作MT1EC于點T,作BR1EC于點R,得到△BRE三

然后利用三角形的面積求出邊的長度即可.

【解題過程】

(1)證明：?.?點F為BE中點，點G為CE中點

FG||BC,FG=1BC

矩形ABCD

■■.ADWBC,AD=BC

■.FG||A