藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章立體幾何第4節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)課時沖關(guān)

PAGEPAGE1第4節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．已知相互垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：C[因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.]2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m解析：A[選項(xiàng)A，∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正確；選項(xiàng)B，α⊥β，l?α，m?β，l與m的位置關(guān)系不確定；選項(xiàng)C，∵l∥β，l?α，∴α∥β或α與β相交；選項(xiàng)D，∵α∥β，l?α，m?β，此時，l與m的位置關(guān)系不確定．故選A.]3．(2024·貴陽監(jiān)測)如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：B[A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A能證明AP⊥BC；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C能證明AP⊥BC；由A知D能證明AP⊥BC；B中條件不能推斷出AP⊥BC，故選B.]4．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：C[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C.]5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：B[取正三角形ABC的中心為O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因?yàn)榈酌孢呴L為eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的體積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，即∠PAO＝eq\f(π,3).]6．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H解析：由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上．答案：AB7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿意________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D解析：由題圖知∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．(2024·成都一診)如圖，在四面體P－ABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4eq\r(2)，線段AC，AP的中點(diǎn)分別為O，Q.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求四面體P－OBQ的體積．解：(1)證明：∵PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC.在Rt△PAO中，∵PA＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得PO＝4.∵BA＝BC，O是AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC.在Rt△BAO中，∵BA＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得BO＝4.∵PO＝4，OB＝4，PB＝4eq\r(2)，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB.∵BO∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)，可知平面PAC⊥平面ABC.∵平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO?平面ABC，∴BO⊥平面PAC.∴VB－POQ＝eq\f(1,3)S△PQO·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S△PAO×4＝eq\f(1,3)×3×4＝4.∵VP－OBQ＝VB－POQ，∴四面體P－OBQ的體積為4.10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD⊥平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．解：(1)如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，故cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF