高考數(shù)學導數(shù)綜合加深講義

【高考數(shù)學】導數(shù)綜合講義

一.含參討論

1.（單調含參）（2014?新課標全國卷H）若函數(shù)/（x）=fcc-lnx在區(qū)間（1,+oo）單

調遞增，則上的取值范圍是（）

A.（—oo,—2]B.（—oo,i1]C.[29+oo）D.[1,+GO）

2.（極值、單調含參）已知函數(shù)/（幻=%-1+2（.€氏6為自然對數(shù)的底數(shù)），

ex

1-ci

g（x）=mx-ax-----1

x

（1）若曲線y=?x）在點（1,八1））處的切線平行于x軸，求。的值；

⑵求函數(shù)八x）的極值.

⑶求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間

1—Y1

3.（最值含參）（2015?洛陽統(tǒng)考）已知函數(shù)/（x）=--+klnx,k<-,求函數(shù)段）

xe

在[Le]上的最大值和最小值.

e

二.二次求導

1.已知/（x）=x2—xlnx+2,求/（x）的單調區(qū)間

2.（2015?武漢武昌區(qū)聯(lián)考）已知函數(shù)/（%）=—（k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）,

ex

曲線

尸危）在點（1,八1））處的切線與X軸平行.

（1）求k的值；

（2）求人x）的單調區(qū)間.

3.（2015?皖南八校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=x\nx+mx（xeR）的圖象在點（1,八1））處的

切線的斜率為2.

⑴求實數(shù)機的值；

(2)設g(x)=d±三，討論g(x)的單調性；

x-1

4.已知函數(shù)兀0=8,xGR.

⑴求人x)的反函數(shù)的圖象上點(1,0)處的切線方程；

(2)證明：曲線y=?x)與曲線y=；x2+%+l有唯一公共點.

三.分離變量

1.(2015?沈陽質檢)已知函數(shù)/(%)=111%送(；0=:以+匕.

⑴若於)與g(x)在x=l處相切，求g(x)的表達式；

⑵若中(乃=竺二1-/(幻在［1,+00)上是減函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍.

X+1

2.已知/(x)=xlnx,g(x)=-%2+ax-3,對一切x〉0,2/(x)2g(x)恒成立，求實數(shù)

a的取值范圍；

3.(2014?陜西高考)設函數(shù)/(x)=lnx+-,meR

x

(1)當〃z=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求八x)的極小值；

X

(2)討論函數(shù)g(x)=/Xx)—可零點的個數(shù)；

4.(2015?洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)"％)=e%+〃%2-62%.

⑴若曲線y=/(x)在點(2,火2))處的切線平行于x軸，求函數(shù)*x)的單調區(qū)間;

⑵若X>0時，總有/(X)>-02%,求實數(shù)。的取值范圍.

四.恒成立

1.在R上定義運算⑤：x(8)y=x(l-y).若不等式(九-。)8)(工+。)<1對任意實數(shù)

x成立，貝U()

A.-1<a<1B.0<a<2

「13「31

C.———D.——<。<—

2222

2.對任意1］，函數(shù)/(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零，則x的取值范圍

為

3.已知不等式_L+」_+L+±>liogQ-1)+2對于一切大于1的自然數(shù)〃都成

n+ln+2In12a3

立，試求實數(shù)。的取值范圍.

4.設函數(shù)/(x)=:X2+ex—如

⑴求危)的單調區(qū)間；

(2)若當2,2］時，不等式八x)>加恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

五.雙函數(shù)的“任意+存在”，“任意+任意”，“存在+存在”

1.(2015?新鄉(xiāng)調研)已知函數(shù)f(x)=x-(?+l)lnx--(tzeR),g(x)=-x^+ex-xex

x2

(1)當xG[l,e]時，求於)的最小值;

⑵當a<l時，若存在xf[e,e2],使得對任意的々[一2,0],危])%(馬)恒成立，

求a的取值范圍.

2

2.已知函數(shù)/(x)=2x-—-51nx,g(x)-X2-mx+4,若存在xe(0,l),對任意

X總有/(x)2g(x)成立，求實數(shù)機的取值范圍

212

3.設/(%)=巳+xlnx,g(x)=%3一%2-3.

x

(1)如果存在￡[0,2],使得g(x)-g(x成立，求滿足上述條件的最

1212

大整數(shù)M;

(2)如果對任意的都有/(s)?gQ)成立，求實數(shù)。的取值范圍

六、超越函數(shù)

1(二次求導，超越函數(shù)).(2015?山西四校聯(lián)考)已知/(x)=Inx-x+a+1

(1)若存在x?(0,十◎使得大x)川成立，求a的取值范圍；

⑵求證：當x>l時，在(1)的條件下，；x2+ax—a〉xlnx+；成立.

x2

2.已知函數(shù)八x)=ln2(l+x)------.

1+x

⑴求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)若不等式(1+1)”+0對任意的“cN*都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

n

求a的最大值.

3.(2015年全國3卷理科21題)設函數(shù)/(%)=9+%2—加了.

⑴證明：/(x)在(-*0)單調遞減，在(0,+s)單調遞增；

(2)若對于任意\人€[-1,1],都有|/(')一/(九2)|We-L求機的取值范圍.

4.(2014年全國n卷理科21題)已知函數(shù)/G)=e,-eT-2x.

⑴討論了G)的單調性；

(2)設g(x)=/(2x)-4"G),當x＞0時，g(x)＞0,求8的最大值；

⑶已知1.4142〈及＜1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)

5.(2013年全國卷II)已知函數(shù)/(x)=ex-ln(x+m)

⑴設x=0是/(x)的極值點，求機，并討論/(x)的單調性；

(2)當mW2時，證明/(x)〉0

參考答案：

一.含參討論

1.D

2..(1)a=e

(2)當寸，函數(shù)八x)無極值；

當a＞0時，/)在x=In。處取得極小值Ina,無極大值

(3)當時,函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+oo),單調遞減區(qū)間為(0,1)

當0＜。＜_1時，函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(1」-1),

2a

單調遞減區(qū)間為(0,1),d-l,+8)

a

當。=，時，函數(shù)g(x)的五單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間為(0,+00)

當1＜。＜1時，函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為

2a

單調遞減區(qū)間為(0」-1),(1,+s)

當。21時，函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+00)

3.當k=0時，f(x)=—,f(x)=e-l；

minemax

當左wO且左<1時，f(x)=-+k-l,f(x)=e-k-l

emin￡max

二.二次求導

1./(x)在(0,+co)上單調遞增，無單調遞減區(qū)間

2.(1)^=1(2)八x)的單調遞增區(qū)間是(0,1),單調遞減區(qū)間是(1,+?)

3.(l)m=l(2)g(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+電)上都是單調遞增的

4.(l)y=x—1(2)略

三.分離變量

L(l)g(x尸x—1(2)機的取值范圍是(一如2]

2.。的取值范圍是(一oo,4]

3.(1)加0的極小值為2

(2)當機〉|時，函數(shù)g(x)無零點；

2?

當機=4或mW0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；當0<相時，函數(shù)g(x)

有兩個零點

4.(iy(x)的單調增區(qū)間是(2,+?),單調減區(qū)間是(一8,2)

(2)a的取值范圍為(-空,+oo)

4

四.恒成立

1.C

2.(-oo,l)U(3,+co)

3.(1,1^)

4.(l)/(x)的單調減區(qū)間為(一oo,+oo),無單調遞增區(qū)間

(2)機的取值范圍是(一co,2—e2)

五.雙函數(shù)的“任意+存在”，“任意+任意”，“存在+存在”

1。).當時，?min=i-?；

當leave時，“x)min=Q—(a+l)lna—1；當a>e時,?x)min=e—(a+1)—(

(2)a的取值范圍為(空二上』)

e+1

2.實數(shù)機的取值范圍是加28-51n2

3.(1)M=