人教版九年級數(shù)學上冊專項復習：點、直線與圓的位置關系（原卷版）

專題12點、直線與圓的位置關系

【思維導圖】

◎考點題型1點和圓的位置關系

位置關系圖形定義性質及判定

點在圓外點在圓的外部d>rQ點P在O0的外部.

點在圓上點在圓周上d=r=點P在。。的圓周上.

點在圓內(V)點在圓的內部d<rq點P在O。的內部.

例.（2022?河北邯鄲?九年級期末）平面內有兩點P,O,。。的半徑為5,若尸0=6,則點P與。。的位

置關系是（）

A.圓內B.圓上C.圓外D.圓上或圓外

變式1.（2021?江蘇淮安?九年級期中）。的半徑為5cm,點A到圓心。的距離。4=3cm,則點A與，:。

的位置關系為（）

A.點人在<。上B.點A在內C.點A在I。外D.無法確定

變式2.（2022.全國?九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以原點。為圓心，4為半徑作圓，點尸的坐

標是（5,5）,則點尸與。。的位置關系是（）

A.點尸在。。上B.點尸在。。內

C.點P在。。外D.點P在。。上或在。。外

變式3.（2021?江蘇常州?九年級期中）數(shù)軸上有兩個點A和8,點B表示實數(shù)6,點A表示實數(shù)a,半

徑為4.若點A在內部，則a的取值范圍是（）

A.。<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10

◎考點題型2三角形的外接圓

1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做

三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.

2）三角形外心的性質：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無

數(shù)個，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

例.（2022?江蘇?九年級）如圖，在平面直角坐標系中，A（0,-3）,C（2,3）.則AABC的外心坐

標為（)

A.（0,0）B.（-L1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

變式1.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，。。是等邊AABC的外接圓，若AB=3,則。。的半徑是

C.出

變式2.（2022?全國?九年級）如圖，小東在同一平面上按照如下步驟進行尺規(guī)作圖:

（1）作線段A8,分別以42為圓心，以A2長為半徑作弧，兩弧交于點C；

（2）以C為圓心，以A8長為半徑作弧交AC的延長線于點。；

（3）連接8。，BC.則下列說法中不正確的是（）

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2￡>=1

C.DB=6ABD.點。是△A3。的外心

變式3.（2022.河北.寬城滿族自治縣教研室模擬預測）如圖，△ABC和中，點。在△ABC內，AB

=AC=BC=2,DB=DC,且NO=90。，則△ABC的內心和△的外心之間的距離為（）

D

C

A.4B.1C.且D.V3

23

◎考點題型3三點定圓的方法

1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點。為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓有無

數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點0作為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A、B

的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

7---、A

3）經(jīng)過三點時:

情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時,過三點的圓不存在;

情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點。是唯一存在的，這

樣的圓有唯一一個.

三點定圓的畫法:

1）連接線段AB,BC.

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為0,此時0A=0B=0C,于是點0為圓心，以0A

為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

例.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?九年級期末）小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有

可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

D.都不能

變式1.（2022?浙江.九年級專題練習）如圖所示，一圓弧過方格的格點試在方格中建立平面直角坐標

系，使點A的坐標為（0,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

BA

/

C

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

變式2.（2021?江蘇?九年級專題練習）在同一平面內，過已知A,B,C三個點可以作的圓的個數(shù)為

()

A.0B.1C.2D.0或1

變式3（2021?全國?九年級專題練習）如圖,點A、B、C在同一直線上，點D在直線AB之外，過這四個

點中的任意三個點，能畫圓的個數(shù)為（）

D

ABC

A.1個B.2個C.3個D.4個

◎考點題型4直線與圓的位置關系

設0。的半徑為r,圓心。到直線Z的距離為d,則直線和圓的位置關系如下表:

位置

圖形定義性質及判定

關系

相離直線與圓沒有公共點—＞廠0直線2與0。相離

咕1

直線與圓有唯一公共點，直線

◎

相切叫做圓的切線，公共點叫做切d=ro直線Z與。。相切

點

直線與圓有兩個公共點，直線

相交&＜「0直線1與0。相交

叫做圓的割線

例.（2022?江蘇?九年級專題練習）P、。是直線/上的兩個不同的點，且OP=5,。。的半徑為5,下列敘

述正確的是（）

A.點尸在。。外

B.點0在。。外

C.直線/與。。一定相切

D.若。。=5,則直線/與。。相交

變式1（2021?上海金山?九年級期末）如圖，已知RfAABC中，ZC=90,AC=3,BC=4,如果以點C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么。C的半徑「的取值范圍是（）

B.—<r<33<r<4

5

變式2.（2022?廣西欽州?九年級期末）若直線。與半徑為4的。。相交，則圓心。到直線。的距離可能為

C.4.5

變式3.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，在半徑為5c機的。。中，直線/交。。于A、B兩點，且弦

AB=8cm,要使直線/與。。相切，則需要將直線/向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

◎考點題型5切線的判定定理

判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

例.（2019?山東?九年級單元測試）下列四個命題中正確的是（

①與圓有公共點的直線是該圓的切線；

②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；

③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線;

④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.

A.①②B.②③C.③④D.①④

變式1.（2019?全國?九年級課時練習）如果L是。O的切線，要判定AB_LL,還需要添加的條件是（)

A.AB經(jīng)過圓心OB.AB是直徑

C.AB是直徑,B是切點D.AB是直線,B是切點

變式2.（2021?全國?九年級課時練習）如圖,—ABC內接于。，過A點作直線OE,當ZBAE=

A.DBB.ZBACC.ZCD.ADAC

變式3.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，尸是，。的直徑8的延長線上一點，NP=30。，則當

ZACP=（）時，直線是。的切線.

C

A.20°B.30°C.15°D.25°

◎考點題型6切線的性質定理

性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

例.（2022?河北保定?九年級期末）如圖，PA.是匚。的切線，A3是切點，若/尸=70。，則=

C.55°D.都不對

變式1.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，AB是。。的直徑，點尸是。。外一點，P。交。。于點C,

連接8C,RL若/尸=36。，且B4與。O相切，則此時等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

變式2.（2021.福建南平?九年級階段練習）如圖，點A為。上一點，點尸為AO延長線上一點，依切

。于點8,連接A3.若NAPF=40。，則ZA的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

變式3.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，AB是。。的直徑，8C是。。的切線.若44c=37。，則

NACB的大小為（）

A.37°B.47°C.53°D.63°

◎考點題型7切線長定理

切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

例.（2022?河南安陽?九年級期末）如圖，尸為。。外的一點，PA,尸8分別切。。于點A,B,C。切。。于

點E,且分別交融，PB于點C,D,若出=4,貝UPCD的周長為（)

C.8D.10

變式1.（2022?浙江?金華市第九中學九年級階段練習）如圖，必和尸B是。。的兩條切線，A,B為切點,

點。在A5上，點、E,廠分別在線段陰和尸8上，且AD=3RBD=AE.若NP=a,則N或）/的度數(shù)為

)

3

A.90°-aB.—aC.2aD.90°-

2

變式2.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，已知24、PB是O的兩條切線，A、B為切點,連接。尸交

于C,交。于。，連接。4、OB,則圖中等腰三角形、直角三角形的個數(shù)分別為（

A.1,2B.2,2

C.2,6D.1,6

變式3.（2022.山東德州?九年級期末）如圖，AB.AC為。。的切線，B和C是切點，延長到點，使

BD=OB,連接A。，若NZMC=78。，則NAOO等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

◎考點題型8三角形內切圓

概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做

圓的外切三角形.

內心和外心的區(qū)別：

外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。

作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。

性質：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。

■

內切圓圓心：三角形三個內角平分線的交點。

作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內接圓圓心。

性質：內接圓圓心到三角形三邊距離相離。

AI

心

BDc

直角三角形三邊和內切圓半徑之間的關系：

r?兩直角邊長和-斜邊長）

例.（2021?全國?九年級課時練習）若咫—ABC的外接圓半徑為R,內切圓半徑為小則其內切圓的面積與

RtABC的面積比為（）

c兀丫

B.2;C.D.--------

47?+r

變式1.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，。是正方形ABC。的對角線8。上一點，。。與邊AB,8C都

相切，點、E,B分別在AZ）,OC上，現(xiàn)將尸沿著所對折，折痕所與。。相切，此時點。恰好落在圓

心。處.若DE=2,則正方形ABC。的邊長是（）

A.3B.4

C.2+72D.2A/2

變式2.（2022?全國.九年級專題練習）如圖，一ABC中，ZA=8O。，/是內心，則Nfi/C等于（

A.120°B.130°C.150°D.160°

變式3.（2019?湖北武漢?三模）在RSABC中，C。為斜邊上的高，AC=3,BC=4,分別用八〃、n、

表示△ABC,AACD,△BCD內切圓的半徑，貝1|（）

12八7

AA.r+r/+r2=—B.r+r/+r2=y

C.r-n-r2=--D.r-n-r2=--

◎考點題型9圓內接四邊形

圓內接四邊形概念：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形。這個圓

叫做這個多邊形的外接圓。

性質：圓內接四邊形的對角互補，一個外角等于其內對角.

例.（2022?廣西梧州.九年級期末）若四邊形A8C。是。。的內接四邊形，ZA：ZC=1：2,則/C=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

變式1.（2022?安徽合肥?九年級期末）如圖，四邊形ABC。內接于。。，若乙4。8=40。，BC//OA,貝|

ZADC的度數(shù)為（）

B

C

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

變式2.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD內接于0O,AB為直徑，ZC=120°.若

AD=2,則AB的長為（）

C.2GD.4

變式3.（2021?全國?九年級專題練習）若一個正方形的周長為24,則該正方形的邊心距為（）

A.272B.3C.3亞D.273

◎考點題型10圓和圓的位置關系

設。的半徑分別為a、r（其中R>r），兩圓圓心距為d,則兩圓位置關系如下表:

位置關系圖形定義性質及判定

兩個圓沒有公共點，并且每個

+兩圓外

外離圓上的點都在另一個圓的外

離

部.

兩個圓有唯一公共點，并且除

?=曜+^=兩圓外

外切,I了這個公共點之外，每個圓上

￡，3切

的點都在另一個圓的外部.

R-r<d<R+ro

相交兩個圓有兩個公共點.

J兩圓相交

兩個圓有唯一公共點，并且除

*=*=兩圓內

內切了這個公共點之外，一個圓上

切