2025年高考數(shù)學復習及：三角函數(shù)的圖像與性質 學案講義

三角函數(shù)的圖像與性質

知識導引

本專題主要知識為三角函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)y=/sin（0x+0）.三角函數(shù)的圖象與性質的

基礎是正弦曲線,關鍵是利用其圖象來理解、認識性質，并要掌握好“五點法”作圖;對函數(shù)

7=Asin（（ax+（p）圖象的研究,教材采取先討論某個參數(shù)對圖象的影響（其余參數(shù)相對固定），

再整合成完整的問題解決的方法安排內容.

1.會用“五點法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，能借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性

質（周期性、奇偶性、單調性、最大值和最小值等）；能借助正切線討論正切函數(shù)的性質（周期

性、奇偶性、單調性、值域等），理解利用正切線畫出正切曲線.能從圖象變換的觀點畫函數(shù)

圖象,用變量代換的觀點討論函數(shù)的性質.

（1）“五點法”作圖的關鍵在于抓好三角函數(shù)中的兩個最值點，三個平衡位置（點）；

（2）對周期函數(shù)與周期定義中的“當x取定義域內每一個值時”，要特別注意“每一個值”

的要求；

（3）正切曲線是被相互平行的直線》=匹+左左所隔開的無數(shù)支曲線組成的，正切曲線的

2

對稱中心坐標為［等,0）,斤eZ.

2.對于函數(shù)〉=/sin（（yx+0）,要注意以下幾點.

（1）會用"五點法"作函數(shù)y=/sin（0x+0X，>OM>O）的圖象.

（2）理解并掌握函數(shù)〉=45畝（0工+9）（/>。,0>。）圖象和函數(shù)y=sinx圖象的變換關系,通常

為:相位（平移）變換一周期變換一振幅變換.

相位變換:所有點向左（0>0）或向右（0<0）

具體：j=sinx=>y=sin(x+<p)

平移|如個單位長度

周期變換：橫坐標伸長（0<。<1）或縮短（。>1）、

-------------------------------------------------------------=>y=sin（?x+<p）

到原來的!（縱坐標不變）

（O

振幅變換：各點縱坐標伸長（4>1）或縮短（0<A<1）_

y=Asin(ox+<p)

到原來的/倍（橫坐標不變）二

注意,若周期變換在前,則一般公式為

平移變換

y=smcoxy=sin[<w(jc+(p)\=sin((yx+co(p),

平移|外個單位長度

平移變換

y=sintwx(P_-sin(6t>x+(p).

平移且個單位長度CD

CD

（3）當函數(shù)>=Zsin（④v+9）（4〉0,0>0,x￡表示一個振動量時，/叫做振口鬲，T=—^~

CD

叫做周期，/=/叫做頻率，0X+0叫做相位，夕叫做初相.

一般結論：函數(shù)y=Asin（ft>x+cp）及函數(shù)y=4COS（GX+9）（其中xeR,4GM為常數(shù)，且

/工0,。>0）的周期T=紅.

CO

數(shù)形結合的思想方法貫穿了本專題的內容,要熟練把握三角函數(shù)圖使的形狀特征,并能借

【進階提升】

【題目9］

求函數(shù)y=Jcosx-：的定義域.

審題將復合函數(shù)的定義域問題轉化為三角不等式問題求解,考慮用圖像或單位圓中三角函數(shù)

線解決.

解析利用^=3》的圖象(圖1)或單位圓(圖2)知:在一個周期［-萬㈤內，滿足cosx…q的解

為-匹,,馬匹，故所求函數(shù)的定義域為

33

|—+2kn,,x,+2kn,ke.

圖1圖2

回爐本題是求復合函數(shù)的定義域問題，應先確定使二次根式、三角函數(shù)有意義x的的取值范

圍，易錯誤提示：當列出有關tanx的式子時，應注意其中隱含的條件.

如解tanx../］利用y=tanx的圖象(圖3)或單位圓(圖4)得xe左左+戈?，跖左eZ

圖3圖4

【相似題9】

求函數(shù)y=lg(-sinx)+A/l—tanx的定義域.

函數(shù)f(x)=(l+VTtanx)cosx在區(qū)間-匹，匹上的值域為審題本題為含正切與余弦的三角

函數(shù)在某一區(qū)間上求值域的問題，一般化為同角且同名的三角函數(shù)，轉化為探討形如

f(x)=Asin(cox+(p)的式子在某一區(qū)間上的值域.

解析由已知得/(x)=(1+V3tanx)cosx=cosx+V3sinx=2sin^x+^-J.

因為-年,x”0，所以-親,x+看,,5,所以-sin[x+菅]”1,所求值域為[-1,2].

回爐先利用三角函數(shù)公式將已知函數(shù)化為〃x)=/sin(ox+o)的形式,再利用正弦函數(shù)的性

質可得所求的值域,解題時要注意定義域的范圍和/的符號.

【相似題10]

己知y="6cos3x的最大值為方，最小值為■，求實數(shù)a與6的值.

[題目11]

已知sinx+sinj=y,則siny-cos?x的最大值是.

審題本題為由兩個不同角的三角函數(shù)關系，求解不同角、不同名、不同次函數(shù)siny-cos?》

的值域問題.一般解法為消元,根據(jù)已知條件將siny用sinx表示,利用三角函數(shù)的基本關系

式將cos?》用sinx表示，所求的式子肺般化為關于sinx的二次式，其中整理得到

51"-32]="1-/-苦，最后利用5由工的取值范圍，結合二次函數(shù)圖象進行求解.

解析因為sinx+siny=5,所以sin>=?-sinx.

函數(shù)siny-cos2x=y-sinx--sin2=sin2x-sinx-y=^sinx-一段.又因為

一L,sin乂，1,所以一L,--sinl,-y?sinA;,1.

當sinx=-2時，siny-cos2x取最大值4.

39

回爐解本題主要利用了同角三角函數(shù)的基本關系式、正角函數(shù)的有界性、二次函數(shù)的圖象與

性質.解題關鍵在于消元,將目標式sinj-cos2x轉化為關于sinx的二次式,這里確定sinx

的取值范圍-泉，sinx”1是一個易錯點.事實上sinx=-l不成主,否則siny>1,矛盾.

【相似題11】

已知3sin2x+2sin2>=2sinx,貝（]sin2x+sin2y的最大值為,最小值為.

[題目12]

函數(shù)》二sinxcosx+sinx+cosx的值域是.

審題令sinx+cosx=/，借助sinx,cosx的平方關系進行換元,將三角函數(shù)轉化為關于才的二次

函數(shù)，由二次函數(shù)圖象的對稱軸和單調性求出最值.

解析令sinx+cosx=，，則/=V2sin(x+亍)G[-V2,V2-].

、,t2-1

對sinx+cosx=，平方，得l+2sinxcosx=/2,所以sinxcosx=-------.

2

所以昨占1+=[(?+1)2一1,值域為11,71+1.

回爐三角函數(shù)運算中和(sinx+cosx)、差(sinx-cosx)、積(sinxcosx)存在著密切的聯(lián)系.

如

(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2,(sinx+cosxf

-(sinx-cosx)2=4sinxcosx等.在做題時要害于觀察，進行相互轉化.本題在換元時，注意

tE[―A/2~,A/2"].

【相似題12]

函數(shù)>=sin尤cosx（0<x（萬）的值域是________.

sinx-cosx+1

【題目13)

函數(shù)y=其J的最大值是______.

2+cosx

審題本題涉及異名三角函數(shù)的分式型函數(shù)j=歿hx+2,可用反解和三角函數(shù)的有界性求

CCOSX+6?

最大值;或用二倍角公式、萬能公式將正弦、余弦化為半角的正切，利用基本不等式求值;或

用斜率的幾何睢義求解.

解析1(反解與有界性)

去分母可得2y+ycosx=sinx,所以sinx-ycosx=2y,

_____o

y

故J]+y2sin(x+(p)=2j/,sin(x+(p)=.9,其中tan(p=-y.

Jl+V

由三角函數(shù)的有界性知|sin（x+0）|1,所以,2二,,1,解得-g,J,g

故所求的最大值為五.

3

解析2（斜率的幾何意義）

將^=sin匚化為y=sinx-0,

2+cosxcosx-（-2）

y可看作動點尸（cosx,sinx）與定點4（-2,0）連線的斜率k.

易得。(cosx,sinx)在單位圓/+>2=]上，且左_y,

x+2

單位圓f+/=1的圓心。到直線y=k(x+2)的距離d=-4==?1,

J/+]

可得上2”;一°^”人,五.故所求的最大值為五.

33

解析3（代數(shù)法）

由＜酸二：得O+E4J"

令△=16/-4（1+1）（4/一1）…0,可得后I,（，-乎,，仁孚.故所求的最大值為手.

解析4（半角公式、萬能公式、基本不等式）

因為

,2sin—cos—2sin—cos—2tan—

sinx_________________2222=2

2

2+COSx_2/in2X+cos2工)+cos2X_sin2X3cos2工+sin2工-3+tan^

\22/22222

（分子分母同除以COSz王）

2

要使函數(shù)y=smx最大,貝I]tan工>0.

2+cosx2

2tan—

22V3

從而y=......-當且為當tan工=g■時取等號.故所求的

tanJ，”而F

3+tar?工2

22tan工

2

最大值為印

2tan—

解析5由解析4得y=-----二，將其化為ytai?三-2tan±+3y=0.

3+tan2-22

2

當y=0時，tan—=0,成立；

2

當ywO時，tan5wR,貝！JA=4—4廣3乂..0,得丁”言.

故所求的最大值為々工.

3

回爐本題考查分式型函數(shù)y=asinx+A最大值的求法,用到多種方法求解,體現(xiàn)代數(shù)、幾何

ccosx+d

的統(tǒng)一.

【相似題13］

函數(shù)＞=2sin±+L的值域是________.

sinx-2

［題目141

已知函數(shù)/(x)=sin［^-2xj,求：

(1)函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間.

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間［-肛0］上的單調遞減區(qū)間.

審題本題研究三角函數(shù)"X)=/sin(ox+0)的圖象與性質，在求單調區(qū)間時，一般將COT+cp

看作一個整體，將正弦函數(shù)的單調區(qū)間代入求解，同時注意4。的符號對增減的影響.

解析⑴原函數(shù)化為=,求函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間等價于求

y=sin"x-q)的單調遞增區(qū)間.

令2kn-拳、2x-手.，Ikrr+女，后eZ,解得kn-x?kn+后eZ.故函數(shù)/(x)的單調

遞減區(qū)間為「"一區(qū),版'+包］%eZ).

L1212J

(2)函數(shù)/(x)的單調遞陵區(qū)間與區(qū)間［-肛0］取交集即可.

函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為k兀一&k兀+爺(斤eZ),經(jīng)分析可得人只能取0

和-1.故/(x)在區(qū)間［-肛0］上的單調遞減區(qū)間為-五,0和-肛-互.

_12__12_

回爐解本題的關健是先把所給函數(shù)式化為標準形式/。)=加皿的+夕)，應注意。＞0,把

ox+0看作一個整體，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性列出不等式,求得函數(shù)的遞減區(qū)間的通解.若

要求某一個區(qū)間上的單伍區(qū)間，則對通解中的先進行取值,便可求得函數(shù)在這個區(qū)間上的單

調區(qū)間.

【相似題14］

已知。是正數(shù)，函數(shù)y=2sinox在區(qū)號一半3上是增函數(shù)，求。的取值范圍.

題目15

已知函數(shù)/(x)=sin(20x-^^0>O)的最小正周期為萬，則函數(shù)/(x)的圖象的一條對稱軸

方程是()

A兀D?！?T

JX.X=---B.X=—C.X=-5--%-1n).X=—

126123

審題本題已知函數(shù)/(X)的最小正周期,先利用周期性求得三角函數(shù)的解析式,再進一步研究

其圖象對稱軸方程的求法.

解析1結合函數(shù)“X)的周期公式7=2已，得0=1,所以/(x)=sin(2x-匹].由于函數(shù)在對

2。<37

稱軸處取到最值,將選項代人/(X)的解析式檢驗即可,故選C.

解析2由解析1知/'(x)=sin(2x-q].

令2x-匹=左乃+—(A：eZ),解得x=+^-(keZ).

32212

所以直線苫=普是/(x)圖象的一條對稱軸，故選C.

回爐本題解題的關鍵是先由周期公式求得。的值,再解決對稱軸問題.求解對稱軸方程有兩

種方法:一種是直接求出對稱軸方程;另一種是根據(jù)對稱軸的特征(即對稱軸處的函數(shù)值為函

數(shù)的最值)解決.同樣地,求解對稱中心也類似.

【相似題15]

若函數(shù)/。)=5出與幺(0?[0,2%))是偶函數(shù),則0等于

題目16

若函數(shù)/(x)=tzsinx+cosx的圖象關于直線、=匹對稱,則實數(shù).

審題三角函數(shù)的圖象直觀體現(xiàn)了三角函數(shù)的性質，主要特征是對稱性、值域和單調性.解決問

題時應先把三合函數(shù)的綜合表達式轉化為標準式,再進行處理.

解析1若函數(shù)f(x)=yja2+1sin(x+(p)的圖象關于直線x對稱,則

二]=Ja1+1為最大值,即±Jq2+1-<之。+解得a=V3.故填VJ.

13J22

解析2若函數(shù)/(x)=qsinx+cosx的圖象關于直線x對稱,則

/(0)=一3,解得a=V3.故填V3.

*解析3若函數(shù)/(x)=QTTsin(x+0)的圖象關于直線x=￡對稱,則

彳)=0.又f\x)=(asinx+cosx)'=acosx-sinx,即acos彳一sing=0,角率得a=V3.故

填VI.

回爐正弦函數(shù)在對稱軸處取到最值.解本題的關髓是求a的值，由圖象關于直線x=三對稱

3

得+j='ll1一j'從而求求°的值，過程比較復雜.若換用特殊值點來求，小

/(0)=/色■萬)，注意f(a-x)=f(b+x),則/(x)的圖象關于直線》=甘對稱；而

y=/(4-》)與夕=/(6+x)的圖象關于直線x="”對稱.

【相似題16］

若函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a,b為常數(shù)，awO,xeR)在x=￡處取得最小值，則函數(shù)

>=/［為-。是()

A.偶函數(shù),且它的圖象關于點(肛0)對稱

B.偶函數(shù)，且它的圖象關于點［音,對稱

C.奇函數(shù),且它的圖象關于點(肛0)對稱

D.奇函數(shù),且它的圖象關于點［音,o］對稱

［題目17］

若函數(shù)/(xXZsin(乃X-點)對于任意xeR,都有f)?f(x>,f(x2),則忖-引的最小值為

A.—B.—C.1D.2

42

審題本題考查三角II函數(shù)定義,三角函數(shù)周期的求法，以及計算能力和理解能力.

解析由題意知/(國)和/@2)分別為函數(shù)/(x)的最小值和最大值，故|西-引的最小值為函

數(shù)的半周期.又周期7=2,故人-引的最小值為1.答案為。?的最小值就是函數(shù)的半周期,

求解即可.

*一般地，函數(shù)/(xhsin⑨x+singx的周期為7；=互和4=2丑的最小公倍數(shù)，但函數(shù)

0>］?2

/(X)=sin2x+sin/rx不是周期函數(shù),不存在周口具.

易錯警示:考慮到|「sinx|,|cosx|的周期均為了，則y=|sinx|+|cosx|的周期為萬.此為錯誤解

法.

【相似題171

為了使函數(shù)y=sinox(0>O)在區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50次最大值，則a的最小值是

【題目18】

已知函數(shù)y=2sin12x+彳

⑴求它的振幅、周期和初相.

⑵用“五點法”作出它的圖象.

(3)7=2sin+彳]的圖象可由y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

審題熟悉三角函數(shù)圖象的特征，掌用“五點法”作圖不圖象變換.

解析⑴y=2sin〔2x+。]的振幅為2、周期為萬、初相為

(2)列表如下.

n77r5n

X

12~312T

7t37r

2工+年0尺2K

?5~2T

sin（2x+f）010-10

2sin^2x+-^-j020-20

所作圖象如下.

(3)解析1(先平移后伸縮)

先將函數(shù)"cosx=sin(x+方)的圖象向右平移￡個單位長度，得y=sin[x+0);再將橫

坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不變,得了=6?2工+3);

最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標保持不變,得y=2sin(2x+q].

解析2(先伸縮后平移)

先將函數(shù)y=cosx=sin[x+5]的橫坐標變?yōu)樵瓉淼亩危v坐標不變,得y=sin[2x+5];

再將圖象向右平移言個單位長度，得y=sin(2x+qj;

最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標保持不變,得y=2sin(2x+q].

回爐本題主要考查y=/sin(s+0)的圖象，以“五點法”作圖求解最為方便，但必須清楚它

的圖象與函數(shù)》=sinxj=cosx圖象問的關系，弄清怎樣由函效y=sinx,y=cosx圖象變換

得到.要注意,在不同的變換中順序可以不同,平移的單位長度可能不同.

【相似題18]

己知a是實數(shù),則函數(shù)/⑴=1+asinax的圖像不可能是()

[題目19]

已知函數(shù)y=/sin(0x+e)(/>0,|同的一個周期的圖象如圖所示.

(1)寫出解析式.

(2)求該函數(shù)圖象的對稱軸方程及對稱中心坐標.

(3)求函數(shù)的單調區(qū)間.

審題本題為已知函數(shù)y=/sin(s+9)的部分圖象求三角函數(shù)的解析式等問題.一般觀點

(“五點法”)求心

解析(1)由圖象知振幅/=3,周期7=乃，所以。=紅=2,所以

2T

3.

?V=Qsin(2x+(p).

代人初始點