2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義：二次函數(shù)與幕函數(shù)

§2.6二次函數(shù)與幕函數(shù)

【課標(biāo)要求】1.通過具體實(shí)例，了解幕函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律2掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等).

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.幕函數(shù)

⑴幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)_____________叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，?是常數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖象

⑶幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)___________和______________,且在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)____________且在(0,+8)上單調(diào)遞減；

④當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，y=f為；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，y=V為.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：fix)-■

頂點(diǎn)式：fix)-a(x-m)2+"(aWO),頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

零點(diǎn)式：fix)=a(x-不)(尤-尤2)(々#0),xi,尤2為./U)的.

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y-ax2+bx+cy=ax2+bx+c

函數(shù)

(a>0)(〃<0)

y

圖象

j/1

（拋物線）04tv

定義域

值域

對(duì)稱軸x=

頂點(diǎn)

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)6=0時(shí)是________函數(shù)，當(dāng)bWO時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在（…，他

上單調(diào)遞

在（…，

上單調(diào)遞________;

單調(diào)性

在［啜,+8)

上單調(diào)遞________

在［-9+8)上單調(diào)遞________

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

1-

（1）函數(shù)y=是賽函數(shù).（）

（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在無(wú)軸下方，貝Ua<0且/<0.（）

（3）二次函數(shù)y=a（x—1>+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+°°）.（）

（4）若幕函數(shù)是偶函數(shù)，則a為偶數(shù).（）

2.已知黑函數(shù)產(chǎn)段）的圖象過點(diǎn)（8,2也）,則#9）的值為（）

A.2B.3C.4D.9

3.（2023.南京模擬）已知函數(shù)兀0二/-2x+2,%￡（-2,2）,則函數(shù)兀i）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（2,10）B.[1,2）

C.[2,10]D.[1,10）

4.已知函數(shù)加）=％2+2（a-l）x+2在區(qū)間（-8,-3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-探究

題型一幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1(1)(2023?合肥模擬)如圖所示，圖中的曲線是幕函數(shù)y=x"在第一象限的圖象，已知〃取±2,

±3四個(gè)值，則相對(duì)應(yīng)曲線G,C2,C3,C4的“依次為()

-C2

_1_

A.-2,-2,2,2B.2，2,2''2

,2-

C.-,-2,2,D.2,,/,2

（2）（2023?無(wú)錫模擬）“〃=1”是“黑函數(shù)?。?（層.-3〃+3*"-3在（0,+8）上單調(diào)遞減”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

，2+m2

跟蹤訓(xùn)練1⑴幕函數(shù)產(chǎn)Z-(0＜m^3,加￡Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且在(0,+8)上單

調(diào)遞增，則機(jī)的值為()

A.0B.2C.3D.2或3

m

(2)(2023?臨沂模擬)如圖所示是函數(shù)＞=%"Qn,n均為正整數(shù)且m,n互質(zhì))的圖象，貝!]()

)‘=那

A.相，w是奇數(shù)，第＜1

B."2是偶數(shù)，”是奇數(shù)＜1

C.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，目￡>1

D.7〃，〃是奇數(shù)，明>1

題型二二次函數(shù)的解析式

例2已知二次函數(shù)人了）滿足犬2）=-1-1）=-1,且式X）的最大值是8,試確定該二次函數(shù)

的解析式.

思維升華求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略

（1）已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式.

（2）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大（?。┲档龋诉x用頂點(diǎn)式.

（3）已知圖象與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.

跟蹤訓(xùn)練2已知二次函數(shù)外）的圖象過點(diǎn)（0,3）,對(duì)稱軸為直線x=2,且方程犬勸=0的兩個(gè)根

的平方和為10,貝!I危）的解析式為.

題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象

例3（多選）（2023?銀川模擬）已知二次函數(shù)段）=辦2+bx+c的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.2a+b=0

B.4a+2b+c<0

C.9〃+3Z?+c<0

D.abc<0

命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

例4（2024?福州模擬）已知二次函數(shù)段）=加-x+2a-1.

⑴若式X)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

⑵若。>。，設(shè)函數(shù)式X)在區(qū)間［1,2］上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式.

■微拓展

二次函數(shù)定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間問題

在含參的二次函數(shù)中，常常出現(xiàn)兩種情況的討論：

(1)二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定二次函

數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”.

(2)二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這

種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”.

典例⑴已知函數(shù)式尤)=在區(qū)間［a,6］上的最小值為3a,最大值為36,則a+6等于

()

113

A.-4B.TC.2D.-r

oo

⑵若函數(shù)"X)-2bx+3a在區(qū)間［0,1］上的最大值為M,最小值為加，則M-加的值()

A.與。無(wú)關(guān)，與b有關(guān)

B.與。有關(guān)，與b無(wú)關(guān)

C.與〃有關(guān)，且與〃有關(guān)

D.與〃無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

跟蹤訓(xùn)練3⑴(2024?宣城模擬)已知y=(x-m)(x-九)+2023(m<n)，且a,夕(a<￡)是方程y=0

的兩根，則a,夕，加，〃的大小關(guān)系是()

A.a<m<n<PB.m<a<n<P

C.m<a<P<nD.a<m<P<n

⑵(2023?鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)段)=，-4x+2在區(qū)間,加上的值域?yàn)閇-2,2],則。-〃的取值范圍

__________________

§2.6二次函數(shù)與塞函數(shù)答案

落實(shí)主干知識(shí)

知識(shí)梳理

1.⑴『⑶②(1,1)(0,0)

③(1/)④奇函數(shù)偶函數(shù)

2.(I)QX2+bx+c(〃#0)(m,ri)

4ac-b1

零點(diǎn)(2)R+oo

4〃

b

la

偶減增

增減

自主診斷

1.⑴X(2)V(3)X(4)X

2.B3.D4.(-8,4]

探究核心題型

例1(1)B

(2)C[因?yàn)榧?=("一3W+3)X2'-3是福函數(shù)，

所以/—3"+3=1,

即iv—3w+2=0,

解得〃=1或n=2,

當(dāng)n—1時(shí)，尤)=尤一1=:在(0,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)”=2時(shí)，y(尤)=x在(0,+8)上單調(diào)遞

增.

所以u(píng)n=r是"原函數(shù)人x)=(〃2—3a+3)/L3在(0,+8)上單調(diào)遞減”的充要條件.]

跟蹤訓(xùn)練1(1)D[當(dāng)根=0時(shí)，y=/2,由倦函數(shù)性質(zhì)得，y=/2在(0,十8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)根=1時(shí)，y=x。，由嘉函數(shù)性質(zhì)得，y=x°在(0,+8)上是常函數(shù)；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，y=x4,由嘉函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=f在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，y=x10,由嘉函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在(0,十8)上單調(diào)遞增.]

tn

(2)B[由福函數(shù)性質(zhì)可知，y=;T與y=x的圖象恒過定點(diǎn)(1,1),即在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐

標(biāo)為(1,1),

m

-tn

當(dāng)0Vx<1時(shí)，xn>x,則不1;

m

又y=%"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

m

-,-y=xn為偶函數(shù)，

mm

(-x)"=q(—XT=xn

又m,”互質(zhì)，；.m為偶數(shù),〃為奇數(shù).]

例2解方法一(利用“一般式”解題)

設(shè)Xx)=or2+fcr+c(a。0).

「44+26+C=-1,

a—b-\-c=—1,

由題意得V

4ac-b2

4a

a——4,

解得b=4,

、c=7.

所以所求二次函數(shù)的解析式為

Kx)=-4f+4x+7.

方法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)

設(shè)fix)=a(無(wú)一機(jī)>+w(aW0).

因?yàn)?2)=式-1),

所以拋物線的對(duì)稱軸為x=2+，D=]所以機(jī)弓

又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8,

所以n=8,

所以人x)=a(x—習(xí)2+8.

因?yàn)?2)=-1,

所以〃(2—,2+8=—1,

解得a=~4,

所以1%)=—4(j—；>+8

=-4—+4%+7.

方法三(利用“零點(diǎn)式”解題)

由已知得危)+1=0的兩根為為=2,X2=~l,

故可設(shè)/(%)+1=a(x—2)(%+1)(〃W。)，即/(x)=Q/—ax—2a—1.

又函數(shù)有最大值8,

即4a(-2aT)(一?28

解得a=~4.

故所求函數(shù)的解析式為

犬x)=—4/+4x+7.

跟蹤訓(xùn)練2於)=f-4x+3

例3ACD

例4解(1)由題意知aWO.

當(dāng)a>0時(shí)，^^二辦2—x+2a—1的圖象開口向上，對(duì)稱軸方程為x=/,所以式x)在區(qū)間［1,2］

上單調(diào)遞減需滿足

又。>0,所以o<〃W；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=ax2—x+2a—l的圖象開口向下，對(duì)稱軸方程為x=^<0,

所以兀0在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減恒成立.

綜上，〃的取值范圍是(一8,0)U^0,.

(2)①當(dāng)即a23時(shí),

府)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(a)=y(l)=3a—2.

②當(dāng)1<!<2，即:時(shí)，

/(X)在區(qū)間1，4上單調(diào)遞減，在區(qū)間［士，2上單調(diào)遞增，此時(shí)gm)=(—=2。一表一1.

③當(dāng)汽22,即0<a/時(shí)，

在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

此時(shí)g(a)=/(2)=6a—3.

綜上所述，g(a)=

6a—3,,

J2a—表―1,J，

*-2,aGI，+8).

微拓展

典例(1)A［因?yàn)榘藊)=-%2+x=-T(X—l)2+；wg的圖象的對(duì)稱軸為X=l,開口向下，函

數(shù)在(一8,1］上單調(diào)遞增，在“，+8)上單調(diào)遞減，

依題意弘其所以6W,

所以小)在區(qū)間m,切上單調(diào)遞增,

|Aa)=3a,

所以族)=36,

—5層+〃=3〃,

即]

[—/+/?=3/?,

1?

所以〃，Z?為方程1%2+2x=0的兩根，所以〃+》=—1=-4.］

2

(2)A［函數(shù)y(x)=f—2/?x+3〃的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線x=b9

①當(dāng)">1時(shí)，1%)在［0,1］上單調(diào)遞減，貝IM=/(0)=3〃，m=黃1)=1-2/?+3〃，此時(shí)加一m=2。

—1,故A/一