山東省臨沂蘭陵縣聯(lián)考2024年中考五模數(shù)學試題（含解析）

山東省臨沂蘭陵縣聯(lián)考2024年中考五模數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.神舟十號飛船是我國“神州”系列飛船之一，每小時飛行約28000公里，將28000用科學記數(shù)法表示應為（）

A.2.8x103B.28x103c.2.8xl04D.0.28xl05

2.如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0,4）,將△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。

后得到AA'BO，，若函數(shù)y=8（x>0）的圖象經(jīng)過點則k的值為（）

A.273C.46

3.下列運算正確的是（

A.a64-a3=a23a2?2a=6a3C.(3a)2=3a2D.2x2-x2=l

4.學校為創(chuàng)建“書香校園”購買了一批圖書.已知購買科普類圖書花費10000元，購買文學類圖書花費9000元，其中

科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格貴5元，且購買科普書的數(shù)量比購買文學書的數(shù)量少100

本.求科普類圖書平均每本的價格是多少元？若設科普類圖書平均每本的價格是x元，則可列方程為（）

5.如圖，已知△ABC,AB=AC,將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC,則能直接

判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）

A.四條邊相等的四邊形是菱形B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

6.如圖，二次函數(shù)y=ax1+bx+c(a#0)的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,對稱軸為直線x=L

且OA=OC,則下列結(jié)論：①abc>0；②9a+3b+c>0；③c>-1；④關于x的方程axi+bx+c=O(a#0)有一個根為--；

a

⑤拋物線上有兩點P(xi,yi)和Q(xi,yi),若xiVIVxi,且xi+xi>4,則yi>yi,其中正確的結(jié)論有()

7.如圖是一個由正方體和一個正四棱錐組成的立體圖形，它的主視圖是()

C.區(qū)D.□

8.已知二次函數(shù)y=ax2+6x+c圖象上部分點的坐標對應值列表如下:

X???-3-2-1012???

y???2-1-2-127???

則該函數(shù)圖象的對稱軸是()

A.x=-3B.x=-2C.x=-lD.x=0

9.如圖，在4x4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任意選取一個白色的小正方形并涂黑，使

黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率是()

3

D.

13

10.“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動.如圖所示是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,圓柱

的高BC=6cm,圓錐的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積是（）

口

A.68ncm2B.74ncm2C.84ncm2D.IOOTTcm2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.A、B兩地相距20km,甲乙兩人沿同一條路線從A地到B地.甲先出發(fā)，勻速行駛，甲出發(fā)1小時后乙再出發(fā),

乙以2km/h的速度度勻速行駛1小時后提高速度并繼續(xù)勻速行駛，結(jié)果比甲提前到達.甲、乙兩人離開A地的距離

y（km）與時間t（h）的關系如圖所示，則甲出發(fā)小時后和乙相遇.

12.三人中有兩人性別相同的概率是.

13.若m+—=3,貝!Jm2+」y=.

mm~

14.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點P在AB上.若將△DAP沿DP折疊，使點A落在矩形對角線上的J處,

則AP的長為.

15.用配方法解方程3/-6x+l=0,則方程可變形為（x-2=_.

16.有4根細木棒，長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm,從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，拋物線尸-；爐-/4與x軸交于A,5兩點（A在8的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求點4,點3的坐標；

（2）P為第二象限拋物線上的一個動點，求AACP面積的最大值.

18.（8分）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如:

3+2亞=a+/2,善于思考的小明進行了以下探索:

設a+b夜=(m+n后(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有a+b&un?+2n?+2mn&.

.*.a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+b虛的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

當a、b、m>n均為正整數(shù)時，若a+bA/^ulm+n0),用含m、n的式子分別表示a、b,得2=,b

_____?

(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n,填空：_+=(+百>；

(3)若a+4月=(m+〃石)2,且a、b、m、n均為正整數(shù)，求a的值.

19.(8分)某商場柜臺銷售每臺進價分別為160元、120元的4、6兩種型號的電器，下表是近兩周的銷售情況:

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

A種型號3種型號

第一周3臺4臺1200元

第二周5臺6臺1900元

(進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入一進貨成本)

(1)求4、3兩種型號的電器的銷售單價；

(2)若商場準備用不多于7500元的金額再采購這兩種型號的電器共50臺，求A種型號的電器最多能采購多少臺？

(3)在(2)中商場用不多于7500元采購這兩種型號的電器共50臺的條件下，商場銷售完這50臺電器能否實現(xiàn)利潤

超過1850元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.

20.(8分)某海域有A、B兩個港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出

發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75。方向的C處，求：

(1)ZC=°；

(2)此時刻船與B港口之間的距離CB的長(結(jié)果保留根號).

21.(8分)如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60。，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為

45°,已知OA=100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i=l：2,且O、A、B在同一條直線上.求電視塔OC的

高度以及此人所在位置點P的鉛直高度.（測傾器高度忽略不計，結(jié)果保留根號形式）

22.（10分）如圖，在4x4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.填空:

ZABC=。，BC=；判斷△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.

23.（12分）某商店銷售兩種品牌的計算器，購買2個A品牌和3個B品牌的計算器共需280元；購買3個A品牌和

1個B品牌的計算器共需210元.

（I）求這兩種品牌計算器的單價；

（II）開學前，該商店對這兩種計算器開展了促銷活動，具體辦法如下：A品牌計算器按原價的九折銷售，B品牌計

算器10個以上超出部分按原價的七折銷售.設購買x個A品牌的計算器需要yi元，購買x個B品牌的計算器需要yz

元，分別求出yi,y2關于x的函數(shù)關系式.

（III）某校準備集體購買同一品牌的計算器，若購買計算器的數(shù)量超過15個，購買哪種品牌的計算器更合算？請說明

理由.

24.如圖，點O是4ABC的邊AB上一點，0O與邊AC相切于點E,與邊BC,AB分別相交于點D,F,且DE=EF.求

3

證：ZC=90°；當BC=3,sinA=1時，求AF的長.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解析】

試題分析：28000=1.1x1.故選C.

考點：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

2、C

【解析】

根據(jù)題意可以求得點O,的坐標，從而可以求得k的值.

【詳解】

???點B的坐標為(0,4),

/.OB=4,

作。CLOB于點C,

VAABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得到△ABO',

.?.O'B=OB=4,

.*.O'C=4xsin60o=2G,BC=4xcos60°=2,

/.OC=2,

.?.點。的坐標為：(273.2),

?..函數(shù)y=A(x>0)的圖象經(jīng)過點OT

X

k,「

；?2=^-^,得k=4y/3，

故選C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、坐標與圖形的變化，解題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想和反比例函數(shù)的

性質(zhì)解答.

3、B

【解析】

A、根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則計算;

B、根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則計算；

C、根據(jù)積的乘方法則進行計算；

D、根據(jù)合并同類項法則進行計算.

【詳解】

解：A、a64-a3=a3,故原題錯誤；

B、3a2?2a=6a3,故原題正確；

C、(3a)2=9a2,故原題錯誤；

D、2x2-x2=x2,故原題錯誤;

故選B.

【點睛】

考查同底數(shù)塞的除法，合并同類項，同底數(shù)嘉的乘法，積的乘方，熟記它們的運算法則是解題的關鍵.

4、B

【解析】

【分析】直接利用購買科普書的數(shù)量比購買文學書的數(shù)量少100本得出等式進而得出答案.

【詳解】科普類圖書平均每本的價格是x元，則可列方程為：

故選B.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，弄清題意，找準等量關系列出方程是解題的關鍵.

5、A

【解析】

根據(jù)翻折得出AC=CD,推出AB=5O=CZ>=AC,根據(jù)菱形的判定推出即可.

【詳解】

,/將△ABC延底邊BC翻折得到△DBC,

：.AB^BD,AC=CD,

'：AB=AC,

：.AB^BD^CD^AC,

四邊形ABOC是菱形；

故選A.

【點睛】

本題考查了菱形的判定方法：四邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的

平行四邊形是菱形.

6、D

【解析】

根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)的關系即可求出答案.

【詳解】

b

解：由拋物線的開口可知：a<0,由拋物線與y軸的交點可知：c<0,由拋物線的對稱軸可知：-丁>0,.,.方>0,

2a

???曲c>0,故①正確；

令x=3,j>0,9a+3b+c>0,故②正確；

*：OA=OC<19：.C>-1,故③正確；

b

?對稱軸為直線x=l,----=1,.,.b=-4a.

2a

OA=OC=-c,.,.當x=-c時，y=0,'.ac1-bc+c=0,'.ac-b+l-Q,ac+4a+l=0,'.c=————,二設關于x的方

.a

程axi+Z>x+c=0(a^O)有一個根為x,/.x-c=4,.'.x=c+4=——,故④正確；

a

."、。兩點分布在對稱軸的兩側(cè)，

V1-xi-(xi-1)=1-xi-xi+l=4-(xi+xi)<0,

即?到對稱軸的距離小于XI到對稱軸的距離，故⑤正確.

故選D.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)尸系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸

的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.本題屬于中等題型.

7、A

【解析】

對一個物體，在正面進行正投影得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖.

【詳解】

解：由主視圖的定義可知A選項中的圖形為該立體圖形的主視圖，故選擇A.

【點睛】

本題考查了三視圖的概念.

8、C

【解析】

由當x=-2和x=0時，y的值相等，利用二次函數(shù)圖象的對稱性即可求出對稱軸.

【詳解】

解：.."二口和x=0時，y的值相等,

...二次函數(shù)的對稱軸為X=二"=-1,

2

故答案為：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象的對稱性找出對稱軸是解題的關鍵.

9、B

【解析】

10、C

【解析】

試題分析：,底面圓的直徑為8cm,高為3cm,.?.母線長為5cm,.,.其表面積=/4*5+42兀+8兀*6=84m：1112,故選C.

考點：圓錐的計算；幾何體的表面積.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

16

11、—

5

【解析】

由圖象得出解析式后聯(lián)立方程組解答即可.

【詳解】

<2(1)(442).

由圖象可得：y甲=4t(0WW5)；丫乙=

%-16(24〈4)'

「y=49z16,解得「=丁16

由方程組

故答案為技.

【點睛】

此題考查一次函數(shù)的應用，關鍵是由圖象得出解析式解答.

12、1

【解析】分析：

由題意和生活實際可知：“三個人中，至少有兩個人的性別是相同的”即可得到所求概率為L

詳解：

?..三人的性別存在以下可能：(1)三人都是“男性”；(2)三人都是“女性”；(3)三人的性別是“2男1女”；(4)三人

的性別是“2女1男”,

，三人中至少有兩個人的性別是相同的，

?"?P〈三人中有二人性別相同)=1.

點睛：列出本題中所有的等可能結(jié)果是解題的關鍵.

13、7

【解析】

分析：把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，即可求出答案.

詳解：把m+^=3兩邊平方得：(m+工)ZumZ+NY+Zn%

mmm

貝!1m2+^y=7,

m

故答案為：7

點睛：此題考查了分式的混合運算，以及完全平方公式，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵.

3f9

14、一或一

24

【解析】

①點A落在矩形對角線BD上，如圖1,

VAB=4,BC=3,

/.BD=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A，D=3,AP=AT,ZA=ZPA,D=90°,

；.BA，=2,設AP=x,貝!]BP=4-x,VBP2=BA,2+PA,2,

A(4-x)2=x2+22,

33

解得：x=—,/.AP=—；

22

②點A落在矩形對角線AC上，如圖2,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知DP,AC,

/.△DAP^AABC,

.ADAB

??一,

APBC

3

【解析】

原方程為3X2-6X+1=0,二次項系數(shù)化為1,Mx2-2x=--,

3

12

BPx2—2x+l=—+1,所以(x-1>=—.

33

2

故答案為：1,

3

3

16、一

4

【解析】

根據(jù)題意，使用列舉法可得從有4根細木棒中任取3根的總共情況數(shù)目以及能搭成一個三角形的情況數(shù)目，根據(jù)概率

的計算方法，計算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，從有4根細木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5,共4種取法，而能搭成一個三角

3

形的有2、3、4；3、4、5,2、4、5,三種，得「=—.

4

3

故其概率為：*

【點睛】

本題考查概率的計算方法，使用列舉法解題時，注意按一定順序，做到不重不漏.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)

與總情況數(shù)之比.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)4(-4,0),B(2,0)；(2)A4CP最大面積是4.

【解析】

（1）令尸0,得到關于X的一元二次方程-，“2一/4=0,解此方程即可求得結(jié)果;

2

(2)先求出直線AC解析式，再作尸￡>，40交AC于O,設P（6-一產(chǎn)-什4）,可表示出O點坐標，于是線段PD

2

可用含t的代數(shù)式表示，所以SAACP=-PDxOA=-PDx4=2FM可得SAACP關于￡的函數(shù)關系式，繼而可求出△ACP

22

面積的最大值.

【詳解】

⑴解：設y=0,則0=-!》2_丫+4

2

?*.xi=-4,xi-2

：.A(-4,0),B(2,0)

⑵作PDLAO交AC于Z>

TAA\x

設AC解析式y(tǒng)=kx+b

[4=b

0=—4k+b

解得：k'k=/1

b=4

.*.AC解析式為y=x+4.

設P(f,--Z2-f+4)則O(t,f+4)

2

/.PD=(-—<2-Z+4)-(f+4)=--t1-2t=--(f+2)2+2

222

2

/.SAACP=-PDx4=-(f+2)+4

2

/.當f=-2時，△ACP最大面積4.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法進行求解.

18、(1)m2+3n2,2mn；(2)2,2,1,1(答案不唯一)；(3)2=7或2=1.

【解析】

(1)Va+by/3=(m+n#，

?■a+byj3=nr+3rr+2m〃布,

?*.a=m2+3n2,b=2mn.

故答案為m2+3n2,2mn.

(2)設m=l,n—2,/.a=m2+3n2=l,b=2mn=2.

故答案為1,2,1,2(答案不唯一).

(3)由題意，得a=m2+3n2,b=2mn.

V2=2mn,且m、n為正整數(shù)，

n=l或m=l,n-2,

/.a=22+3xl2=7,或a=F+3x22=l.

19、(1)A型電器銷售單價為200元，B型電器銷售單價150元；(2)最多能采購37臺；(3)方案一：采購A型36

臺B型14臺；方案二：采購A型37臺B型13臺.

【解析】

(1)設A、B兩種型號電器的銷售單價分別為x元、y元，根據(jù)3臺A型號4臺B型號的電器收入1200元，5臺A

型號6臺B型號的電器收入1900元，列方程組求解；

(2)設采購A種型號電器a臺，則采購B種型號電器(50-a)臺，根據(jù)金額不多余7500元，列不等式求解；

(3)根據(jù)A型號的電器的進價和售價，B型號的電器的進價和售價，再根據(jù)一件的利潤乘以總的件數(shù)等于總利潤列

出不等式，再進行求解即可得出答案.

【詳解】

解：(1)設A型電器銷售單價為x元，B型電器銷售單價y元，

3x+4y=1200

則，

[5x+6y=1900

緘=200

解得：…，

[y=150

答：A型電器銷售單價為200元，B型電器銷售單價150元；

(2)設A型電器采購a臺，

則160a+120(50-a)<7500,

解得：aw上75，

2

則最多能采購37臺；

(3)設A型電器采購a臺，

依題意,得：(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850,

解得：a>35,

75

貝n!II35<a<—,

2

???a是正整數(shù)，

；.a=36或37,

方案一：采購A型36臺B型14臺；

方案二：采購A型37臺B型13臺.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關

系和不等關系，列方程組和不等式求解.

20、(1)60；(2)30A/2+10A/6

【解析】

(1)由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出NPR4=NE4B=30。，ZFBC=75°,那么NABC=45。，又根據(jù)方向角的定

義得出NBAC=NBAE+NC4E=75。，利用三角形內(nèi)角和定理求出NC=60。；

(2)作AD±BC交BC于點D,解RtAABD,得出50=40=30叵，解■Rt4ACD,得出CD=10遍,根據(jù)BC=BD+CD

即可求解.

解：(1)如圖所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

:./尸54=30。，

又NFBC=75°,

：.ZABC=45°,

,/ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

.,.NC=60°.

故答案為60；

(2)如圖，作AO_L5C于O,

在RtAA5O中，

VZABZ>=45°,AB=60,

：.AD=BD=3042.

在RtAAC。中，

,.,ZC=60°,AD=30y/2,

AD

tanC=-----

CD

:.CD=^^=1Q娓,

V3

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答:該船與B港口之間的距離C3的長為（30&+10&）海里.

21、電視塔oc高為IOOG米，點P的鉛直高度為10°（追一1）（米）.

3

【解析】

過點P作PFLOC,垂足為F,在RtAOAC中利用三角函數(shù)求出OC=100g,根據(jù)山坡坡度=1：2表示出PB=x,AB

=2x,在RtAPCF中利用三角函數(shù)即可求解.

【詳解】

過點P作PFLOC,垂足為F.

在RSOAC中，由NOAC=60。，OA=100,得OC=OA?tanNOAC=10oV^（米），

過點P作PBJ_OA,垂足為B.

由i=l:2,設PB=x,則AB=2x.

.\PF=OB=100+2x,CF=10073-x.

在RtAPCF中，由NCPF=45。,

，PF=CF,BP100+2x=10073-x,

.x=10073-100,即PB=100若一100米

33

【點睛】

本題考查了特殊的直角三角形,三角函數(shù)的實際應用，中等難度,作出輔助線構(gòu)造直角三角形并熟練應用三角函數(shù)是解題

關鍵.

22、(1)135;2A/2.(2)AABC^/XDEF.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出NABC的度數(shù)，根據(jù)，△ABC和ADEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂

點上，利用勾股定理即可求出線段BC的長；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應邊成比例即可證明^ABC與^DEF相似.

【詳解】

(l)ZABC=90+45=135,

BC=J*S=花=20；

故答案為135;2JI

(2)AABC^ADEF.

證明：?.?在4x4的正方形方格中，

ZABC=135，/DEF=90+45=135,

：.ZABC=ZDEF.

,:AB=2,BC=20FE=2,DE="

.AB2r-BC272[-

??-----==7z,---=----=vz.

DE41FE2

:.AABCSADEF.

【點睛】

考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

60%(0<x<10)

23、(1)A種品牌計算器50元/個，B種品牌計算器60元/個；(2)yi=45x,y=<；(3)詳見解

242%+180(%10)

析.

【解析】

⑴根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可;

⑵按照“購買所需費用=折扣x單價x數(shù)量”列式即可，注