廣東省深圳市羅湖區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題理含解析

PAGE廣東省深圳市羅湖區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題理（含解析）本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)和姓名填寫(xiě)在答題卡上.2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.3.非選擇題的答案必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將整理為的形式,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模,考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式可得,,再由交集的定義求解即可【詳解】由題,則,,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查解一元二次不等式,考查解指數(shù)不等式3.已知平面對(duì)量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)平方處理,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的模,屬于基礎(chǔ)題4.為了探討不同性別在處理多任務(wù)時(shí)的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時(shí)完成多個(gè)任務(wù)，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布.以下結(jié)論，對(duì)志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布圖表理解正確的是（）①總體看女性處理多任務(wù)平均用時(shí)更短；②全部女性處理多任務(wù)的實(shí)力都要優(yōu)于男性；③男性的時(shí)間分布更接近正態(tài)分布；④女性處理多任務(wù)的用時(shí)為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時(shí)為負(fù)數(shù).A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】【分析】圖像為對(duì)志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布圖表,利用圖像依次分析即可【詳解】由圖,女性處理多任務(wù)用時(shí)主要集中在2到3分鐘,男性處理多任務(wù)用時(shí)主要集中在3到4分鐘,故總體來(lái)看女性處理多任務(wù)用時(shí)更短,故①正確；女性中也有處理多任務(wù)用時(shí)在5分鐘的,并不是全部女性處理多任務(wù)實(shí)力都要優(yōu)于男性,故②錯(cuò)誤；從圖像上來(lái)看男性的時(shí)間分布更接近正態(tài)分布,故③正確；男性、女性處理多任務(wù)的用時(shí)均為正數(shù),故④錯(cuò)誤；綜上,①③正確,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)反饋的信息,考查閱讀理解實(shí)力5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.15 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列可得,可解得,,進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,解得,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的項(xiàng),考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用6.中國(guó)古代的五音，一般指五聲音階，依次為：宮、商、角、徵、羽；假如把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)5個(gè)音階的音序.且要求宮，羽兩音階在角音階的同側(cè)，可排成多少種這樣的不同音序（）A.120 B.90 C.80 D.60【答案】C【解析】【分析】探討“角”的位置,分別是“角”在兩端,“角”在其次或第四個(gè)位置,“角”在第三個(gè)位置的狀況,進(jìn)而求解即可【詳解】若“角”在兩端,則“宮,羽”肯定在“角”的同側(cè),此時(shí)有種；若“角”在其次或第四個(gè)位置,則有種；若“角”在第三個(gè)位置,則有種,故共有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查元素有限制的排列問(wèn)題,考查分類探討思想7.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，若存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將有3個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有3個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題,畫(huà)出的圖像,進(jìn)而由圖像得到的范圍【詳解】由題,因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若存在3個(gè)零點(diǎn),則與有三個(gè)交點(diǎn),的圖像如圖所示,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,所以,由圖,當(dāng)時(shí)與有三個(gè)交點(diǎn),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,考查由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,考查數(shù)形結(jié)合思想8.已知，，（其中是自然對(duì)數(shù)的底），則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由,則,,再由,即可得到答案【詳解】由題,,,,因?yàn)?所以,,又,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查對(duì)數(shù)的比較大小,屬于基礎(chǔ)題9.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值為（）A.90 B.384 C.474 D.488【答案】C【解析】【分析】按程序框圖要求一步一步運(yùn)算,直至不滿意的狀況,此時(shí)輸出【詳解】,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,此時(shí)輸出,故,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查運(yùn)算實(shí)力10.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)，下述選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.的取值范圍是 B.在單調(diào)遞增C.在單調(diào)遞減 D.在至多有2個(gè)極大值點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】由在有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)可得,即,即可求得范圍,且在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,進(jìn)而推斷選項(xiàng)即可【詳解】由題,因?yàn)樵谟星覂H有2個(gè)微小值點(diǎn),所以,即,因?yàn)?所以,故A正確；因?yàn)?所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,只有當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增才成立,故B錯(cuò)誤；因?yàn)樵趩握{(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,故C正確；因?yàn)?兩端點(diǎn)取不到,且,所以在至多有2個(gè)極大值點(diǎn),故D正確；故選:B【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的單調(diào)性,考查余弦型函數(shù)的周期性的應(yīng)用11.已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn),則,可得,又有,則,則可得一條漸近線方程為,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn),則,因?yàn)?所以,,設(shè)原點(diǎn)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以在中,,所以,所以一條漸近線方程為,即,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,考查數(shù)形結(jié)合思想12.已知三棱錐的底面是正三角形，，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影是的垂心，當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí)，三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,則,則當(dāng)相互垂直時(shí)體積最大,再求得外接球的體積即可【詳解】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),則,因?yàn)辄c(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影是的垂心,所以,,設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在底面的射影,則平面,所以肯定在上,因?yàn)?,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,則當(dāng)相互垂直時(shí)體積最大,設(shè)球的半徑為,則,所以,所以球的體積為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的外接球體積,考查空間想象實(shí)力二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo),將代入得到,即為曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率,再求得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,,則在點(diǎn)處的切線方程為,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查曲線在一點(diǎn)處的切線方程,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用14.某大型工程遇到一個(gè)技術(shù)難題，工程總部將這個(gè)問(wèn)題分別讓甲探討所和乙探討所進(jìn)行獨(dú)立探討，已知甲探討所獨(dú)立探討并解決這個(gè)問(wèn)題的概率為0.6，乙探討所獨(dú)立探討并解決這個(gè)問(wèn)題的概率為0.7，這個(gè)技術(shù)難題最終能被解決的概率為_(kāi)_____.【答案】0.88【解析】【分析】先求得這個(gè)技術(shù)難題最終不能被解決的概率,再由對(duì)立事務(wù)求解即可【詳解】設(shè)事務(wù)為“這個(gè)技術(shù)難題最終能被解決”,所以,所以,故答案為:0.88【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事務(wù)的概率公式的應(yīng)用,考查利用對(duì)立事務(wù)求概率15.已知直線：經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將代入直線的方程中即可求得焦點(diǎn),進(jìn)而求得；由可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn),進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)橹本€為,所以當(dāng)時(shí),,所以焦點(diǎn),所以,即拋物線為,則準(zhǔn)線為,設(shè)點(diǎn),,因?yàn)?所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以,解得,因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,解得或,因?yàn)?所以點(diǎn)在第一象限,所以為,所以,故答案為:；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查斜率公式的應(yīng)用16.如圖，平面四邊形中的面積是面積的兩倍，數(shù)列滿意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】1818【解析】【分析】連接、,交于點(diǎn),作,垂足為,,垂足為,由的面積是面積的兩倍可得,則,可設(shè),則,,即,整理可得,則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,再利用累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求解即可【詳解】連接、,交于點(diǎn),作,垂足為,,垂足為,如圖所示,所以∽,則,因?yàn)榈拿娣e是面積的兩倍,所以,所以,明顯、、三點(diǎn)共線,設(shè),所以,則,,所以,則,當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,則,所以,…,,由累加法可得,所以,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,所以所以當(dāng)時(shí),,故答案為:1818【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量分解定理的應(yīng)用,考查累加法求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算實(shí)力三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題，共60分17.在中，角，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，已知，且.（1）求；（2）若的面積為2，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得,分別探討和的狀況,進(jìn)而求解即可；（2）由（1）可得,,依據(jù)三角形面積公式可得,再利用正弦定理可得,進(jìn)而求解即可【詳解】解：（1）,∴,由余弦定理得,因?yàn)?,所以或,①當(dāng)時(shí),則,,這與“”沖突,∴；②當(dāng)時(shí),,∴,∴（2）由（1）,,,的面積,所以,由正弦定理,則,,所以,所以,則【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查利用正弦定理解三角形18.如圖，在矩形中，，為邊的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使平面平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由,可得,利用平面平面,可得平面,則,由折疊知,進(jìn)而得證；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以的方向?yàn)檩S正方向,過(guò)點(diǎn)分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面的法向量和平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解即可【詳解】（1）證明:由題意,又,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,故,又,且,所以平面（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以的方向?yàn)檩S正方向,過(guò)點(diǎn)分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)為平面的法向量,則有則,即,可取,設(shè)為平面的法向量,則有則,即,可取,所以,則二面角余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算實(shí)力19.已知橢圓：，若，離心率為.（1）求的方程；（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題可得,進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)直線為,聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程,由韋達(dá)定理可得的關(guān)系,由以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則,進(jìn)而代入求解即可【詳解】解:（1）由題意,解得,,所以橢圓的方程（2）設(shè)直線的方程設(shè)為,設(shè),,聯(lián)立消去得,則有,,且,解得,又,,所以,,由為直徑的圓過(guò)點(diǎn),得,所以,得,所以,則,解得,,又,所以直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算實(shí)力20.已知函數(shù)，，，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn)；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí),,由可得,且,,,即可得時(shí),,即可得到恒成立,進(jìn)而證明；（2）,則在上恒成立,設(shè),,則,,可得,對(duì)求導(dǎo),由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而推斷的單調(diào)性,從而求解即可【詳解】（1）證明：若,則,,又,,故,所以,又,,,當(dāng)時(shí),,所以恒成立,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).（2）解:,,故在上恒成立,設(shè),,所以,,即,因?yàn)?由,得,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以；在區(qū)間上單調(diào)遞增,,又,所以,,,故在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)區(qū)間,由的單調(diào)性可知,在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增,,故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的分布問(wèn)題,考查利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)函數(shù)處理恒成立問(wèn)題,考查運(yùn)算實(shí)力21.某房產(chǎn)中介統(tǒng)計(jì)了深圳市某高檔小區(qū)從2024年12月至2024年11月當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬(wàn)元/平方米）的散點(diǎn)圖，如下圖所示，圖中月份代碼1至12分別對(duì)應(yīng)2024年12月至2024年11月的相應(yīng)月份.依據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，依據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回來(lái)方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)推斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；（2）某位購(gòu)房者擬于2024年5月份購(gòu)買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購(gòu)房為其家庭首套房）.若該小區(qū)全部住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請(qǐng)你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問(wèn)題：（i）估算該購(gòu)房者應(yīng)支付的購(gòu)房金額.（購(gòu)房金額＝房款＋稅費(fèi)；房屋均價(jià)精確到0.01萬(wàn)元/平方米）（ii）若該購(gòu)房者擬用不超過(guò)760萬(wàn)元的資金購(gòu)買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購(gòu)買的最大面積（精確到1平方米）附注：依據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易須要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi)，稅費(fèi)是依據(jù)房屋的計(jì)稅價(jià)格進(jìn)行征收.（計(jì)稅價(jià)格＝房款）征收方式見(jiàn)下表：購(gòu)買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關(guān)指數(shù).【答案】（1）模型的擬合效果更好；詳見(jiàn)解析（2）（i）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析（ii）104平方米【解析】【分析】（1）依據(jù)表格,將數(shù)據(jù)代入相關(guān)指數(shù)的公式中,相關(guān)指數(shù)越大,擬合效果越好,即可得到結(jié)果；（2）（i）由題可得2024年5月份的對(duì)應(yīng)月份代碼為18,代入模型中求得二手房均價(jià),進(jìn)而依據(jù)不同的房屋面積對(duì)房款和稅費(fèi)求解即可；（ii）設(shè)該購(gòu)房者可購(gòu)買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米,先由金額預(yù)估其面積的大致范圍,進(jìn)而求解即可【詳解】解：（1）設(shè)模型和的相關(guān)指數(shù)分別是和，則,,因?yàn)?所以，所以模型的擬合效果更好（2）2024年5月份的對(duì)應(yīng)月份代碼為18,由（1）知,模型的擬合效果更好,利用該模型預(yù)料可得,這個(gè)小區(qū)2024年5月份的在售二手房均價(jià)為萬(wàn)元/平方米,（i）設(shè)該購(gòu)房者應(yīng)支付購(gòu)房金額為萬(wàn)元,因?yàn)槎愘M(fèi)中買方只需繳納契稅,所以①當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,②當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,③當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,故,所以當(dāng)時(shí),購(gòu)房金額為萬(wàn)元；當(dāng)時(shí),購(gòu)房金額為萬(wàn)元；當(dāng)時(shí),購(gòu)房金額為萬(wàn)元（ii）設(shè)該購(gòu)房者可購(gòu)買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米,由（i）知,當(dāng)時(shí),應(yīng)支付的