內(nèi)蒙古自治區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．23．已知集合，，則A． B． C． D．4．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．5．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．36．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤(rùn)最大C．這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元7．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－28．設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)9．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，10．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－1311．已知集合，則=A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．14．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓Г的上頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.15．已知復(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則____.16．正項(xiàng)等比數(shù)列|滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，則取得最小值時(shí)的值為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點(diǎn)，求.18．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程：（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.21．（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.22．（10分）已知是等腰直角三角形,．分別為的中點(diǎn),沿將折起,得到如圖所示的四棱錐．(Ⅰ)求證：平面平面．(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),求平面與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.4、A【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離，可得，然后根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn)，一條漸近線則點(diǎn)到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關(guān)系，識(shí)記常用的結(jié)論：焦點(diǎn)到漸近線的距離為，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡(jiǎn)得，即令，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。6、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項(xiàng)A正確；1至12月份的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)B正確；易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7、A【解析】

求出，對(duì)分類(lèi)討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點(diǎn)；若，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8、A【解析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個(gè)元素，故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．9、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.11、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．12、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類(lèi)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

函數(shù)的定義域?yàn)?，求出?dǎo)函數(shù)，利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，解得，，聯(lián)立解得的值．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．14、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長(zhǎng)，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

計(jì)算出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、2【解析】

先由題意列出關(guān)于的方程，求得的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，且，時(shí)，上式有最小值，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，可得△ABC為直角三角形，然后可計(jì)算b，可得結(jié)果.（2）計(jì)算，然后根據(jù)余弦定理，可得，利用平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.又a＝3，B＝60°,所以；所以△ABC的面積為.（2）設(shè)D靠近點(diǎn)B，則BD＝DE＝EC＝1.，所以所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）10【解析】

（1）消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線C的極坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而得到=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)求出a的取值范圍；（2）首先求出的值，再根據(jù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)槭?，，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程一定有兩個(gè)不等的正根，設(shè)為和，且，所以解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）由（1）知，，，則，，，由，得，即，令，考慮到，所以可化為，而，所以在上為增函數(shù)，由，得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，屬于難題.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，利用導(dǎo)函數(shù)，可得的范圍，再表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍，從而可求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值．【詳解】（1）函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域：，當(dāng)時(shí)，，所以：，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）由條件得：，，由條件得有兩根：，，滿(mǎn)足，△，可得：或；由，可得：．，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，所以：，；，可得：，，，則：，所以：；所以：，令，，，則，因?yàn)椋簳r(shí)，，所以：在，上是單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?），，（1），所以，；即的取值范圍是：，；，所以有，則，；所以當(dāng)取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值為；【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于難題．21、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，若，；若，；故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則==，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，，故對(duì)于時(shí)，總有.由此得【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.22、(Ⅰ)見(jiàn)解析.(Ⅱ).【解析】

(I)證明平面得出