2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題變式題16-20題-(學(xué)生版+解析)

2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題16-20題原題161．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_(kāi)_______．變式題1基礎(chǔ)2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________.變化題2基礎(chǔ)3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是某個(gè)三角形的內(nèi)角，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____．變式題3鞏固4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍是___________.變式題4鞏固5．函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，如圖是它的部分圖象，若函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則_________.變式題5提升6．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．變式題6提升7．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則_________原題178．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828變式題1基礎(chǔ)9．某社區(qū)為了解居民參加體育鍛煉的情況，從該社區(qū)中隨機(jī)抽取了18名男性居民和12名女性居民，對(duì)他們參加體育鍛煉的情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.現(xiàn)按是否參加體育鍛煉將居民分成兩類:甲類(不參加體育鍛煉)、乙類(參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如下表:（1）根據(jù)上表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表:（2）通過(guò)計(jì)算判斷是否有95%的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否跟性別有關(guān)?附變化題2基礎(chǔ)10．在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問(wèn)：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？未感冒感冒合計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500合計(jì)4745261000變式題3鞏固11．為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局選擇了江蘇、河北、湖北、寧夏、重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)，逐級(jí)進(jìn)行普查．在普查過(guò)程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對(duì)象，最后入戶登記．由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致人戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)．某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶，普查情況如下表所示：順利不順利合計(jì)企事業(yè)單位4050個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶50150合計(jì)（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的人戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”；（2）根據(jù)該試點(diǎn)普查小區(qū)的情況，為保障第四次經(jīng)濟(jì)普查的順利進(jìn)行，請(qǐng)你從統(tǒng)計(jì)的角度提出一條建議．變式題4鞏固12．調(diào)查某醫(yī)院一段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)聯(lián)性，得到如下的列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e出生時(shí)間合計(jì)晚上白天女243155男82634合計(jì)325789依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián)？解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義．變式題5提升13．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表：班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390試問(wèn)能有多大把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828變式題6提升14．某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)興趣班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)對(duì)抗賽，該對(duì)抗賽試題滿分為150分，規(guī)定：成績(jī)不小于135分為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于135分為“非優(yōu)秀”，對(duì)這兩個(gè)班的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)后，得到如圖條形圖.（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，完成如下的2×2列聯(lián)表；甲班乙班總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)（2）計(jì)算隨機(jī)變量的值（精確到0.001），并由此判斷：能否有90%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”？參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中原題1815．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求；（2）已知__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，然后對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行解答.條件：①②③注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，以第一個(gè)解答計(jì)分.變化題2基礎(chǔ)17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且________，從下列二個(gè)條件：①；

②，，成等差數(shù)列；中選擇一個(gè)條件（填上序號(hào)），解決下列問(wèn)題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式題3鞏固18．已知數(shù)列中，，_____，其中.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.從①前項(xiàng)和，①，②，③且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.變式題4鞏固19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是等差數(shù)列，，公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式題5提升20．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解．（注意：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）變式題6提升21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.已知是公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，___________且??成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.原題1922．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?變式題1基礎(chǔ)23．如圖在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，PD=DB=BC=AB=AD=2.（1）證明：PA⊥平面ABC；（2）求二面角B-AD-C的余弦值.變化題2基礎(chǔ)24．如圖所示，在三棱柱中，，，四邊形為菱形，，，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．變式題3鞏固25．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．（1）證明：O1O⊥平面ABCD；（2）若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值．變式題4鞏固26．如圖在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，E為中點(diǎn)，平面平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.變式題5提升27．如圖，在矩形中，，E為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．變式題6提升28．如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如圖2.（1）求證：A1E平面BCDE；（2）求二面角E—A1B—C的余弦值.原題2029．拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式題1基礎(chǔ)30．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.變化題2基礎(chǔ)31．已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過(guò)B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當(dāng)m＝5，且直線l垂直于x軸時(shí)，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，求實(shí)數(shù)m，使得AM⊥AN.變式題3鞏固32．如圖，已知，直線，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M；①已知，求的值；②求的最小值．變式題4鞏固33．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設(shè)直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A?B，直線?與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M?N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.變式題5提升34．已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知?jiǎng)又本€與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式題6提升35．已知拋物線（）的頂點(diǎn)為，直線與拋物線的交點(diǎn)（異于點(diǎn)）到點(diǎn)的距離為，（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為（）的直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求證：直線過(guò)定點(diǎn)．2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題16-題原題161．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_(kāi)_______．變式題1基礎(chǔ)2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________.變化題2基礎(chǔ)3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是某個(gè)三角形的內(nèi)角，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____．變式題3鞏固4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍是___________.變式題4鞏固5．函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，如圖是它的部分圖象，若函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則_________.變式題5提升6．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．變式題6提升7．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則_________原題178．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828變式題1基礎(chǔ)9．某社區(qū)為了解居民參加體育鍛煉的情況，從該社區(qū)中隨機(jī)抽取了18名男性居民和12名女性居民，對(duì)他們參加體育鍛煉的情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.現(xiàn)按是否參加體育鍛煉將居民分成兩類:甲類(不參加體育鍛煉)、乙類(參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如下表:（1）根據(jù)上表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表:（2）通過(guò)計(jì)算判斷是否有95%的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否跟性別有關(guān)?附變化題2基礎(chǔ)10．在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問(wèn)：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？未感冒感冒合計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500合計(jì)4745261000變式題3鞏固11．為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局選擇了江蘇、河北、湖北、寧夏、重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)，逐級(jí)進(jìn)行普查．在普查過(guò)程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對(duì)象，最后入戶登記．由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致人戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)．某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶，普查情況如下表所示：順利不順利合計(jì)企事業(yè)單位4050個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶50150合計(jì)（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的人戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”；（2）根據(jù)該試點(diǎn)普查小區(qū)的情況，為保障第四次經(jīng)濟(jì)普查的順利進(jìn)行，請(qǐng)你從統(tǒng)計(jì)的角度提出一條建議．變式題4鞏固12．調(diào)查某醫(yī)院一段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)聯(lián)性，得到如下的列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e出生時(shí)間合計(jì)晚上白天女243155男82634合計(jì)325789依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián)？解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義．變式題5提升13．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表：班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390試問(wèn)能有多大把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828變式題6提升14．某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)興趣班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)對(duì)抗賽，該對(duì)抗賽試題滿分為150分，規(guī)定：成績(jī)不小于135分為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于135分為“非優(yōu)秀”，對(duì)這兩個(gè)班的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)后，得到如圖條形圖.（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，完成如下的2×2列聯(lián)表；甲班乙班總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)（2）計(jì)算隨機(jī)變量的值（精確到0.001），并由此判斷：能否有90%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”？參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中原題1815．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求；（2）已知__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，然后對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行解答.條件：①②③注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，以第一個(gè)解答計(jì)分.變化題2基礎(chǔ)17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且________，從下列二個(gè)條件：①；

②，，成等差數(shù)列；中選擇一個(gè)條件（填上序號(hào)），解決下列問(wèn)題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式題3鞏固18．已知數(shù)列中，，_____，其中.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.從①前項(xiàng)和，①，②，③且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.變式題4鞏固19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是等差數(shù)列，，公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式題5提升20．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解．（注意：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）變式題6提升21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.已知是公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，___________且??成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.原題1922．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?變式題1基礎(chǔ)23．如圖在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，PD=DB=BC=AB=AD=2.（1）證明：PA⊥平面ABC；（2）求二面角B-AD-C的余弦值.變化題2基礎(chǔ)24．如圖所示，在三棱柱中，，，四邊形為菱形，，，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．變式題3鞏固25．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．（1）證明：O1O⊥平面ABCD；（2）若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值．變式題4鞏固26．如圖在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，E為中點(diǎn)，平面平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.變式題5提升27．如圖，在矩形中，，E為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．變式題6提升28．如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如圖2.（1）求證：A1E平面BCDE；（2）求二面角E—A1B—C的余弦值.原題2029．拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式題1基礎(chǔ)30．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.變化題2基礎(chǔ)31．已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過(guò)B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當(dāng)m＝5，且直線l垂直于x軸時(shí)，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，求實(shí)數(shù)m，使得AM⊥AN.變式題3鞏固32．如圖，已知，直線，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M；①已知，求的值；②求的最小值．變式題4鞏固33．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設(shè)直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A?B，直線?與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M?N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.變式題5提升34．已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知?jiǎng)又本€與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式題6提升35．已知拋物線（）的頂點(diǎn)為，直線與拋物線的交點(diǎn)（異于點(diǎn)）到點(diǎn)的距離為，（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為（）的直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求證：直線過(guò)定點(diǎn)．參考答案：1．2【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)椋?；所以由可得或；因?yàn)椋?，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.2．【分析】根據(jù)最大值得，再由圖像得周期，從而得，根據(jù)時(shí)，取得最大值，利用整體法代入列式求解，再結(jié)合的取值范圍可得.【詳解】根據(jù)圖像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因?yàn)椋?，故函?shù)的解析式為.故答案為：.3．【分析】由正弦函數(shù)的圖象求得，令利用導(dǎo)數(shù)求其最值，由題設(shè)不等式恒成立知，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】由圖知：，，即，可知．由，得，，∴，，又，即，∴．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，得．由，得．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)成立，∴的范圍是．故答案為：4．【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求得的取值范圍．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上為增函數(shù)，則，且，求得，則的取值范圍為，，故答案為：，．5．【分析】根據(jù)圖象可得，由題意得出，即可求出，再代入即可求出，進(jìn)而得出所求.【詳解】由函數(shù)圖象可得，相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則，，，又，即，，或，根據(jù)“五點(diǎn)法”畫圖可判斷，，.故答案為：.6．【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，由此建立關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】令，則，令，則，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，∴，解得．故答案為：．7．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象有，可求得，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，代入可求得，，求得，然后利用函數(shù)的周期性求解.【詳解】由圖可知：，，所以函數(shù)，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，，所以，，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式的步驟：(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，.(2)求，確定函數(shù)的周期，則(3)求，常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．8．（1）75%；60%；（2）能.【分析】根據(jù)給出公式計(jì)算即可【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.9．（1）表格見(jiàn)解析；（2）沒(méi)有的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否跟性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)調(diào)查結(jié)果完成列聯(lián)表即可；（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，與附表對(duì)照，即可判斷.【詳解】解：（1）填寫的列聯(lián)表如下男性居民女性居民合計(jì)不參加體育鍛煉參加體育鍛煉合計(jì)（2）計(jì)算因?yàn)?所以沒(méi)有的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否跟性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.10．有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用．【分析】利用公式計(jì)算得出數(shù)據(jù)，比較數(shù)據(jù)大小得解【詳解】解：設(shè)H0：感冒與是否使用該血清沒(méi)有關(guān)系．因當(dāng)H0成立時(shí)，χ2≥6.635的概率約為0.01，故有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用．P(χ≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82811．（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)補(bǔ)全列聯(lián)表，利用公式計(jì)算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可知個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶配合度需提高，由此可確定統(tǒng)計(jì)建議.【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表如下：順利不順利合計(jì)企事業(yè)單位401050個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶10050150合計(jì)14060200，有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”．（2）建議：加大宣傳力度，消除誤解因素，尤其要做好個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶的思想工作．（意思相近即可）12．在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.1的前提下可以認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián).【分析】根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算，對(duì)照參數(shù)即可下結(jié)論.【詳解】由題意得的觀測(cè)值為：，∴在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.1的前提下可以認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián).13．沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.【分析】計(jì)算出卡方值，即可判斷.【詳解】計(jì)算得的觀測(cè)值為，因?yàn)?.653＜3.841，所以沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.14．（1）答案見(jiàn)解析；（2），沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”.【分析】（1）根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)完成表格即可；（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，然后可得答案.【詳解】（1）根據(jù)條形圖中的數(shù)據(jù)可得如下表格，甲班乙班總計(jì)優(yōu)秀152035非優(yōu)秀403070總計(jì)5550105（2）因?yàn)椋詻](méi)有90%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”.【點(diǎn)睛】本題考查的是獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.16．（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)求解即可；(2)選①利用錯(cuò)位相減法求和即可；選②利用裂項(xiàng)相消法求和即可；選③對(duì)分奇偶討論，然后利用并項(xiàng)求和法求和即可.【詳解】（1）∵在數(shù)列中，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又也滿足，∴（2）選擇條件①，∴①②①-②得故.選擇條件②由（1）知：，∴∴選擇條件③，∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上所述：.17．選①和②得結(jié)果相同，（1）；（2）【分析】（1）選①②直接根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求出公比，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）直接利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）選條件①設(shè)數(shù)列的公比為，由得，∴即或；又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，故.從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.選條件②設(shè)數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，∴，所以，解得，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2），.18．選①②③結(jié)果均相同，（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）【分析】分別選①②③，（Ⅰ）由數(shù)列的遞推式或等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，可得公差，通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由等比數(shù)列的定義，可得證明；（Ⅲ）求得，由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【詳解】解：選①，（Ⅰ）因?yàn)椋瑫r(shí)，，則，；（Ⅱ）證明：，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為和公比均為4的等比數(shù)列；（Ⅲ），．選②，（Ⅰ）由，，則，；（Ⅱ）證明：，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為和公比均為4的等比數(shù)列；（Ⅲ），．選③，（Ⅰ）由，且，可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，則，；（Ⅱ）證明：，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為和公比均為4的等比數(shù)列；（Ⅲ），所以．19．（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)題中條件求解數(shù)列的基本參數(shù)進(jìn)而求解出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解出參數(shù)的范圍.【詳解】（1）時(shí)，時(shí)，n=1時(shí)，，∴．由得，∵，∴，所以，∴，；（2），，，；令，，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．20．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，解方程組即得數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）選①：利用錯(cuò)位相減法求和得解；選②：利用裂項(xiàng)相消法求和得解；選③：對(duì)分兩種情況討論求和得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，，所以，．（2）選①：①②由①－②得，選②：，所以，所以選③：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以．21．（1）若選①，，若選②，，若選③，；（2）若選①，，若選②，，若選③，.【分析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，用等差數(shù)列的基本量進(jìn)行運(yùn)算，可得首項(xiàng)和公差的關(guān)系，結(jié)合條件即可得到答案；（2）由（1）解出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)分組求和即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為.因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，故，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以，所?若選①，則，即，則；若選②，則，即，則；若選③，則，即，則；（2）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列的公比為，則.若選①，則，故，，所以，由，得.又，則，所以，所以.若選②，則，故，，所以，由，得.又，則，所以，所以.若選③，則，故，，所以，由，得.又，則，所以，則.22．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕甗方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵?，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由側(cè)面PAB⊥平面PBC，可得BC⊥側(cè)面PAB，所以PA⊥BC，再由PD=DB=DA，所以PA⊥AB,利用線面垂直的判定定理即得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量計(jì)算公式，即得解.【詳解】（1）側(cè)面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，所以BC⊥側(cè)面PAB又PA側(cè)面PAB，所以PA⊥BC又PD=DB=DA，可得，又內(nèi)角和為所以PA⊥AB又ABBC=B，所以PA⊥平面ABC（2）以A為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線為x軸，AB，AP所在直線分別y?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.在直角三角形PAB中，，由已知得：.，設(shè)平面ACD的法向量為，則，即，取，則，故設(shè)平面ABD的法向量為，又二面角A-PD-C為銳角，故二面角A-PD-C的余弦值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，以及向量法求二面角，考查了學(xué)生綜合分析，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題24．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）證明，，則平面即得證；（2）取中點(diǎn)為E，連結(jié)，，證明平面，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）由，則有，又D為的中點(diǎn)，所以，由，則有，，又，所以，則可知，又有，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)為E，連結(jié)，，由，則有，又易知，則有，所以，又可知，，平面，則平面，如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，有，，，，，由，則有平面，所以，又，，所以平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則有，即，可取，記二面角為，則.故二面角的余弦值為．25．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由已知中，四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，，，四邊形和四邊形均為矩形．可得且，，進(jìn)而，，再由線面垂直的判定定理得到底面；（2）設(shè)四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，設(shè)為2，若，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（1）四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，四邊形為菱形，又，故為的中點(diǎn)，同理也是的中點(diǎn)，又四邊形和四邊形均為矩形，且，，，，又，，平面，底面；解：（2）設(shè)四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，所以四邊形是菱形，，又底面，，，兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，，則，，，易知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量，則，即取，則，，所以，，設(shè)二面角的大小為，易知是銳角，于是：，故二面角的余弦值為．26．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接、，先證明平面，再由三角形中位線定理得到，即可證明平面.（2）以分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連接、，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以，則平面.（2）如圖，以分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，，，則，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平?BD，,所以面EBD,所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨設(shè)x=1，所以，所以，顯然二面角的平面角為銳角或直角，所以二面角的余弦值為.27．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，利用勾股定理逆定理可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明即可；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）設(shè)，則，∴，∴．∵平面平面，平面平面，∴平面．（2）取中點(diǎn)O，連接，∵，∴，∴平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，所以，由圖可得二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．28．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意證明平面可得，再結(jié)合即可證明平面；（2）結(jié)合（1），以，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解:（1）證明:∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于點(diǎn)E∴，，∴.又∵，，∴平面，∴.又∵，，∴平面.（2）∵平面，，∴以，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.易知，則，，，，∴，，易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，由，，得，令，得，∴.由圖得二面角為鈍二面角，∴二面角的余弦值為.29．（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開(kāi)口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過(guò)與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當(dāng)時(shí)，同解法1．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，同理，由直線與相切得．因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．【整體點(diǎn)評(píng)】第二問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)：過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡(jiǎn)單，開(kāi)拓學(xué)生思路30．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知圓心軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線；（2）聯(lián)立拋物線與直線方程，借助韋達(dá)定理表示出圓心坐標(biāo)，半徑，再由弦長(zhǎng)公式列出不等式，解之即可．【詳解】（1）設(shè)，由題意得到的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知曲線的方程為.（2）設(shè)，，由題意可知直線過(guò)的焦點(diǎn)，聯(lián)立消去得，整理得，∴.∵過(guò)的焦點(diǎn)，∴以為直徑的圓的圓心為，半徑為，∵，解得，或，∴的取值范圍是.31．（1）證明見(jiàn)解析；（2）m＝6.【分析】（1）由題設(shè)可得M(