人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難考點專題02整式乘法(知識串講+11大考點)特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題02整式乘法考點類型知識串講（一）整式乘法（1）單項式×單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘法易錯點：（2）單項式×多項式單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加【單項式乘以多項式注意事項】①單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。（同號相乘得正，異號相乘得負）③不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運算要有順序。（3）多項式×多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．【多項式乘以多項式注意事項】多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號?？键c訓(xùn)練考點1：計算單項式×單項式典例1：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））計算：6xy2?A．3x4y5 B．?3x4【變式1】（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）計算：?3x2?A．?6x5 B．?24x5 C．【變式2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)課上進行小組合作式學(xué)習，老師讓小組成員的2號同學(xué)寫出5個常錯的式子，4號同學(xué)進行判斷，則判斷正確的個數(shù)是（）（1）?a（2）a3（3）a6（4）3a（5）a4A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式3】（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）計算：?3x?2x2A．24x7y3 B．?6x7考點2：用科學(xué)計數(shù)法表示乘法典例2：（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習）光在真空中的速度約為3×108m/sA．15×1011 B．1.5×1011 C．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）國家速滑館位于北京奧林匹克公園規(guī)劃范圍內(nèi)，是北京2022年冬奧會標志性場館．主場館外觀大致呈橢圓形，有著一個很好聽的名字——“冰絲帶”，其南北長約240米，東西寬約174米，建筑高度為33.8米，總座席12058席，“冰絲帶”以約12000平方米的冰面成為亞洲之最．建成后將與國家體育場“鳥巢”、國家游泳中心“水立方”共同組成北京這座世界首個“雙奧之城”的標志性建筑群．將12000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．1.2×106 B．0.12×105 C．1.2×104 D．1.2×103【變式2】（2023春·浙江·七年級專題練習）2021年5月22日，我國始發(fā)的火星車“祝融號”安全到達火星表面．到目前已經(jīng)獲取約10GB原始科學(xué)數(shù)據(jù)，當?shù)厍蚺c火星處于最遠位置時，從火星表面發(fā)出的光到達地球的時間為21分20秒，已知光速約為3×108米/秒，則地球與火星處于最遠位置時的距離是（A．3.84×1011米 B．3.84×108米 C．3.784×10【變式3】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發(fā)射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站．已知中國空間站繞地球運行的速度約為7.7×103m/sA．15.4×105 B．1.54×106 C．考點3：計算單項式×多項式典例3：計算：?5xy2y+x?8=?10xyA．?40xy B．?5xy C．－8 D．40xy【變式1】（2023春·河北石家莊·七年級?？茧A段練習）若規(guī)定m⊕n=mnm?n，則a+b⊕a=（A．a(chǎn)2b+ab2 B．2a2【變式2】（2021秋·廣東江門·八年級臺山市新寧中學(xué)校考期中）對于任意有理數(shù)a，b，現(xiàn)有“*”定義一種運算：a?b=b2?2ab，根據(jù)這個定義，代數(shù)式x?yA．?2y2?xy B．3y2【變式3】（2023春·河南平頂山·七年級校考階段練習）已知a+b=m，ab=n，化簡a–2b?2A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4考點4：計算多項式×多項式典例4：（2023春·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）計算(a+3b)(a+2b)的結(jié)果是（

）A．a(chǎn)2+5ab+5b2B．a(chǎn)2+5ab+6【變式1】（2023春·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）關(guān)于x的多項式：anxn①2x?12②若多項式a3x3+a③多項式2x?14=b④關(guān)于x的多項式ax+bn，若a≠b，ab≠0，n為正整數(shù)，則ax+b以上說法中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023春·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┤魓?52x?n=2x2+mx?15，則mA．m=?7，n=3B．m=7，n=?3 C．m=?7，n=?3 D．m=7，n=3【變式3】（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中?？茧A段練習）現(xiàn)有如圖所示的卡片若干張，其中A類、B類為正方形卡片，C類為長方形卡片，若用此三類卡片拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，則需要C類卡片張數(shù)為（

）

A．5 B．2 C．3 D．4考點5：整式乘法——求字母、代數(shù)式的值典例5：（2023春·浙江·七年級專題練習）若(?5am+1b2n?1)(2anbmA．－3 B．－1 C．1 D．3【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（）A．10 B．20 C．40 D．80【變式2】（2023春·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘多項式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習，發(fā)現(xiàn)一道題：?7xy(2y?x?3)=?14xy2+7A．+21xy B．?21xy C．?3 D．?10xy【變式3】（2023春·廣東揭陽·七年級?？茧A段練習）若x3?xmyA．8 B．9 C．10 D．12考點6：整式乘法——化簡求值典例6：（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┫然啠偾笾担?1)(3x+1)(2x?3)?(6x?5)(x?4)，其中x=?2；(2)(2x?y)(x+y)?2x(?2x+3y)+6x(?x?52y)【變式1】（2023春·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，某小區(qū)有一塊長為2a+3b，寬為3a+2b的長方形地塊，物業(yè)公司計劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，將陰影部分進行綠化．

(1)用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；(2)若a=3，b=6，求出此時綠化的總面積S．【變式2】（2023春·浙江杭州·七年級?？茧A段練習）已知M=a(1)當a=?3，b=?2，分別求M，(2)若M+Na=b，求【變式3】（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：我們知道，4x?2x+x=4?2+1x=3x，類似地，我們把a+b看成一個整體，則(1)把a?b2看成一個整體，合并2(2)已知x2?2y=?2，求(3)已知a?2b=?1，2b?c=5，c?d=?10，求a?c+考點7：整式乘法——錯看問題典例7：（2023·全國·九年級專題練習）已知：A=2x，B是多項式，在計算B+A時，小馬虎同學(xué)把B+A看成了B÷A，結(jié)果得：x2+1【變式1】（2022秋·陜西渭南·八年級?？茧A段練習）在計算（2x＋a）（x＋b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x-24；乙錯把a看成了?（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算（2x＋a）（x＋b）的結(jié)果．【變式2】（2023春·七年級校考單元測試）甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：3x+a2x+b．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“?a”，得到的結(jié)果為6x2?13x+6；乙由于漏抄了第二個多項式中(1)求正確的a、b的值．(2)計算這道乘法題的正確結(jié)果．【變式3】在計算x+ax+b時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯把a看成了?a，得到結(jié)果x2+x?6．你能正確計算x+a考點8：整式乘法——不含某項問題典例8：已知x2+px?13x(1)求p、q的值(2)求?2p【變式1】（2023春·安徽蚌埠·七年級統(tǒng)考期末）已知A，B為多項式，且A=2x2?mx+1(1)若A與B的乘積中不含x2項和x3項，求m，(2)在數(shù)軸上，將表示數(shù)m的點記為M，表示數(shù)n的點記為N，在（1）的條件下，數(shù)軸上的點P滿足P到點M的距離是P到點N距離的2倍，求點P表示的數(shù)．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）已知x3+mx?nx2?x+4(1)求m、n的值；(2)當m、n取第（1）小題的值時，化簡并求m+nm【變式3】（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期中）若x+3px2?x+13(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式p2022考點9：整式乘法——圖形面積典例9：（2023春·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）用不同的方法計算幾何圖形的面積，可得數(shù)學(xué)等式．如圖的數(shù)學(xué)等式是（

）

A．(3a+b)(a+2b)=3a2+2C．(3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2【變式1】（2023春·七年級課時練習）用兩種方式表示同一長方形的面積可以得到一些代數(shù)恒等式，小明從圖中得到四個恒等式：①a?ba+b=a2?③a+ba?2b=a2?ab?2其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①②④【變式2】（2023春·浙江·七年級期中）如圖，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?12；②陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為x?y+4；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當x=20時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式3】（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）有若干個形狀大小完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中3個如圖1擺放，構(gòu)造一個正方形；其中5個如圖2擺放，構(gòu)造一個新的長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙）.若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為39和106，則每個小長方形的面積為（

）

A．12 B．14 C．16 D．18考點10：整式乘法——新定義問題典例10：（2022秋·全國·七年級專題練習）設(shè)x，y為任意有理數(shù)，定義運算：x?y=(x+1)(y+1)?1，得到下列五個結(jié)論：①x?y=y?x；②x?y+z=x?y+x?z；③(x+1)?(x?1)=x?x?1；④x?0=0；⑤(x+1)?(x+1)=x?x+2?x+1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（2022秋·全國·七年級專題練習）定義一種新運算：a★b=2a?3b．若a★b=10，則?4a+6b?3的值為（

）A．17 B．?17 C．?23 D．23【變式2】（2021·河南周口·三模）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1，若我們定義一個新數(shù)“i”，使其滿足i2＝﹣1（即方程x＝﹣1有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算．且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，那么（3+2i）?（1﹣i）的值為（）A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i【變式3】（2023春·七年級課時練習）若定義表示3xyz，表示?2abcd，則運算的結(jié)果為（

A．?12m3n4 B．?6m2考點11：整式乘法——四則混合運算典例11：（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】現(xiàn)定義一種新運算“⊙”對任意有理數(shù)m，n，規(guī)定：m⊙n=mnm?n例如：1⊙2=1×2×1?2【問題推廣】（1）先化簡，再求值：a+b⊙a?b，其中a=1【拓展提升】（2）若x2y⊙x⊙y=x【變式1】（2023春·浙江·七年級期末）計算題．(1)?2a(2)(x+y)(x?y)?(2x+y)(2x?y)；(3)(3?2x+y)(3+2x?y)；(4)4x+1【變式2】（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于?1，記為i2=?1，這個數(shù)i叫做虛部單位，把形如a+bi（a,b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個復(fù)數(shù)的實部，例如計算：(2?i)+(5+3i)=(2+5)+(?1+3)?(1+i)×(2?i)=1×2?i+2×i?i根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空：i3=_______，(2)計算：(1+i)×(3?4i)(3)比較32i2(4)計算：i+【變式3】（2022春·陜西西安·七年級?？计谥校┒xabcd|＝ad﹣bc，如13(1)若x+1x?1x?1x+1＝4，求x(2)若x+mx?1nx?12x+1的值與x無關(guān)，求n同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·廣東深圳·七年級期中）下列運算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．2．（2023春·七年級單元測試）如果x+12x+m的乘積中不含x一次項，則m為（

A．-2 B．2 C．12 D．3．（2023秋·浙江杭州·七年級期末）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是絕對值等于3的負數(shù)，則m2+(cd+a+b)×m+(cd)A．0 B．7 C．4 D．?84．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考二模）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（3a）3＝3a3C．（﹣a4）?（﹣a3c2）＝﹣a7c2D．t2m+3÷t2＝t2m+1（m是正整數(shù)）5．（2023·湖南衡陽·衡陽市華新實驗中學(xué)?？家荒＃┫铝羞\算正確的是（）A．2a2+C．4a2÷2a=26．（2022春·河南駐馬店·七年級校聯(lián)考階段練習）若（x+b）（x﹣a）＝x2+kx﹣ab，則k的值為（）A．a(chǎn)+b B．﹣a﹣b C．a(chǎn)﹣b D．b﹣a7．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，則a﹣b的值為（）A．±2 B．±5 C．5 D．﹣28．（2023春·七年級課時練習）化簡[-2(x-y)]4·[-12(y-x)]2的結(jié)果為(

A．12(x-y)6 B．2(x-y)6 C．(x-y)6 D．4(y-x)9．下列運算正確的是（

）A．(ab)4=ab4 B．y3210．（2023秋·八年級單元測試）如果代數(shù)式（x﹣2）（x2+mx+1）的展開式不含x2項，那么m的值為（）A．2 B．12 C．-2 D．二、填空題11．若m是方程2x2?3x?1=0的一個根，則212．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）按如圖所示的運算程序，輸入一對數(shù)值，能使得輸出的結(jié)果為12，該數(shù)對(x,y)的值可以是．（寫出一對即可）．13．已知2x-3y-3=0，則代數(shù)式6x－9y＋5的值為．14．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）計算：6x215．若ab3=?2，則16．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖中的四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，利用圖中的字母，寫出一個正確的等式：．三、解答題17．計算：（1）(?2)3（2）?（3）5a（4）?2(2xy?18．（2022秋·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）甲乙兩人共同計算一道整式乘法：3x+a2x?b，甲把第二個多項式中b前面的減號抄成了加號，得到的結(jié)果為6x2+16x+8，乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)（1）計算出a、b的值；（2）求出這道整式乘法的正確結(jié)果．19．（2023春·七年級課時練習）已知4m=a，8n=b，用含(1)求：22(2)求：①24m?6n②已知2×8x×16=20．在探索有關(guān)整式的乘法法則時，可以借助幾何圖形面積的不同表示方法來解釋一些代數(shù)恒等式．（1）請寫出圖1中的幾何圖形所表示的面積恒等式．（2）請用圖2中的正方形與長方形（可重復(fù)使用）畫出面積等于2a21．先化簡，再求值：2xx222．（2023·山東青島·七年級?？茧A段練習）等式(a+b)(a+b)=a2

(1)

請你觀察圖（2），把圖（2）的面積表示的等式寫出來_____________(2)

試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（a+b）(a+2b)=a2+3ab+2b223．（2023春·四川成都·七年級校考階段練習）解答下列各題．（1）若xm+n=12,x（2）已知xm?n?x2n+1=x1124．（2023春·江蘇·七年級專題練習）若x2+mx+22x?1的乘積中不含x25．（1）已知|a＋3|＋|2b－4|＋3|c＋4|＝0，求a＋b－c的值．（2）已知a=2，b=3，c=6，且|a|=?a

專題02整式乘法考點類型知識串講（一）整式乘法（1）單項式×單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘法易錯點：（2）單項式×多項式單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加【單項式乘以多項式注意事項】①單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。（同號相乘得正，異號相乘得負）③不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運算要有順序。（3）多項式×多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．【多項式乘以多項式注意事項】多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號?？键c訓(xùn)練考點1：計算單項式×單項式典例1：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））計算：6xy2?A．3x4y5 B．?3x4【答案】B【分析】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可．【詳解】解：6x=6×(?=?3x故選：B．【點睛】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．【變式1】（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）計算：?3x2?A．?6x5 B．?24x5 C．【答案】B【分析】直接根據(jù)積的乘方運算和單項式乘以單項式運算法則計算即可得出答案．【詳解】解：?3==?24x故選：B．【點睛】本題考查了積的乘方運算和單項式乘以單項式，熟知運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)課上進行小組合作式學(xué)習，老師讓小組成員的2號同學(xué)寫出5個常錯的式子，4號同學(xué)進行判斷，則判斷正確的個數(shù)是（）（1）?a（2）a3（3）a6（4）3a（5）a4A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則，合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：（1）?a（2）a3與?（3）a6（4）3a（5）a4則判斷正確的有4個．故選：B．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．【變式3】（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）計算：?3x?2x2A．24x7y3 B．?6x7【答案】D【分析】先計算積的乘方，再根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算即可．【詳解】解：?3x?=?3x?8=?24x故選：D．【點睛】本題考查的是積的乘方及單項式乘單項式，單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘．考點2：用科學(xué)計數(shù)法表示乘法典例2：（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習）光在真空中的速度約為3×108m/sA．15×1011 B．1.5×1011 C．【答案】B【分析】直接利用有理數(shù)的乘法結(jié)合科學(xué)記數(shù)法表示方法得出答案．【詳解】解：由題意可得，地球與太陽的距離大約是：3×10故選：B【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法以及有理數(shù)乘法，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）國家速滑館位于北京奧林匹克公園規(guī)劃范圍內(nèi)，是北京2022年冬奧會標志性場館．主場館外觀大致呈橢圓形，有著一個很好聽的名字——“冰絲帶”，其南北長約240米，東西寬約174米，建筑高度為33.8米，總座席12058席，“冰絲帶”以約12000平方米的冰面成為亞洲之最．建成后將與國家體育場“鳥巢”、國家游泳中心“水立方”共同組成北京這座世界首個“雙奧之城”的標志性建筑群．將12000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．1.2×106 B．0.12×105 C．1.2×104 D．1.2×103【答案】C【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)即把一個數(shù)寫成a×10n的形式，其中【詳解】科學(xué)記數(shù)法的形式是a×10n，其中1≤a故選：C．【點睛】本題考查較大數(shù)（絕對值）用科學(xué)記數(shù)法表示．科學(xué)記數(shù)法是把原數(shù)寫成形如a×10【變式2】（2023春·浙江·七年級專題練習）2021年5月22日，我國始發(fā)的火星車“祝融號”安全到達火星表面．到目前已經(jīng)獲取約10GB原始科學(xué)數(shù)據(jù)，當?shù)厍蚺c火星處于最遠位置時，從火星表面發(fā)出的光到達地球的時間為21分20秒，已知光速約為3×108米/秒，則地球與火星處于最遠位置時的距離是（A．3.84×1011米 B．3.84×108米 C．3.784×10【答案】A【分析】用光速乘時間，計算后再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)解答．【詳解】解：21分20秒=1280秒，3×10=3.84×10故選：A．【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定a與n值是關(guān)鍵．【變式3】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發(fā)射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站．已知中國空間站繞地球運行的速度約為7.7×103m/sA．15.4×105 B．1.54×106 C．【答案】B【分析】先求出路程，再用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n的形式．【詳解】解：路程=7.7×10故選：B．【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．考點3：計算單項式×多項式典例3：計算：?5xy2y+x?8=?10xyA．?40xy B．?5xy C．－8 D．40xy【答案】D【分析】運用單項式乘以多項式法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項相等，即可求解．【詳解】解：∵?5xy2y+x?8∴□=40xy，故選：D．【點睛】本題考查單項式乘以多項式，熟練掌握單項式乘以多項式法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·河北石家莊·七年級?？茧A段練習）若規(guī)定m⊕n=mnm?n，則a+b⊕a=（A．a(chǎn)2b+ab2 B．2a2【答案】A【分析】根據(jù)定義新運算的規(guī)則，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：a+b⊕a=a故選A．【點睛】本題考查定義新運算，單項式乘多項式．理解并掌握規(guī)定的新運算法則，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021秋·廣東江門·八年級臺山市新寧中學(xué)?？计谥校τ谌我庥欣頂?shù)a，b，現(xiàn)有“*”定義一種運算：a?b=b2?2ab，根據(jù)這個定義，代數(shù)式x?yA．?2y2?xy B．3y2【答案】D【分析】由題目中給出的運算方法，即可推出原式=y【詳解】解：∵a?b=b∴x?y==?故選：D．【點睛】此題主要考查了整式的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意掌握新運算的規(guī)律．【變式3】（2023春·河南平頂山·七年級?？茧A段練習）已知a+b=m，ab=n，化簡a–2b?2A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4【答案】C【分析】先按照整式乘法法則運算可得ab?2a?2b+4，再加括號可得ab?2a+b+4，最后將【詳解】解：a–2b?2=ab?2a?2b+4，=ab?2a+b=n?2m+4．故選C．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值、整式的乘法等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．考點4：計算多項式×多項式典例4：（2023春·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）計算(a+3b)(a+2b)的結(jié)果是（

）A．a(chǎn)2+5ab+5b2B．a(chǎn)2+5ab+6【答案】B【分析】利用多項式乘多項式的法則計算即可．【詳解】解：(a+3b)(a+2b)==a故選：B．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）關(guān)于x的多項式：anxn①2x?12②若多項式a3x3+a③多項式2x?14=b④關(guān)于x的多項式ax+bn，若a≠b，ab≠0，n為正整數(shù)，則ax+b以上說法中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①將2x?12展開，進行判斷即可；②合并同類項后，進行判斷即可；③計算出2x?1【詳解】解：①∵2x?12∴2x?12②∵a3∴a3③2x?14∴2x?14∵2x?14∴b4∴b4④當a=1，b=?1，n=4時：x?14綜上：正確的有2個；故選：B．【點睛】本題考查整式的運算．理解并掌握“親緣多項式”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┤魓?52x?n=2x2+mx?15，則mA．m=?7，n=3B．m=7，n=?3 C．m=?7，n=?3 D．m=7，n=3【答案】C【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則去括號，進而得出關(guān)于m，n的等式求出答案．【詳解】解：∵x?52x?n∴2x故5n=?15m=?10?n解得：n=?3m=?7故選：C．【點睛】此題主要考查了多項式乘以多項式，正確掌握多項式乘法運算法則是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中校考階段練習）現(xiàn)有如圖所示的卡片若干張，其中A類、B類為正方形卡片，C類為長方形卡片，若用此三類卡片拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，則需要C類卡片張數(shù)為（

）

A．5 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用多項式乘法算出大長方形的面積，找出含ab項的系數(shù)，即可得解．【詳解】解：由題意可得大長方形的面積為：2a+b可見要組成這樣一個長方形，需要A類、B類卡片各2張，C類卡片5張，故選A．【點睛】本題考查多項式乘法的幾何應(yīng)用，熟練掌握多項式的乘法法則、正方形和長方形的面積求法是解題關(guān)鍵．考點5：整式乘法——求字母、代數(shù)式的值典例5：（2023春·浙江·七年級專題練習）若(?5am+1b2n?1)(2anbmA．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算求出m，n的值，然后代入計算即可．【詳解】(?5=(?5×2)(=?10∴?10∴m+n+1=4解得m=1n=2∴m－n=1-2=-1，故選：B．【點睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握單項式乘單項式的運算法則是關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】B【分析】直接利用矩形周長和面積公式得出ab，a+b，進而利用提取公因式法分解因式得出答案.【詳解】解：由邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，.則2（a+b）=10，ab=4，則a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故選B.【點睛】本題主要考查了提取公因式法以及矩形的性質(zhì)應(yīng)用，正確分解因式是解題關(guān)鍵.【變式2】（2023春·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘多項式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習，發(fā)現(xiàn)一道題：?7xy(2y?x?3)=?14xy2+7A．+21xy B．?21xy C．?3 D．?10xy【答案】A【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對照即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵左邊=?7xy(2y?x?3)，=?14xy右邊=?14xy∴□內(nèi)上應(yīng)填寫+21xy．故選：A．【點睛】本題考查的是單項式乘多項式，熟知單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加是解答此題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·廣東揭陽·七年級?？茧A段練習）若x3?xmyA．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】先根據(jù)單項式乘以單項式，確定m，n的值，即可解答．【詳解】[解析]∵x3?x2n=8，∴m=6，n=4，∴4m?3n=24?12=12，故選D．【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，解題的關(guān)鍵是確定m，n的值．考點6：整式乘法——化簡求值典例6：（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┫然?，再求值：(1)(3x+1)(2x?3)?(6x?5)(x?4)，其中x=?2；(2)(2x?y)(x+y)?2x(?2x+3y)+6x(?x?52y)【答案】(1)22x?23；?67(2)?20xy?y2【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則可將原式展開，再合并同類項，最后將x的值代入即可求解；（2）根據(jù)多項式乘以多項式以及單項式乘以多項式的運算法則可將原式展開，再合并同類項，最后將x、y的值代入即可求解．【詳解】（1）解：(3x+1)(2x?3)?(6x?5)(x?4)=6=22x?23，當x=?2時，原式=?44?23=?67；（2）解：(2x?y)(x+y)?2x(?2x+3y)+6x=2=?20xy?y當x=1，y=2時，原式【點睛】本題考查整式的混合運算，多項式乘多項式的法則，單項式乘多項式的法則等知識，解題的關(guān)鍵是掌握乘法運算法則，屬于中考常考題型．【變式1】（2023春·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，某小區(qū)有一塊長為2a+3b，寬為3a+2b的長方形地塊，物業(yè)公司計劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，將陰影部分進行綠化．

(1)用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；(2)若a=3，b=6，求出此時綠化的總面積S．【答案】(1)3(2)441【分析】（1）利用長方形的面積公式及平行四邊形的面積公式進行求解即可；（2）把相應(yīng)的值代入（1）中運算即可．【詳解】（1）解：由題意得：S=(3a+2b)(2a+3b)?a(3a+2b)=6=3a（2）當a=3，b=6，S=3×3答：當a=3，b=6時綠化的總面積為441m【點睛】本題主要考查列代數(shù)式、整式乘法、求代數(shù)式的值，解答的關(guān)鍵是正確表示出綠化面積．【變式2】（2023春·浙江杭州·七年級?？茧A段練習）已知M=a(1)當a=?3，b=?2，分別求M，(2)若M+Na=b，求【答案】(1)M的值是?18，N的值是36；(2)(a+2)(b+2)=4．【分析】（1）直接將a、b值代入，利用有理數(shù)的混合運算法則即可求得M，N值；（2）由M+Na=b，計算得到ab+2a+b=0，化簡【詳解】（1）解：∵M=a2b∴M=?3N=2×?3即M的值是?18，N的值是36；（2）解：∵M=a2b∴a2整理得ab+2a+b∴(a+2)(b+2)=ab+2a+b【點睛】本題考查代數(shù)式的求值、有理數(shù)的混合運算、整式的混合運算，熟練掌握求代數(shù)式的值的方法，第（2）中能用整體代入法是解答的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：我們知道，4x?2x+x=4?2+1x=3x，類似地，我們把a+b看成一個整體，則(1)把a?b2看成一個整體，合并2(2)已知x2?2y=?2，求(3)已知a?2b=?1，2b?c=5，c?d=?10，求a?c+【答案】(1)a?b(2)?27(3)?6【分析】（1）把a?b2（2）6x2?12y?15=6（3）a?c+2b?d?2b?c=a?2b+【詳解】（1）解：2a?b（2）解：6x把x2?2y=?2代入得，原式（3）解：a?c把a?2b=?1，2b?c=5，c?d=?10代入得，原式=?1+5+?10【點睛】本題考查了多項式的變形和整體代入的思想，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．考點7：整式乘法——錯看問題典例7：（2023·全國·九年級專題練習）已知：A=2x，B是多項式，在計算B+A時，小馬虎同學(xué)把B+A看成了B÷A，結(jié)果得：x2+1【答案】B+A=2【分析】先根據(jù)A=2x，B÷A的結(jié)果是x2+12x【詳解】解：∵A=2x，B÷A的結(jié)果是x2∴B=2xx∴B+A=2x【點睛】本題主要考查了整式加減運算和單項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．【變式1】（2022秋·陜西渭南·八年級?？茧A段練習）在計算（2x＋a）（x＋b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x-24；乙錯把a看成了?（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算（2x＋a）（x＋b）的結(jié)果．【答案】（1）a＝?4；b＝5；（2）2【分析】（1）根據(jù)條件求出代數(shù)式的值，對比結(jié)果，分別求出a,b的值；（2）將（1）的a,b的值代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：（1）甲錯把b看成了6，（2x＋a）（x＋6）＝2＝2＝2∴12＋a＝8，即a＝?4；乙錯把a看成了?a，（2x－a）（x＋b）＝2＝2＝2∴2b?a＝14，把a＝?4代入，得b＝5．（2）當a＝?4，b＝5時，（2x＋a）（x＋b）＝（2x－4）（x＋5）＝2＝2【點睛】本題考查了整式的乘法運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·七年級校考單元測試）甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：3x+a2x+b．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“?a”，得到的結(jié)果為6x2?13x+6；乙由于漏抄了第二個多項式中(1)求正確的a、b的值．(2)計算這道乘法題的正確結(jié)果．【答案】(1)a=2(2)6【分析】（1）按乙錯誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【詳解】（1）解：∵甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“?a”，得到的結(jié)果為63x?a2x+b∵乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為3x3x+ax+b∴3b?2a=?13∴a=2（2）解：3x+22x?3【點睛】此題考查了多項式乘多項式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項式乘多項式的運算法則分別進行計算，解題時要細心．【變式3】在計算x+ax+b時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯把a看成了?a，得到結(jié)果x2+x?6．你能正確計算x+a【答案】x2【分析】根據(jù)甲的做法求出a的值，根據(jù)乙的做法求出b的值，代入原式中計算即可．【詳解】解：∵x+ax+6∴6+a=8，∴a=2；∵x?ax+b∴b?a=1，∴b=3，∴x+a==x【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，考核學(xué)生的計算能力，根據(jù)甲乙兩位同學(xué)的做法求出a，b是解題的關(guān)鍵．考點8：整式乘法——不含某項問題典例8：已知x2+px?13x(1)求p、q的值(2)求?2p【答案】(1)p=3，q=?(2)112【分析】（1）將展開式算出來后，利用條件中展開式中不含x項與x3（2）利用第（1）問中的結(jié)果，代入求值．【詳解】（1）原式=x∵展開式中不含x項與x3∴1+pq=0p?3=0∴p=3q=?（2）由（1）得p2q=?3，∴?2===36+1+=37+(?1)×(?=37+=112【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則和求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方及其運算法則，零指數(shù)冪的意義和過硬的計算能力．【變式1】（2023春·安徽蚌埠·七年級統(tǒng)考期末）已知A，B為多項式，且A=2x2?mx+1(1)若A與B的乘積中不含x2項和x3項，求m，(2)在數(shù)軸上，將表示數(shù)m的點記為M，表示數(shù)n的點記為N，在（1）的條件下，數(shù)軸上的點P滿足P到點M的距離是P到點N距離的2倍，求點P表示的數(shù)．【答案】(1)m=0，n=6(2)12或4【分析】（1）根據(jù)整式的乘法的運算法則可知A?B=2nx4?mnx3+n?6x2（2）設(shè)點P表示的數(shù)為a，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式解答即可．【詳解】（1）解：∵A=2x2?mx+1∴A?B=2∵A與B的乘積中不含x2項和x∴?mn=0n?6=0解得：m=0n=6∴m=0，n=6；（2）解：∵m=0，n=6，∴點M表示的數(shù)為0，點N表示的數(shù)為6，∴設(shè)點P表示的數(shù)為a，∴a?0=2∴a=2∴a=2a?6或a=?2∴a=12或a=4，∴點P表示的數(shù)為12或4．【點睛】本題考查了整式的乘法運算法則，多項式的定義，二元一次方程組的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點之間的距離公式，掌握整式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）已知x3+mx?nx2?x+4(1)求m、n的值；(2)當m、n取第（1）小題的值時，化簡并求m+nm【答案】(1)m=?4，n=4(2)m3+【分析】（1）先計算多項式乘多項式，再根據(jù)計算結(jié)果中不含x3和x2項可得一個關(guān)于（2）先計算多項式乘多項式，再計算整式的加減法，然后將m,n的值代入計算即可得．【詳解】（1）解：x==x∵計算結(jié)果中不含x3和x∴4+m=0解得m=?4n=4（2）解：m+n==m當m=?4，n=4時，原式=?4【點睛】本題考查了多項式乘多項式、以及化簡求值，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期中）若x+3px2?x+13(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式p2022【答案】(1)p=(2)3【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式進行計算，根據(jù)不含x2項與x項，得出3p?1=0，1（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，逆用積的乘方與同底數(shù)冪的乘法，進行計算即可求解．【詳解】（1）解：原式==∵不含x2項與x項∴3p?1=0，1∴p=13，（2）當p=13，原式==1==1×3=3.【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，積的乘方與同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．考點9：整式乘法——圖形面積典例9：（2023春·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）用不同的方法計算幾何圖形的面積，可得數(shù)學(xué)等式．如圖的數(shù)學(xué)等式是（

）

A．(3a+b)(a+2b)=3a2+2C．(3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2【答案】C【分析】根據(jù)圖形，大長方形面積等于5個小正方形面積加上7個小長方形的面積和，列出等式即可．【詳解】解：∵長方形的面積=(3a+b)(a+2b)，長方形的面積=3a∴(3a+b)(a+2b)=3故選：C．【點睛】本題考查多項式乘以多項式的幾何意義，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對多項式乘以多項式做出幾何解釋．【變式1】（2023春·七年級課時練習）用兩種方式表示同一長方形的面積可以得到一些代數(shù)恒等式，小明從圖中得到四個恒等式：①a?ba+b=a2?③a+ba?2b=a2?ab?2其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)圖形，分別用含a和b的代數(shù)式表示圖中各個正方形和長方形的面積，再根據(jù)面積之間的關(guān)系即可進行解答．【詳解】解：由圖可知：S1S2①左邊=S右邊=S∴①正確，符合題意；②左邊=S故②不符合題意；③左邊的a?2b不能用圖中的線段進行表示，故③不符合題意；④左邊=S右邊=S故④正確，符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了用面積表示多項式的乘法，解題的關(guān)鍵是將各個正方形長方形的面積正確表示出來．【變式2】（2023春·浙江·七年級期中）如圖，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?12；②陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為x?y+4；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當x=20時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為y?12cm，說法①符合題意；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為2x?y+4cm，說法②不符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為22x+4，結(jié)合x為定值可得出說法③符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為xy?20y+240【詳解】解：∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為4cm，∴小長方形的長為y?3×4=y?12∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為y?12cm∴陰影A的較短邊為x?2×4=x?8陰影B的較短邊為x?y?12∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x?8+x?y+12=2x?y+4∵陰影A的較長邊為y?12cm，較短邊為x?8陰影B的較長邊為3×4=12cm∴陰影A的周長為2y?12+x?8陰影B的周長為212+x?y+12∴陰影A和陰影B的周長之和為2x+y?20∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③符合題意；∵陰影A的較長邊為y?12cm，較短邊為x?8陰影B的較長邊為3×4=12cm∴陰影A的面積為y?12x?8陰影B的面積為12x?y+12∴陰影A和陰影B的面積之和為xy?12x?8y+96+12x?12y+144=xy?20y+240當x=20時，xy?20y+240=240cm綜上所述，正確的說法有①③④，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運算，根據(jù)圖形分別表示出相關(guān)邊長并能熟練運用整式加減的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）有若干個形狀大小完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中3個如圖1擺放，構(gòu)造一個正方形；其中5個如圖2擺放，構(gòu)造一個新的長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙）.若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為39和106，則每個小長方形的面積為（

）

A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】設(shè)小長方形的長和寬分別為a和b，根據(jù)陰影部分的面積分別為39和106，列方程，再整體求解．【詳解】解：設(shè)小長方形的寬為a，長為b，由圖1得：a+b2∴a由圖2得：2b+a2a+b∴4ab+2b2+2即a2則53?ab=39，解得：ab=14，故每個小長方形的面積為：14．故選：B．【點睛】本題考查了整式的混合運算，表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．考點10：整式乘法——新定義問題典例10：（2022秋·全國·七年級專題練習）設(shè)x，y為任意有理數(shù)，定義運算：x?y=(x+1)(y+1)?1，得到下列五個結(jié)論：①x?y=y?x；②x?y+z=x?y+x?z；③(x+1)?(x?1)=x?x?1；④x?0=0；⑤(x+1)?(x+1)=x?x+2?x+1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題中定義的運算，對各結(jié)論中新定義的運算進行計算，判斷即可解答．【詳解】解：∵x?y=(x+1)(y+1)?1，y?x=(y+1)(x+1)?1，∴x?y=y?x，故①正確；∵x?y+z=(x+1)(y+1)?1+z=xy+x+y+z，x?y+x?z=(x+1)(y+1)?1+(x+1)(z+1)?1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z，∴x?y+z≠x?y+x?z，故②錯誤；∵(x+1)?(x?1)=(x+1+1)(x?1+1)?1=(x+2)x?1=xx?x?1=(x+1)(x+1)?1?1=x∴(x+1)?(x?1)=x?x?1，故③正確；∵x?0=(x+1)(0+1)?1=x+1?1=x，∴x?0≠0，故④錯誤；∵(x+1)?(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)?1=(x+2)x?x+2?x+1=(x+1)(x+1)?1+(2+1)(x+1)?1+1=(x+1)∴(x+1)?(x+1)≠x?x+2?x+1故⑤錯誤．綜上所述，正確的個數(shù)為2．故選：B．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，理解新定義問題是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·全國·七年級專題練習）定義一種新運算：a★b=2a?3b．若a★b=10，則?4a+6b?3的值為（

）A．17 B．?17 C．?23 D．23【答案】C【分析】利用題中的新定義得到2a-3b=10，將代數(shù)式變形，再代入計算．【詳解】解：∵a★b=10，∴2a-3b=10，∴?4a+6b?3=?2=?2×10?3=-23故選C．【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，理解題中的新定義，得到2a-3b=10是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·河南周口·三模）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1，若我們定義一個新數(shù)“i”，使其滿足i2＝﹣1（即方程x＝﹣1有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算．且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，那么（3+2i）?（1﹣i）的值為（）A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i【答案】A【分析】首先利用多項式乘法法則進行乘法運算，然后把i2=-1代入求值即可.【詳解】解:（3+2i）?（1﹣i）=3-3i+2i-2i2=3-3i+2i-2×（-1）=5-i，故選擇A.【點睛】本題考查定義新運算以及多項式乘法，解決問題的關(guān)鍵是利用新定義把未知轉(zhuǎn)化為已知.【變式3】（2023春·七年級課時練習）若定義表示3xyz，表示?2abcd，則運算的結(jié)果為（

A．?12m3n4 B．?6m2【答案】A【分析】根據(jù)新定義列出算式進行計算，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)定義得：=3×m×n×2×（-2）×m2×n3=-12m3n4，故選：A．【點睛】本題考查了整式的混合運算，根據(jù)新定義列出算式是解決問題的關(guān)鍵．考點11：整式乘法——四則混合運算典例11：（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】現(xiàn)定義一種新運算“⊙”對任意有理數(shù)m，n，規(guī)定：m⊙n=mnm?n例如：1⊙2=1×2×1?2【問題推廣】（1）先化簡，再求值：a+b⊙a?b，其中a=1【拓展提升】（2）若x2y⊙x⊙y=x【答案】（1）2a2b?2b3，【分析】（1）先運用新運算法則化簡，然后將a=12、（2）先對括號內(nèi)用新運算法則化簡，然后再對括號外運算，然后結(jié)合x2【詳解】解：（1）a+b=2ba當a=12，b=?1時，原式（2）x=x2y又∵x2∴xp∴xpyq∴p=5，q=4．【點睛】本題主要考查了新定義運算、整式的四則混合運算、同類項等知識點，理解新運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江·七年級期末）計算題．(1)?2a(2)(x+y)(x?y)?(2x+y)(2x?y)；(3)(3?2x+y)(3+2x?y)；(4)4x+1【答案】(1)a(2)?3(3)9?4(4)8x+29【分析】（1）根據(jù)積的乘方和合并同類項的方法可以解答本題；（2）根據(jù)平方差公式將式子展開，然后合并同類項即可；（3）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題；（4）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題．【詳解】（1）?2==a（2）(x+y)(x?y)?(2x+y)(2x?y)==?3x（3）(3?2x+y)(3+2x?y)=[3?(2x?y)][3+(2x?y)]=9?=9?4x（4）4=4=4=8x+29．【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于?1，記為i2=?1，這個數(shù)i叫做虛部單位，把形如a+bi（a,b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個復(fù)數(shù)的實部，例如計算：(2?i)+(5+3i)=(2+5)+(?1+3)?(1+i)×(2?i)=1×2?i+2×i?i根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空：i3=_______，(2)計算：(1+i)×(3?4i)(3)比較32i2(4)計算：i+【答案】(1)?i；1(2)7?i(3)3(4)i?1【分析】（1）根據(jù)題目所給條件，可得i3=i（2）根據(jù)多項式乘法法則進行計算，結(jié)合題目所給已知條件，即可得出答案；（3）根據(jù)題意，可得32（4）先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計算，再合并即可求解．【詳解】（1）解：∵i3又∵i2∴i3∵i4又∵i2∴i4故答案為：?i；1（2）解：(1+i)×(3?4i)=1×3?4i+3×i?4=3+=7?i（3）解：∵i2∴32∵?3∴32（4）解：原式=i?1+=i?1．【點睛】本題考查整式的混合運算、復(fù)數(shù)的定義、有理數(shù)比大小，解本題的關(guān)鍵是準確解讀題意，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，難度適中．【變式3】（2022春·陜西西安·七年級?？计谥校┒xabcd|＝ad﹣bc，如13(1)若x+1x?1x?1x+1＝4，求x(2)若x+mx?1nx?12x+1的值與x無關(guān)，求n【答案】(1)1(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程，進而即可求解；（2）根據(jù)題意，列出關(guān)于m，n的代數(shù)式，從而得2﹣n＝0，2m+n+2＝0進而即可求解．【詳解】（1）解：依題意有：(x+1)2∴4x＝4，∴x＝1；（2）解：依題意有：（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1）＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m∵x+mx?1nx?12x+1∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0．∴n＝2，m＝﹣2．故n的值為2．【點睛】本題主要考查解方程，整式的混合運算，掌握整式的運算法則，列出方程，是解題的關(guān)鍵．同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·廣東深圳·七年級期中）下列運算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘除法法則，逐一判斷選項，即可．【詳解】解：A.a2B.a6÷C.a3D.?a2故選D．【點睛】本題主要考查整式的運算，掌握合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘除法法則，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級單元測試）如果x+12x+m的乘積中不含x一次項，則m為（

A．-2 B．2 C．12 D．【答案】A【分析】先計算出多項式乘以多項式，然后根據(jù)不含一次項求解即可．【詳解】解：由題意得，(x+1)(2x+m)=2x∵展開式中不含一次項，∴2+m=0，解得：m=-2故選A．【點睛】題目主要考查多項式乘以多項式中不含某一項，理解題意，掌握多項式乘以多項式法則是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·七年級期末）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是絕對值等于3的負數(shù)，則m2+(cd+a+b)×m+(cd)A．0 B．7 C．4 D．?8【答案】B【分析】利用相反數(shù)，絕對值，以及倒數(shù)的定義求出各自的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：根據(jù)題意得：a+b=0，cd=1，m=-3，則原式=9+（1+0）×（-3）+1=7，故選：B．【點睛】本題考查了相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)，有理數(shù)的運算的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出a+b=0，cd=1，m=-3．4．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考二模）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（3a）3＝3a3C．（﹣a4）?（﹣a3c2）＝﹣a7c2D．t2m+3÷t2＝t2m+1（m是正整數(shù)）【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項、積的乘方、單項式乘單項式、同底數(shù)冪的除法法則計算，判斷即可．【詳解】解：A中a2B中（3aC中（?D中t2m+3÷t故選：D．【點睛】本題考查了合并同類項、積的乘方、單項式乘單項式、同底數(shù)冪的除法．解題的關(guān)鍵在于正確的計算．5．（2023·湖南衡陽·衡陽市華新實驗中學(xué)?？家荒＃┫铝羞\算正確的是（）A．2a2+C．4a2÷2a=2【答案】D【分析】直接利用合并同類型法則以及冪的乘方法則，積的乘方運算法則，同底數(shù)冪的除法法則分別計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：A．2aB．?2a3C．4aD．a(chǎn)3故選：D【點睛】本題主要考查了合并同類型法則以及冪的乘方法則，積的乘方運算法則，同底數(shù)冪的除法法則，熟練掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·河南駐馬店·七年級校聯(lián)考階段練習）若（x+b）（x﹣a）＝x2+kx﹣ab，則k的值為（）A．a(chǎn)+b B．﹣a﹣b C．a(chǎn)﹣b D．b﹣a【答案】D【分析】已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件即可求出k．【詳解】解：（x+b）（x﹣a）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+kx﹣ab，得到b﹣a＝k，則k＝b﹣a．故選D．【點睛】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，則a﹣b的值為（）A．±2 B．±5 C．5 D．﹣2【答案】B【分析】一個數(shù)的平方為正數(shù)，那么這個數(shù)可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)，而兩數(shù)乘積為負，則兩個數(shù)異號，由此判斷a，b的值求解.【詳解】由a2＝4，則a=±2，b2＝9則b=±3，因為ab＜0，則a，b異號當a=2時，b=-3，則a-b=5，當a=-2時，b=3，則a-b=-5，所以選B.【點睛】兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負.8．（2023春·七年級課時練習）化簡[-2(x-y)]4·[-12(y-x)]2的結(jié)果為(

A．12(x-y)6 B．2(x-y)6 C．(x-y)6 D．4(y-x)【答案】D【詳解】原式=16故選D.【點睛】本題考查了積的乘方，單項式乘單項式.解答本題一是要注意一個負數(shù)得偶次冪是正數(shù)，二是注意底數(shù)是相反數(shù)因式的變形.9．下列運算正確的是（

）A．(ab)4=ab4 B．y32【答案】C【分析】直接利用冪的乘方和積的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘除運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：A、(ab)4=B、y3C、m6D、x3故選：C．【點睛】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方運算以及同底數(shù)冪的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·八年級單元測試）如果代數(shù)式（x﹣2）（x2+mx+1）的展開式不含x2項，那么m的值為（）A．2 B．12 C．-2 D．【答案】A【分析】根據(jù)“代數(shù)式（x﹣2）（x2+mx+1）的展開式不含x2項”可知x2系數(shù)等于0，所以將代數(shù)式整理計算后合并同類項，即可得出x2的系數(shù)，令其等于0解答即可.【詳解】原式=x=∵代數(shù)式不含x2項∴m-2=0,解得m=2故答案選A.【點睛】本題考查的是多項式的乘法和不含某項的問題，知道不含某項，代表某項的系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵.二、填空題11．若m是方程2x2?3x?1=0的一個根，則2【答案】2023【分析】根據(jù)題意可知2m2?3m?1=0，然后將2【詳解】∵m是方程2x∴22m2?3m+2018=2m故答案為：2023．【點睛】本題考查利用整體思想求代數(shù)式，注意切不可求出m的值然后求解，這樣計算量非常大，且不一定能夠求解出來．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）按如圖所示的運算程序，輸入一對數(shù)值，能使得輸出的結(jié)果為12，該數(shù)對(x,y)的值可以是．（寫出一對即可）．【答案】(2,4)．【分析】首先根據(jù)題目給出的運算程序以及最終輸出結(jié)果為12，我們可以逆向推導(dǎo)兩種可能的情況，進而找出滿足的程序及關(guān)系，解得符合條件的值填入即可．【詳解】解：根據(jù)題目所給程序以及最終輸出結(jié)果可分以下兩種情況考慮，x2+2y=12且y≥0，滿足的值很多，寫出一種即可．例如：x2?2y=12且y≤0，滿足的值很多，寫出一種即可．例如：故答案為：(2,4)．【點睛】本題是一道程序運算問題，主要考查的是求代數(shù)式的值，通過計算求得滿足不等式條件的二元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．13．已知2x-3y-3=0，則代數(shù)式6x－9y＋5的值為．【答案】14【分析】根據(jù)2x-3y-3=0，可知2x-3y=3，再根據(jù)6x－9y＋5可以變形為3（2x-3y）+5，即可得出答案.【詳解】∵2x-3y-3=0，∴2x-3y=3∵6x－9y＋5=3（2x-3y）+5∴原式=3×3+5=14故答案為14.【點睛】本題考查的是代數(shù)式的求值運算，根據(jù)式子的特點，采用整體代入的方法化簡求值是解題的關(guān)鍵.14．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）計算：6x2【答案】3x?4【分析】原式根據(jù)多項式除以單項式的運算法則進行計算即可得到答案．【詳解】解：6=6=3x?4故答案為：3x?4【點睛】本題主要考查了多項式除以單項式的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．若ab3=?2，則【答案】?24【分析】先根據(jù)單項式乘以單項式法則進行計算，再根據(jù)冪的乘方和積的乘方進行變形，最后代入求出即可．【詳解】∵ab3＝?2，∴(?3ab)?2ab5=?6a＝?6（ab3）2＝?6×（?2）2＝?24，故答案為：?24．【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，冪的乘方和積的乘方等知識點，能正確根據(jù)積的乘方和冪的乘方進行變形是解此題的關(guān)鍵．16．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖中的四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，利用圖中的字母，寫出一個正確的等式：．【答案】(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)【分析】根據(jù)圖形，從兩個角度計算面積即可求出答案．【詳解】解：(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)故答案為(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)．【點睛】本題考查多項式乘以多項式，解題的關(guān)鍵是熟練運用運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題17．計算：（1）(?2)3（2）?（3）5a（4）?