2025年高考數(shù)學一輪復習：同構(gòu)函數(shù)-專項訓練【含答案】

2025年高考數(shù)學一輪復習-同構(gòu)函數(shù)-專項訓練

一、基本技能練

1.設a,則“a>b”是與間>加加”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.若2x-2y<3~x-3~y,則()

A.ln(_y—x+1)>0B.ln(y—x+1)<0

C.ln|x—j|>0D.ln|x—y|<0

3.已知b>a>0,且滿足alnb=01nme為自然對數(shù)的底數(shù)，貝U()

A.ae<ed<ez?B.eb<aQ<ea

C.eb<ea<aeD.etz<4ze<e/?

4?已知xo是方程2x%2%+ln%=0的實根，則關于實數(shù)次的判斷正確的是()

A.xo^ln2B.xo<-e

C.2xo+lnxo=OD.2exo+lnxo=O

5.已知對任意的Q"QR都有加一。一初恒成立，則實數(shù)2的值為()

A.eB.1

C.OD.—e

6.已知a,+°°),且滿足3—*>lnp則a,b,的大小關系是.

l-T-UC4-

7.若關于x的不等式3)x+21nx+1對任意x>0恒成立，則k的取值范

圍是.

8.若對于任意實數(shù)1>0,不等式2祀2%—111x+ln恒成立，則a的取值范圍是

9.已知函數(shù)式%)=?%—〃111%(其中〃為參數(shù))，若對任意九￡(0,+°°),不等式

a恒成立，則正實數(shù)a的取值范圍是.

10.已知八元)=oe%-i—lnx+lnQ,若求〃的取值范圍.

11.已知函數(shù)火%)=%一1口無,

(1)求函數(shù)八工)的單調(diào)性；

⑵當證明："Inx+'e+i；

eJC

(3)若不等式x+alnx+白》;^對xG(l,+8)恒成立，求實數(shù)。的最小值.

二,創(chuàng)新拓展練

12.已知函數(shù)人%)=普1，則不等式而0>e，的解集為()

A.(0,1)B.R1)

C.(l,e)D.(l,+8)

Inv

x

13.已知函數(shù)八%)=一二，g(x)=x-e.~,若存在xiG(0,+°°),X2?R,使得7(XI)=

g(X2)=網(wǎng)上<0)成立，則(藍)甘的最大值為()

A.e2B.e

14.已知a>l,若對任意的工￡+°°L不等式4x—InIna恒成立,

則a的最小值為.

15.已知函數(shù)J(x)—26zln(x+1)—x—1,g(x)=^x—2ax.

⑴討論火工)的單調(diào)性；

(2)若對任意的無￡[0,+8),加)+飄%)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案與解析

一、基本技能練

1.答案C

x2,xNO,

解析設函數(shù)j(x)=x\x\,j(x)=x\x\=<

x2,x<0,

可得Hx)為增函數(shù)，

所以a>b=Ka)>fiJb),

gpa>b<^a\a\>b\b\,所以是充要條件.

2.答案A

解析設函數(shù)兀0=2*—3飛

因為函數(shù)y=2&與丁=-3一在R上均單調(diào)遞增，

所以五x)在R上單調(diào)遞增，

原已知條件等價于2工一3二<2>一3一丫，

即xx)<Hy)，

所以》〈y，即y—x>0,所以A正確，B不正確.

因為lx—yl與1的大小不能確定，所以C,D不正確.

3.答案A

解析因為y=e*在R上單調(diào)遞增，b>a>0,所以“>e。，BC錯;

構(gòu)造函數(shù)<x)=&3(X>O),

I11—Inx

貝1f(%)=^2=0,%=e,

當X￡(O,e)時，f(x)>09於)單調(diào)遞增,

當年e,+8)時，於)單調(diào)遞減,

因為alnZ?=61n〃，4^=3^，即又b>a>0,

所以OVaVe,b>e,Inb>0,alnb=blna>0,所以IVaVeVb,

所以elna<alne,Inae<ln即

ab

所以cf<e<e9A正確.故選A.

4.答案C

解析由ZfeZx+lnxM。得

2xe2x=—"lnx=-ln-=lnIn

xxxxx

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xex,其中x>0,

則/(%)=(%+l)e”>0,

所以，函數(shù)/U)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

根據(jù)題意，若X0是方程2%2?2%+111%=0的實根,

11

則-ln

2x0^=Inxoe和~,

即五2xo)={ln5),

所以2%o=ln'=—lnxo,

xo

因此2xo+lnxo=O.

5.答案B

解析(b—a)/。2加一》一加

n(0-a)eba一加—

=3—a)e"一。一2(。一a)+(一加—")一2(—0)N0,

構(gòu)造fix)=xex—Ax,

問題轉(zhuǎn)化為人0—a)+H—0)、0,

由于a,6為任意實數(shù)，

=Me'一2)NO,

①當x=0時，顯然成立，

②當x<0時，恒成立，2三1,

③當x>0時，7Wex恒成立，可得7W1,

綜上可得7=1,故選B.

6.答案a>y[ab>b

解析浦一拉Inb—Ina,

*+lna>-p+lnb,

令g(x)=A+lnx,X>A/2,

O1y2一2

g，(x)=—「一>0,g(x)在(6，+8)上單調(diào)遞增.

,.,g(a)>g(b),a>b,

又y[cr^a>\[cr/b>\[b\[b,

a>\[ab>b.

7.答案(一8,0]

解析原不等式可變形為e"*+3工一(3尤+21nx)三日+1,e21n-t+3a,—(3x+21nx)—

iNkx,利用e'Nx+l,可得AxWO,又x>0,故ZWO.

8.答案快，+8)

解析法一將2Qe2%—lnx+ln變形為2ae2%，ln

1Y

則2e212-ln-，

aa

兩邊同時乘以入得2xe2x^^ln夕

即2xe2x^~ln~=elnAn三.(*)

aaaa'/

設虱。=汨(介0),

則g")=(l+/)e、0,

所以g⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故由(*)得2x>ln親

則Ina^lnx—2x

令h(x)—Inx~2x,X>0,

則h'(x)=^—2,

易知當xd(o,0時，//(x)單調(diào)遞增，

當xdg，+8)時，力(%)單調(diào)遞減，

故A(x)max=九Q)=-In2-1,

所以Ina^—\n2—1,

即。七，故。的取值范圍為=+8).

法二將2Qe2%—lnx+ln變形為eln(2fl)+2jv—lnx+lna^O,

即ein(2a)+2x+in(2a)Nln(2尤),

ln(2j:)

貝Ijein(2?)+2x+2x+ln(2a)22x+ln(2x)=e+ln(2x).

設g(t)=e'+t,

易知g⑺單調(diào)遞增，故2x+ln(2a)》ln(2x),以下同法一?

9.答案(0,e)

解析由?x)>alna,

e%

得/—Ina>\nx9

即封一in”—也a>lnx9

兩邊同時加x得

exlnfl+x—In^>elnx+lnx.

令g?)=e，+l,

則g(x—Ina)>g(lnx)9

因為g⑺為單調(diào)增函數(shù)，

所以x—Ina>inx9

即Ina<x-lnx9

令h(x)=x—lnx,

則砥x)=[-

所以/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

在(1,十8)上單調(diào)遞增，

所以/l(X)nun=/l(l)=l,

所以In。<1,解得0<a<e.

10.解同構(gòu)構(gòu)造/z(x)=xex,

/z,(x)=(x+l)e￥,當x>—l時，/z'(x)>0恒成立，

貽)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

aex-i—lnx+lnael=aeLieln且今_猶后當1~=ln^eln即喏

?\x21n-=l+lnx—Ina,

a

令g(x)=1+ln%—x(x>0),

當%>1時,g'(x)<0,當0<x<l時，g'(x)>0,

故g(x)=l+lnx—x在(0,1)上單調(diào)遞增，

在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)Wg(l)=0,

則如a20,解得aeO

11.⑴解f(x)=x-\nx,

11—]

/(x)=l--=--(x>0),

令/(x)=0,解得x=l,

則當0<%<1時，/(%)<0；

當尤>1時,f(x)>0,

所以人乃在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

e^+lnx+l

(2)證明要證:--------------Ne+l,

即證：eA+lnexNex+x=ex-xNex-Inex=>e%-Ine%^ex-Inex,

又,.,e￡Nex>l,

由(1)可得：加C)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故人力利6%),故原不等式成立.

(3)解x+aln尤+/三犬=卜+龍三%=>e-x—Ine二三爐一alnx

^e-JC—IneInxf

w*),

又因為0<e-x<l,

人x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

V

Inx

令g(x)=一自(X>1)，

1—Inx

g'(x)=(Inx)2'

令g'(x)=0,得尤=e.

當l<x<e時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當x>e時，g'(尤)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(e)=—彘=—e,

所以一e,所以a的最小值為一e.

二,創(chuàng)新拓展練

12.答案B

「丫2QY「XP]+Inxz^x

解析言—總—>3，

1+lnx1+lnxx1+lnxx

構(gòu)造g(x)=￡j>3，

(x—1)e*

則g'(x)=福，g'(x)=O，

解得X=l,

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增,

又火)x>e%=g(1+Inx)>g(x),

當x>l時，lnx+l>l,

于是得l+lnx>x,

即1+lnx—x>0,

令/z(x)=l+lnx—x,

當％>1時，/zr(x)=-—1<0,

函數(shù)萬(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

Vx>l,/z(x)</z(l)=0,

因此，l+lnx>x無解.

當與%<1時，0<lnx+l<l,

e

于是得l+lnx<x,

即1+lnx—x<0,此時〃(%)=1一1>0,

函數(shù)力。)在g,1)上單調(diào)遞增，

1),g)<%(1)=0,

不等式l+lnx<x的解集為g,1),

所以不等式五x)>e*的解集為g,1；

13.答案C

解析函數(shù)Xx)的定義域為(0,+°°),

1—Inx

/(X)；一^2—，

所以當x?(0,e)時,f(x)>0,Xx)單調(diào)遞增,

當x?(e,+8)時，了(%)<0,於)單調(diào)遞減,

又火1)=0,所以x@(0,1)時，兀0<0；

當x@(l,+8)時，?>0,

同時gQ)=》=??=Aex),

若存在X1G(O,+0°),X2@R,

使得火xi)=g(&)=k(k<0)成立，

則0<xi<lJL/xi)=g(x2)=/ex2),

所以xi=ex2,即%2=lnxi,

,Inxi"Inxi,

又左==r，所以二==T=%，

Ji1^V1

故圖一=「故人<0)，

令^(x)=x2eJC(x<0),

則夕，(x)=x(尤+2)e*.

令(p'(x)<0,解得一2<x<0；

令03>0,

解得x<-2,

所以夕(x)在(一2,0)上單調(diào)遞減；

在(一8,—2)上單調(diào)遞增.

4

所以9(X)max=°(—2)=二，

(、2

即4M的最大值為土

\A1/C

3

14.答案-

解析4x—ln(3x)aex—Ina=>x+3x—ln(3x)a^x—In〃n3%—ln(3x)Woe%—1nme%),

構(gòu)造Ax)=%一Inx,

所以火3%)(/(酒)，

則/(x)=l-：=—,

故於)在[1,+8)上單調(diào)遞增,

因為/(3x)^/(<7-ex),所以3%Woe%.

因為a>l,x?1,十8),

所以3x,aexe[l,+°°),

3x

故恒成立，

令g(x)4，

3—3x

只需〃，g(%)max,由g'(%)=~-9

3

故%=1時，g(x)的最大值是1

33

故〃2匕故。的最小值為，.

CC

15.解(1求x)的定義域為(-1,+8).

因為/(x)=2Qln(x+1)—x—1,

2a—1—x

所以小尸