平面向量及其應用（含答案）-2025年高考數(shù)學一輪復習

專題09平面向量及其應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構建?耀蓿際紿

向量：既有方向又有大小的更）

《零向量：長度為1個單位長度的向量）

）-（平行（共線）向量：方向相同或相反的向量）

O知識點一平面向量的有關概念|題型0］平面向量的概念辨析|

-（相等向量：長度相等且方向相同的向量）

工相反向量：長度相等且方向相反的向量）

「三角形法則：首尾相接

卜平行四邊形法則：共起點

向量加法

L守律：交換律、結例>|題型01向量的線性運算|

。知識點二向量的線性運算;』0寸、十

-（幾何意義：a-b=a+（-b））

，______/向重減法

一運算律：結合律、第一配律、第二分配律）

平向量數(shù)乘

面

向量共線定理：非零向量。與火線O存在唯——個實數(shù)九，使得6=及

向

［三點共線定理］題型01向量共線及其應用

量O知識點三向量魁定理與基本定理題型02基底的概念及判斷

,L平面向量基本定理：如臬“2是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，

題型03用已知基底表示向量

及

那么對于平面內(nèi)任一向量。，有且僅有一對實數(shù)即九，使a=4回+之202

其

應向量的夾角——同起點、0°<e<180°

題型01向量數(shù)量積的計算

用^54：?-d=|?||ft|cos0

向量的數(shù)量積題型02向量^郵相關訶題

。知識點四平面向量的數(shù)量積幾何意義數(shù)量積。?婿科目年邁電邯投影網(wǎng)cose的乘積壁03向量模闞相關訶題

題型04向量夾角的相關問題

向量數(shù)量積的性質(zhì)

■05幡向量網(wǎng)曲

向量數(shù)量積的運算律交換律、分配律、數(shù)乘結合律

一向量片（X1M）/=（X2㈤）

T、加法:a+Xxi+MM+h））

「減法：ab=（ri-x2yL”））

一數(shù)乘：g=川加）=（疝1,秘））

-（。知識點五平面向量的坐標運算向量平行的坐標表示）~（xurgyiR）題型01平面向甄坐后示及運算

題型02線段定比分點的應用

模長的坐標：口=所）

cme壬三十吁2

|的坐標：石+)

向量數(shù)量積的坐標表示

:的坐標：和i+F必=。）

T.模長的不等關系：除+1,總區(qū)+jfX*+.片））j

口說盤點?翟源訃上

知識點1向量的有關概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：長度為。的向量，記作0.

3、單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：。與任一向量平行.

5、相等向量：長度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點2向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

交換律：a+b=b+a；

加法求兩個向量和的運算

力b3

aQ結合律：(a+B)+c=a+(B+c)

三角形法則平行四邊形法則

求［與B的相反向量

減法a—b=a+Z7)

的和的運算幾堤義

悶=1胴，

結合律：=（M）Z；

求實數(shù)力與向量￡的當2>0時，與Z的方向相同；

數(shù)乘第一分配律：（4+〃）〃=4〃+4〃；

積的運算當丸<0時，丸￡與Z的方向相反；

第二分配律：+=Aa+Ab

當％=0時，Aa=O

知識點3向量共線定理與基本定理

1、向量共線定理：如果a="（2GR）,則a//b,反之，如果3〃方且Bw。，則一定存在唯一的實數(shù)4,使Z.

2、三點共線定理：平面內(nèi)三點A、B、C三點共線的充要條件是：存在實數(shù)使反=4函+〃礪，其

中力+〃=1,。為平面內(nèi)一點。2

3、平面向量基本定理

（1）定義：如果,十是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量入有且只有一對

實數(shù)4,，2,使4=44+402

（2）基底：若，，最不共線，我們把｛冢，4｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

（3）對平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底給定時，分解形式唯一.4，&是被晟唯一確定的數(shù)值.

③弓,02是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

則當〃與耳共線時，小=。；當“與*共線時，4=0；當2=6時，4=%=。.

④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

知識點4平面向量的數(shù)量積

1、向量的夾角

11UULiUUU111

(1)定義：已知兩個非零向量。和6,作。A=a,OB=b,則/A08就是向量。與6的夾角.

(2)范圍：設。是向量。與力的夾角，則0”把180。.

111111

(3)共線與垂直：若9=0。,則。與6同向；若6=180。，則。與力反向；若6=90。，則a與b垂直.

2、平面向量的數(shù)量積

⑴定義：己知兩個非零向量。與力，它們的夾角為0,則數(shù)量就3cos6叫做。與力的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

記作。.方，即=|a|Hcose，規(guī)定零向量與任一'向量的數(shù)量積為0,即0,a=().

(2)幾何意義：數(shù)量積。.力等于。的長度自與力在;的方向上的投影向cos。的乘積.

【注意】⑴數(shù)量積。?力也等于力的長度|b|與)在方方向上的投影，|cos6的乘積，這兩個投影是不同的.

11

(2)；在，方向上的投影也可以寫成詈，投影是一個數(shù)量，可正可負可為0,取決于。角的范圍.

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

設。，力是兩個非零向量，)是單位向量，a是。與。的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：

rrrr『的曲

⑴e?a=a?e=回網(wǎng)cosa=\a\cosa.

iiii

(2)a-Lboa-b=0.

、11,rr|1||1|ii_,rririiri

(3)a96同向=〃./?=afZ?反向=〃./?二—歷］

特別地"』"或鼠比

II

11Z7.A

(4)若0為a，方的夾角，貝hos6=禽方.

\a\\b\

4、向量數(shù)量積的運算律

1111

(1)a-b=b-a(交換律).

rr/rr\r/r\

(2)Aa-b=A(a-b\=a-X\b\(結合律).

rrrrr

(3)\a+byc=a-c+b-c(分配律).

AAA111111

【注意】對于實數(shù)〃，b,。有(a?b)?c=a?S?c),但對于向量a,b,c而言，(a/>c=a?(Z?-c)不一

定成立，即不滿足向量結合律.這是因為(2方)；表示一個與c共線的向量，而二(方；)表示一個與a共線

的向量，而a與c不一定共線，所以(〃乃>。=4-(萬。)不一定成立.

知識點5平面向量的坐標運算

1、向量線性運算坐標表示

（1）已知建（4外）工=?,%），則1+1（％+/，%+%），U%f，%-%）.

結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

（2）若Q=（X,y）,則Xy）；

結論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。

2、向量平行坐標表示：已知a=（%,y）工=（九2，%），則向量6（bw。）共線的充要條件是x1y2-=0

3、向量數(shù)量積的坐標表示

1111

已知非零向量a=（%，X）,b=（%2,%），。與b的夾角為0.

結論幾何表示坐標表示

模M=yfa^aa=Jx；+yf

ii

iO-L中2_+呼2

夾角cos0=也;+犬?能+￡

\a\\b\

?！钡某湟獥l件

a-b=0X/2+X%=°

rrrr

2VJyb

a*b與a?b的關系■國%馬+。；+寸）（其+

點突破?看分?必將

重難點01平面向量最值或范圍問題

1、定義法：①利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應的等式關系；②運用基本不等式求其

最值問題；③得出結論。

2、坐標法：①根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并推導關鍵點的坐標；②將平面向量的運算坐標化；③運

用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。

3、基底法：①利用基底轉(zhuǎn)化向量；②根據(jù)向量運算化簡目標；③運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不

等式的思想、三角函數(shù)等得出結論；

4、幾何意義法：①結合條件進行向量關系推導；②利用向量之間的關系確定向量所表達的點的軌跡；③結

合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。

類型1數(shù)量積的最值或范圍

【典例1】（2024.四川成都三模）在矩形ABC。中，AB=5,AD=4,點E滿足2荏=3麗，在平面ABC。

中，動點P滿足麗.麗=0，則麗.亞的最大值為（）

A.741+4B.741-6C.2拒+4D.2而-6

TTTT

【典例2】（2024?江西鷹潭?二模）在RtZXAfiC中，角A,民C所對應的邊為。/,c,A=：,C=~,c=2,P

62

是AABC外接圓上一點，則定?（而+麗）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+710

類型2模長的最值或范圍

【典例1】（2024?陜西西安?模擬預測）已知向量Z=加eR,5=（0,2）,則的最小值為.

【典例2】（2024?江蘇泰州?模擬預測）在平行四邊形ABCD中4=45。,48=1,4。=應，若

Q=旃+x通（xeR）,則網(wǎng)的最小值為（）

A.；B.叵C.1D.72

22

類型3向量夾角的最值或范圍

【典例1】（2024.廣東江門二模）設向量方=（l,x）,麗=（2,x）,貝Icos〈方，麗〉的最小值為.

【典例2］（23-24高三上?山東荷澤?階段練習）已知向量萬，人滿足同=1,同=4,若對任意模為2的向量3

均有,同+揚回"2仞，則向量日范的夾角的取值范圍為.

類型4線性系數(shù)的最值或范圍

【典例1】（2024?山西晉中?模擬預測）（多選）在44BC中，。為邊AC上一點且滿足AO=萬DC,若尸為

邊BD上一點且滿足Q=/l而+〃/，4,〃為正實數(shù)，則下列結論正確的是（）

A.初的最小值為1B.初的最大值為」

12

C.；+J的最大值為12D.J+；的最小值為4

43〃Z3/z

【典例2］（23-24高三下.安徽?階段練習）已知正方形ABCD的邊長為2,中心為。，四個半圓的圓心均為

正方形ABC。各邊的中點（如圖），若P在BC上，且市5=2項+〃正，則幾+〃的最大值為.

D

重難點02運用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心

1、常見重心向量式：設。是A2BC的重心，P為平面內(nèi)任意一點

+OB+OC=0

②同=|+PB+PC）

③若而=4（荏+前）或灰=瓦？+2（而+前），Ae[0,+oo）,貝”一定經(jīng)過三角形的重心

④若下=M島+擊）或加=市+4（島+D,4e[0,+8）則p一定經(jīng)過三角形的重心

2、常見垂心向量式：。是AABC的垂心，則有以下結論：

①初=OB-OC=OC-OA

②|明2+|BC|2=|函2+|明2=|西2+畫2

③動點P滿足訶=OA+A（,Ae（0,+8）,則動點P的軌跡一定通過A4BC的垂心

\\IAB#\cosB+\AC\cosCJJ

3、常用外心向量式：。是AABC的外心，

①|(zhì)明=\OB\=|OC|^OA2=OB2=OC2

②畫+OB)-AB=(^B+OC)-JC=(OA+OC)-AC=0

③動點P滿足加=焉j+段J)，4e(0,+8),則動點P的軌跡一定通過A4BC的外心.

2\\AB\cosB\AC\cosCJ

④若(市+OF)-AB=(pB+OC)-BC=(OC+OA>)-CA=0,貝!］。是A4BC的夕卜心.

4、常見內(nèi)心向量式：P是A4BC的內(nèi)心，

①畫而+\BC\PA+\CA\PB=0(或a而+bPB+cPC=0)

其中a,b,c分別是2L4BC的三邊BC、AC,AB的長，

②布=2（需j+點j）,〃0,+8）,則P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。

ACABBCBA

【典例1]（2024.四川南充.三模）已知點P在所在平面內(nèi)，若麗?（?)=麗()=0,

麗Wi\BA\

則點尸是44BC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【典例2]（23-24高三上.全國?專題練習）已知G,O,反在所在平面內(nèi)，滿足84+而+宓="

\OA^OB\=\OC\,AHBH=BHCH=CHAH>則點G,O,H依次為AABC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心,重心，垂心

重難點03奔馳定理及其應用

1、奔馳定理：。是AABC內(nèi)的一點，且x?瓦？+y,話+z,反=6,

則SABOC：SACOA：SAAOB=x:y:Z

2、證明過程：已知。是AABC內(nèi)的一點，ABOC,\COA,A40B的面積分別為邑，SB,SC,

求證：SA-OA+SB-OB+Sc-OC—0.

延長。4與8c邊相交于點。，

[J][|￡￡_S-D_S^BOD_S&ABD-S&BOD_￡c

DCS”coSRCODSLACD-SLCODSB

麗=匹方+處反=3-而+」￡_前，

BCBCSB+SCSB+SC

??￡￡_SBODSCODSBOD+S—OD_S.

0ASSS+S

BOACOABOACOASB+SC

：.~0D=--^-OA,

SB+SC

/.--^-OA=-^-OB+-^-~0C,

SB+SCSB+SCSB+SC

所以叢?瓦？+SB?4+Sc,反=6.

（3）奔馳定理推論：x-OA+y-OB+z-OC^0,貝!1

①S&BOC：S^COA：S&AOB=lxl:\y\'-\z\

zgx^ABOC_IxISRAOC_IyIS—OB_IZI

SRABC1%+y+zl?SAABClx+y+zl9SRABCIx+y+zl'

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

（4）對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關系。但如果向

量關系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當中可以迅速的地得出正確答案。

【典例1］（23-24高三上?江西新余?期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向

量中一個非常優(yōu)美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián).它的具

體內(nèi)容是：己知M是A/IBC內(nèi)一點，^BMC,AAMC,AAMB的面積分別為梟，SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC=O.以下命題正確的有（）

A.若必：:Sc=1:1:1,則M為AABC的重心

B.若M為AABC的內(nèi)心，則3c?庇+AC?礪+AB?祝=0

C.若/為AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=Q^則tanZBAC:tanZABC:tanZBC4=3:4:5

D.若/BAC=45°,ZABC=6O°,M為AABC的外心，則與：％:Sc=石:2:1

【典例2】（23-24高三上?河北保定?階段練習）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為

這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC

內(nèi)一點，.BOC,AAOC,AAOB的面積分別為梟，SB，SC,則邑?西+與?麗+Sc-玄="設。是融。

內(nèi)一點，AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,ABOC,AAOC,"LOF的面積分別為SB,Sc,若

3（M+4OB+5OC=0,則以下命題正確的有（）

:5

B.。有可能是“山。的重心

C.若。為AABC的外心，貝!JsinA:sini?:sinC=3:4:5

D.若。為融。的內(nèi)心，則”出。為直角三角形

重難點04極化恒等式及其應用

1、極化恒等式：/=：［（￡+可2干_q］

2、平行四邊形模式：平行四邊形A8CD,。是對角線交點.則屈??=±|AC|2—IB。?］.

3、三角形模式：在△ABC中，設。為8C的中點，則屈?無淳=|4。|2一［8。|2.

【典例1］（23-24高三下?湖南長沙.階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形

的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，。為=；（|而而0,我們稱為極化恒等式.

已知在AABC中，M是BC中點，AM=3,BC=10,則而.就=（）

「

A.-16B.16C.-8D.8

【典例2】（2024高三.全國?專題練習）四邊形ABC?中，/是上的點，MA=MB=MC=MD=1,

NCMD=90。,若N是線段8上的動點，麗.標的取值范圍是.

法技巧?逆賽學霸

一、解決向量概念問題的關鍵點

1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2、共線向量即平行向量，它們均與起點無關.

3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.

aaa

5、非零向量J與曰的關系：曰是）方向上的單位向量，因此單位向量E與一方向相同.

6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能.但向量的模是非負實數(shù)，可以比較大小.

7、在解決向量的概念問題時，要注意兩點：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向

量是否也滿足條件.

【典例1】（2023?湖南長沙?一模）（多選）下列說法不正確的是（）

A.若a//b，則2與否的方向相同或者相反

ab

B.若z,B為非零向量，且同=忖，則Z與B共線

C.若a//b，則存在唯一的實數(shù)2使得a=Ab

D.若［，■'是兩個單位向量，且|?1-e2|=1,貝!|卜］+司=應

【典例2】（2023高三?全國?專題練習）（多選）下列命題正確的是（）

A.若都是單位向量，則￡=反

B.“同=同”是“￡=石”的必要不充分條件

c.若成B都為非零向量，則使=十4=0成立的條件是Z與方反向共線

\a\\b\

D.a=b,b=c,貝！j°=c

二、平面向量共線定理的應用

1、證明向量共線：若存在實數(shù)腦使2=宓，則Z與非零向量辦共線；

2、證明三點共線：若存在實數(shù)3使荏=彳數(shù)，須與前有公共點A,則A,B,C三點共線；

3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值

【典例1】（2024?浙江?模擬預測）已知向量乙是平面上兩個不共線的單位向量，且須=4+2a,

BC=-3el+2e2,方=3耳一6m，貝！J（）

A.A、B、C三點共線B.A、B、。三點共線

C.A、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

【典例2】（2024高三?全國?專題練習）在AABC中，M,N分別是邊BC,AC的中點，線段AM,BN交于點、

D,則F的值為()

三、平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路

1、應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.

2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的

形式，再通過向量的運算來解決.

【典例1】(2024?山西呂梁?三模)已知等邊的邊長為1,點分別為的中點，若麗=3麗，

則/=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3uu?

C.-AB+AC-AB+-AC

222

【典例2】(23-24高三下.黑龍江大慶?階段練習)四邊形ABC。中，AB=tDC^且麗=2正+〃而，若

四、平面向量數(shù)量積的求解方法

1、定義法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：當已知向量的模和夾角0時，可利用定義法求解，即夕。=同網(wǎng)cos。

(2)適用范圍：已知或可求兩個向量的模和夾角。

2、基底法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底表

示出來，進而根據(jù)數(shù)量級的運算律和定義求解。

(2)適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采

用“基底法”求解。

3、坐標法求平面向量的數(shù)量積

Cl）方法依據(jù)：當己知向量的坐標時，可利用坐標法求解，

1111

即若a=（不，％），b-（x2,y2），則分。=石/+%%；

（2）適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積。

【典例1］（2024?云南曲靖?模擬預測）已知向量4=-『+了，5=27+3j,（7,7分別為正交單位向量），則,石=

（）

A.-1B.1C.6D.-5

【典例2】（2024?安徽蕪湖?模擬預測）已知邊長為1的正方形點E,尸分別是BC,C。的中點，則

AEEF^（）

五、解決有關垂直問題

111111

兩個非零向量垂直的充要條件：@a-Lba-b=Q②若。=（4乂），Z?=（x2,y2），則

11

a<=>\x2+%%=0-

【典例1】（2024?全國?高考真題）已知詢量1=（0,1）,5=（2,x）,若人行-4洲,則了=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【典例2】（2024西藏.模擬預測）已知向量￡=卜（》［+"|卜”￡+列，B=卜0$卜+囚疝［+?］.若

（2Z+石）_!_（￡+法）,則實數(shù)x的值是（）

A.—2B.—C.1D.2

22

六、求向量模的常用方法

1、定義法：利用及土身2=。「±2二.+臚，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；

2、坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；

3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

【典例1】（2024.山東荷澤?二模）已知向量￡=（—2,1）石=（3,x）,且卜+5卜卜一耳，貝！的值是（）

32

A.-6B.——C.-D.6

23

【典例2】（2024?江西宜春?模擬預測）已知向量d,B滿足1旬=2,出|=3,?。?一B）=T,貝12萬一同=（）

A.5B.^5C.6D.8

七、平面向量的夾角問題

求解兩個非零向量之間的夾角的步驟：

第一步，由坐標運算計算出這兩個向量的數(shù)量積；

第二步，分別求出這兩個向量的模；

11

八a-b1

第三步，根據(jù)公式COS6=TI-=1，2求出這兩個向量夾角的余弦值,其中a=（X］，M）,

1。11回Vxi+^i,Vx2+X

1

6=（々,%）；

第四步，根據(jù)兩個向量夾角的范圍［0,加及其夾角的余弦值，求出兩個向量的夾角.

【典例1】（2024.江蘇泰州.模擬預測）若2=（2,0）,忖=1,忖-方卜石，則日與方。的夾角為（）

7171_71_5兀

A.-B.-C.-D.—

6326

【典例2】（2024?河北?模擬預測）平面四邊形ABCD中，點區(qū)口分別為AZ）,8C的中點，

\CD\^2\AB\^8,\EF\=5,則cos（通，配）=（）

八、投影向量及其應用

r

7

uuutt1Luuunrrr^r

廿a-bba-b{

設向量A4是向量q在向量力上的投影向量，則有4用=|?|cos<?,/?>=|a|--r~￥----—b，

\a\\b\\b\\b\2

【典例1】（2024?山東青島.二模）已知向量M=（-L2）,&=（-3,1）,貝？在臺上的投影向量為（）

B.（-口）

【典例2］（2024.山東荷澤?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，函=（1,石），點8在直線x+&y-2=0上,

則麗在次上的投影向量為（）

A.(1,73)B.(1,3)

參考答案與試題解析

專題09平面向量及其應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構建?耀精嘛紿

，向量：既有方向又有大小的更））

L<零向量：長度為1個單位長度的向量）

。知識點一平面向量的有關概念）4~c平行（.）向量：方向相同或相反的向量））?題型0】平面向量的概念辨析?

L（相反向量：長度相等且方向相反的向量）

三角形法則：首尾相接

向量加法平行四邊形法則:共起點

運算律：交換律、結合蹩}|題型01向量的線性運算|

。知識點二向量的線性運算-少十

幾何意義：a-b=a+（-b）'

運算律：結合律、第一分配律、第二分配律）

平向量數(shù)乘

面

「（向量共線定理：非零向量“與/>共線u存在唯——個實數(shù)兒使得4加）］____________________________

向

量—。知識點三向出槌定理與基本定理）照跡DVSol氤鬣需

V----------------------------------------------//平面向量基本定理：如果e“2是平面內(nèi)的兩個不共線的向量,-'I題型03用二如基底表示向量

及

那么對于平面內(nèi)任一向量。，有且僅有一對實數(shù)否，九，^?=Aiei+A2e2）

其

向量的夾角

應同起點、0°<0<180°