2025年高考數(shù)學一輪復習：第五章平面向量與復數(shù)

第五章

平面向量與復數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及運算

［學習要求］

1.了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何

表示和基本要素.3.掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.4.掌握平面向量數(shù)

乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運

算性質(zhì)及其幾何意義.

1必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點一向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大

向量平面向量是自由向量

小叫做向量的長度，（或稱模）

零向量長度為0的向量記作0,其方向是任意的

單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為土譚丁

方向相同或相反的非零向量（又叫

平行向量0與任意向量平行或共線

做共線向量）

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

知識點二向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

(1)交換律：

a+b=b~\~a；

三角形法則

加法求兩個向量和的運算

(2)結(jié)合律：

3

a(Q+6)+c=a+___Cb

平行四邊形法則+c)

求。與6的相反向量

減法—6的和的運算叫做aa-b—a-\-(一b)

。與6的差

三角形法則

|九a|=|/||（7|；

A(fia)=(Xjn)a；

求實數(shù)4與向量。的當力＞0時，觴的方向與a的方向

數(shù)乘(i+/z)q=2a+〃a；

積的運算相同；當力＜0時，觴的方向

與a的方向相反；當4=0

2(a+b)=Xa~\~Xb

時，Xu=0

知識點三共線向量定理

向量a（aWO）與6共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)4,使得b=Ia.

學生用書I第115頁

［小題診斷］

1.（多選）下列命題正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

C.若a,6都為非零向量，則使備+備=0成立的條件是。與6反向共線

D.若Q=b,b=c,則a=c

答案：BCD

解析：零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；由零向量的定義知，零向量的長度為0,

ab,ab

故B正確；因為丁與7yp都是單位向量，所以只有當了［與7VT是相反向量，即Q與b是反向共

線時才成立，故C正確；由向量相等的定義知D正確.

2.（2024?北京模擬）化簡同+近一前等于（）

A.DCB.CD

CADD.CB

答案：A

解析：AB+BC-AD=AC-AD=DC.

3.（2024?四川綿陽模擬）已知/（-2,4）,C（一3,-4）,且而=3刀，則點M的坐標

為—.

答案：（0,20）

解析：由題意得？1=（—2+3,4+4）=（1,8）,所以而=3m=（3,24）.

設/（X,?）,則屈=（x+3,y+4）=（3,24）,

所以｛=之笳解得｛=2°6,

故點"的坐標為（0,20）.

4.已知口/BCD的對角線/C和2。相交于點O,且耐=a,而=6,則沆=,麗=（用

a,b表示）.

答案：b~a—a~b

,關(guān)鍵能力重直探直二

考點一平面向量的有關(guān)概念

［例1］下列說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.平行向量不一定是共線向量

C.對于任意向量a,b,必有|a+b|W|a|+|6|

D.若a,b滿足|a|>|b|且〃與b同向，則a>b

［答案］c

［解析］依題意，

對于A,單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；

對于B,平行向量就是共線向量，故錯誤；

對于C,若a,6同向共線，|a+b|=|a|+|/）|,

若a,6反向共線，|a+b|<|a|+||,

若a,6不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知|a+b|<|a|+|6|,

綜上可知對于任意向量a,b,必有|a+b|W|a|+|6|,故正確；

對于D,兩個向量不能比較大小，故錯誤.

|方法總結(jié)|

向量概念的注意點

1.相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2.共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

由跟蹤訓練

1.下列命題中正確的是（）

A.若a=b,則3a>26

B.BC-BA-DC=AD

C.\a\+\b\=\a+b\^a與b的方向相反

D.若|a|=|b|=|c|,則a=b=c

答案：B

解析：對于A選項，由于任意兩個向量不能比大小，故A錯誤；

對于B選項，BC-BA-DC=AC+CD=AD,故B正確；

對于C選項，|a|+㈤=|a+b|oa與6的方向相同，故C錯誤；

對于D選項，若|a|=|b|=|c|,但a,b,c的方向不確定，故D錯誤.

考點二平面向量的線性運算

⑥角度（一）向量加、減法的幾何意義

［例2］在平行四邊形ABC。中，祐+石＜+麗等于（）

A.B1B.DX

C.DCD.BC

［答案］A

［解析］畫出圖形，如圖所示，

n___“

.I

AB

AB+CA+JD=（4S+B0）+CA^AD+CA=CA+AD^CD^BA.

⑥角度（二）向量的線性運算

［例3］（2024?河北保定模擬）如圖，在平行四邊形/BCD中，E是CD的中點，NE和AD相交

于點F.記荏=a,AD^b,則（）

—>21—>21

A.CF=一利一qbB.CF=§a+§b

—>12—>12

C.CF=一鏟一qbD.CF=-ja~\~^b

［答案］A

［解析］在平行四邊形48CD中，￡是。。的中點，

,~DEDF1

因為所以西=而=5，

~11

所以DF=3BF=］BD,

則CF=CO+DR=—AB-\-^DB=-48+式48—AD^——§48—§/￡)=一利一?b.

⑥角度（三）根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)

[例4](2024?四川綿陽模擬)如圖，在△ABC中，麗=2而，P為C。上一點，且滿足而=%

—>1——

AC-\-^AB(加￡R),則加的值為.

1

［答案］4

,)1>)))3>

［解析］因為AP=冽4cAD=2DB,即48=利。,

所以i4P=加24。+2718=機24。+424￡).

又C,P,。三點共線，

31

所以加+公=1,解得冽=￡.

學生用書I第116頁

|方法總結(jié)|

1.平面向量的線性運算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解.

(2

)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形

的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.

2.三種運算法則的關(guān)注點

(1)加法的三角形法則要求"首尾相接"，平行四邊形法則要求“起點相同

(2)減法的三角形法則要求"起點相同"且差向量指向“被減向量

(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算.

評跟蹤訓練

2.(2024?河南駐馬店模擬)在A48C中，|通+方|=|前一同|=|同+近|,則AISC是()

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

答案：A

解析：因為赤+而=萬，AC-AB=BC,AB+JC=AC,\AC+~CB\=\AC-AB\=\AB+BC\,

所以|同|=|前|=|前I，所以A48C是等邊三角形.

3.(2022?新高考/卷)在AIBC中，點。在邊48上，BD=2DA.蜿l=m,CD^n,則麗=

()

A.3機一2〃B.-2m+3〃

C.3加+2〃D.2加+3〃

答案：B

解析：由題意可知，DA=CA—CD=m—n,又BD=2DA,所以=21M=2(冽一〃),所以CB=

CD+DB=n—2(m—〃)=3〃—2m.

4.在ZUBC中，若麗=2麗，CD=^CA+^Bf貝I］丸=.

套口^案Ts；■?-3

解析：法一：由前=2而，知aB,。三點共線，

12

所以§+2=1,從而4=*

法二：由題意知方=8?+而，①

而=麗+麗，②

且24D+2BD=0.①+②義2,得3cZ)=C4+2CB,所以CD=§a4+§CB,所以幺=?

考點三平面向量共線定理的應用

⑥角度(一)向量共線問題

［例5］已知向量。=(-1,2),b=(1,2024),向量%=a+2b,”=2。一舫.若mg,則實數(shù)

k—.

［答案］—4

［解析］根據(jù)題意可知明6不共線,

若冽|歷，則使得加=力7,即〃+2b=/lQ2a-kb）—2Xa—kXb,

則可得QL=.隊解得］；二"

⑥角度（二）三點共線問題

［例6］（2024?四川綿陽模擬）已知平面向量a,6不共線，AB=4a+6b,BC=~a+3b,CD=a

+36,貝!I（）

A.A,B,。三點共線

B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線

D.A,C,。三點共線

［答案］D

［解析］對于A,BD=BC+CD=~a+3b+（a+3b）=6b,與荏不共線，A錯誤；

對于B,AB=4a+6b,BC^~a+3b,則同與麗不共線，B錯誤；

對于C,BC=-a+3b,CD=a+3b,則近與而不共線，C錯誤；

對于D,AC=AB+BC=4a+6b+（＜—a+3b'）=3a+9b=3CD,

即就||而，又線段/C與CZ）有公共點C,所以/,C,。三點共線，D正確.

|方法總結(jié)|

用向量共線證明三點共線問題的注意點

證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩

向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

由跟蹤訓練

5.（2024?廣東廣州模擬）在A42C中，〃是“C邊上一點，＞AM=|MC,N是AW上一點.若麗="

AC+mBC,則實數(shù)優(yōu)的值為（）

1111

A.-3B-6C-6D3

答案：D

-->1-->-->-->

解析：由4M=#/C,得出4C=34M,

-->1-->-->-->1-->-->-->=[^+rn^AC—mAB

由ZN=g/C+冽得24N=g/C+機(AC—AB)

=Q+3m

因為N,三點共線，所以?+）（一加）

8,M3ni+1,解得加=§.

6.（2024?山西太原模擬）如圖，在A4BC中，。是5。邊的中點，萬=領，C尸的延長線與交

于點N,則()

—>1—>BAN=^AB

A.aN=RB

-->1--?—>1—>

C.AN=^ABD.AN^AB

答案：B

解析：設方=2前,

則而=癡=扛；（AB+AC）1―>1-->A-->1—>

=AB+-7AC=TAN+AC.

7OOOO7

因為N,P,C三點共線,

所以%+%=1,解得2=5,

-->-->-->1-->

所以A8=5AN,所以aN=jl8.

學生用書I第339頁

■課時作業(yè)鞏固提個

[A組基礎保分練]

1.若。為任一非零向量，b的模為1,給出下列各式:

①IaI>I6|；②a||b；③IaI>0；④|6|=±1.

其中正確的是（）

A.①④B.③

C.①②③D.②③

答案：B

解析：|a|的大小不能確定，故①錯誤；兩個非零向量的方向不確定，故②錯誤；向量的模是一

個非負實數(shù)，故④錯誤，③正確.

2.（2024?河北邯鄲模擬）化簡方一麗+說所得的結(jié)果是（）

A.2ABB.2BA

c.oDJA

答案：c

解析：JA-~PB+AB='PA+AB-~PB=7B-JB=O.

3.下列說法正確的是（）

A.若向量。與6共線，6與c共線，則。與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點

C.若向量。與6不共線，則。與6都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

答案：C

解析：對于A,6可能是零向量，故A錯誤；對于B,兩個向量可能在同一條直線上，故B錯誤；

對于C,0與任何向量都是共線向量，故C正確；對于D,平行向量可能在同一條直線上，故D錯

、口

沃.

4.設a,6是非零向量，%力=|a||b向是％怙”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：由數(shù)量積定義知ab—|a|,|6|cos0—|a|?|6|（。為a,6夾角）,所以cos。=1,

[0°,180°],所以<9=0°,所以包|6;反之，當。|仍時，a,6的夾角6=0°或180°,a-b=±\

a\■\b\.

5.如圖，在四邊形4BCD中，。為兩條對角線的交點，且荏=沆，則必有（）

￡>_________C

丁

AB

KAD=CBB.O1=OC

CAC=DBD.D0=0B

答案：D

解析：?.?在四邊形48cD中，AB=DC,：.AB^CD,AB\\CD,四邊形48co為平行四邊形，.?.而

=0B,

6.（2024?廣東汕頭模擬）如圖，D,E分別為/C,2c的中點，設航=a,而=6,廠是的中

點，則而=（）

C

ZD/F\AE

AB

1111

A.]a+臥B.一印+臥

1111

C%Q+aD.-4。+/

答案：C

解析：因為。，￡分別為/C,的中點，咒是DE的中點，

—>—>—>1—>1—?1—?1—>

所以AF=AD+OF=2aC+20E=^AC+-^AB,

7.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.若N,B,C,。在一條直線上，則同與而是共線向量

B.若/,B,C,。不在一條直線上，則同與而不是共線向量

C.若向量荏與而是共線向量，則4,B,C,。四點必在一條直線上

D.若向量近與左是共線向量，則/,B,C三點必在一條直線上

答案：AD

解析：A項為真命題，A,B,C,。在一條直線上，則向量同，而的方向相同或相反，因此同與

而是共線向量；B項為假命題，A,B,C,。不在一條直線上，則同，麗的方向不確定，不能判

斷方與而是否共線；C項為假命題，因為詬，而兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以/,

B,C,。四點不一定在一條直線上；D項為真命題，因為同，左兩個向量所在的直線有公共點

A,且荏與左是共線向量，所以N,B,C三點共線.

8.（多選）下列命題正確的有（）

A.方向相反的兩個非零向量一定共線

B.單位向量都相等

C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

D.“若/,B,C,。是不共線的四點，且同=比”。"四邊形N3C。是平行四邊形”

答案：AD

解析：方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共線，故A正確；

單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯誤；兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向

量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，故C錯誤；A,B,C,。是不共線的點，

AB=~DC,即模相等且方向相同，即平行四邊形/BCD對邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

9.設|a|=8,|b|=12,則|a+b\的最大值與最小值分別為.

答案：20,4

解析：當a,6共線同向時，|a~\-b|=|a|+|b|=8+12=20,

當a,6共線反向時，|a+b1=1IaI—I6II—4.

當a,b不共線時，||a|—|6||<|a-\-b|<|a|+|Z?|,即4<|a-\-b\<20,所以最

大值為20,最小值為4.

10.設向量Q,b不平行，向量與一平行，則實數(shù)%=.

答案：-4

1

解析：?.?〃，b不平行，?,?q+ybWO,—Q+6W0.

又a+4Ab與一a-\~b平行，

?,?存在實數(shù)〃，使q+yb=/z(―。+6),

=1，

根據(jù)平面向量基本定理得|々〃.」=—4.

11.已知Q,b是不共線的向量，且荏=九。+4AC=a+X2b^v々ER).若力，B,。三點共線，則

丸1及=.

答案：1

解析：若/,B,。三點共線，則而，通共線，所以存在實數(shù)九使得前=4荏，則°+426=/1

(2]Ci+6),整理得(1—24])a+(42—力6=0.

因為a,b不共線，所以l="i,且&=九消去九得見狀2=1.

12.在zMBC中，。為△/IBC的重心.若麗=4荏+必尼，求力+2〃的值.

解：如圖，連接20并延長2。交NC于點M.

?.?。是A48C的重心，.?.M為NC的中點,

---->2-----?2/I---->1---->\

；.B0=qBM=§(/A+Cj

1—>1—>1—>1—>—?

=——式CAC—AB)

2—>1—>

=一748+孑4c.

----?---->----?21

又?，?2=一〃=§,

21

???2+2//=—§+2義京=0.

學生用書I第340頁

[B組能力提升練]

13.(2024?安徽蕪湖模擬)如圖，在等腰梯形中，AB=BC=CD=3AD,點E為線段CD上

靠近C的三等分點，點尸為線段3C的中點，則而=()

11—>5—>11—>11—>

B.--^AB-\—^AC

A.—lo+記1O4。

11—>4—?1----?5----?

一而-\~qAC

C.ioyD.-^AB+^AC

答案：A

,---->>?1>1>1>>1(>21>1>2>2>

解析：由題圖，得FE="+CE=/C+/O=](AC-AB)+^BA+^CB)=^AC-^AB+-^AB-^AC

1—?11—>5—>

--^AB=--r^AB-\-^AC.

5lolo

14.已知向量a,b不共線，且c=xa+b,d=a+(2x—1)6.若c與d共線，則實數(shù)x的值為

()

1

A.lB.—2

1i

C.l或一2D.-1或一2

答案：c

解析：因為c與d共線，則存在《￡R,使得d=Ar,即Q+(2X_1)b=kxa-\-kb.

〃Y=1

{k=2x-l,整理可得x(2%—1)=1,即2N—x—l=0,

解得x——2或1.

15.如圖所示，已知點G是A43C的重心，過點G作直線分別與N2,NC兩邊交于M,N兩點，設

xAB=AM,yAC=AN,貝的值為()

A

BC

A.3B.4

C.5D.6

答案：A

解析：延長4G交3。于點“（圖略），則以為8C的中點，

?；G為AABC的重心,

-'-AG=^AH=^y^2（ZB+4C）=§CABAC）=§（/M+p4N，=￡24M+豆ZN.

,:M,G,N三點共線，

1111

.*.3Q-%-1-丁3y=1,'即一x~I-y-=3.

16.（多選）設a,6是不共線的兩個平面向量，已知所=a+sina?,其中ad（0,2兀），礪=2a

—b若P,Q,R三點共線，則角a的值可以為（）

答案：CD

解析：因為a,6是不共線的兩個平面向量，所以2a—6W0,即礪W0.因為尸，Q,R三點共線，

所以所與武共線，所以存在實數(shù)九使所=4減，所以a+sina-6=2%一幼，所以［＜消:解

lol1luvzL,

r?17nlln

仔sina=-5.又（0,2兀）,故1可為■或

17.（多選）下列命題正確的是（）

A.若/,B,C,D四點在同一條直線上，且N8=CD,則屈=而

B.在△yiBC中，若。點滿足萬?+而+方=0,則。點是AIBC的重心

。若。=（1,1）,把。向右平移2個單位，得到的向量的坐標為（3,1）

cdeg\

（1^十而丁），則P點的軌跡經(jīng)過A43C的內(nèi)心

答案：BD

解析：對于A,如圖，

ABDC

A,B,C,。四點滿足條件，但而手而,故A錯誤；

對于B,設8c的中點為。，當51+南+左=0時，能得到（OB+OC）,所以。！=—2

OD,所以。是A42C的重心，故B正確；對于C,向量由向量的方向和模確定，平移不改變這兩

cdeg

個量，故C錯誤；對于D,根據(jù)向量加法的幾何意義知，以我行，而不為鄰邊所得到的平行四邊

形是菱形，點P在該菱形的對角線上，由菱形的對角線平分一組對角，得尸點在//C3的平分線

所在直線上，故D正確.

18.設。為八42。所在平面內(nèi)一點，而=一］同+如.若近=2反（RR）,則力=.

答案：一3

解析：為所在平面內(nèi)一點，AD=~^AB+^AC,：.B,C,。三點共線.

—>>—>>—>>----->1>A——1—>11

又BC=IDC（AeR）,.-.AC-AB=XAC-XAD,即4。=利8+〒4。，則元=一號，解得2=—3.

19.若點C在線段48上，且冬=|,則左=AB,前二AB.

32

合案：5一二

解析：設4C=3左（）>0）?則CB=2k,：.AB=5k,

---->3---->---->2----->

：.AC=^ABfBC=—^AB.

20.（2024?云南麗江模擬）在A48C中，點。在線段NC上，且滿足|而|=：|前|,。為線段

8。上任意一點，若實數(shù)x,y滿足而=x^+詢，貝心+；的最小值為_______.

4y

答案：4+2收

解析：由題意知點。滿足而=顯，故而=x^+y前=工荏+3歹而，由點0,B,。三點共線可

得x+3y=l,x>0,y>0,貝4+：=G+J（x+3y）=4+?+言4+2后當且僅當?=1即x

=A/3'—1，3—J3時等號成立?

學生用書I第117頁

第二節(jié)平面向量基本定理及向量線性運算的坐標表示

［學習要求］1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分

解及坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.4.能用坐標表示平面向量共

線的條件.

工必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點一平面向量基本定理

如果白，小是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量Q,有且只有

一*對實數(shù)丸1，22'使4=2工包+打⑦.

其中，不共線的向量｛的，該｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

知識點二向量線性運算的坐標表示

1.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

2.平面向量線性運算的坐標表示

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設（修，jvi），b—（M，為），則

a-\-b=（利+和，

a-b=（和一秘，力一”2），

Aa=（Axi,44i），IaI=J=］+y】.

（2）向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；

②設4（修，為），3（必，及），貝U

AB=（初一知及一"1），

22

\AB\=_J（x2—x1）+（y2—y1）_.

3.平面向量共線的坐標表示

設a=（xi，y\）,b=yi）>其中6W0,則all6=Xjjy2一苫2也=0.

［小題診斷］

1.（2024?四川成都模擬）已知向量ei，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，

不能作為基底的是（）

A.{e1,er—e2}B.{e1+e2,e1~3e2）

C.{e1一2氣,-3e1+6%}D.{2C］+30，2e1一3氣}

答案：C

解析：對于A,假設ei,為一共線，則存在使得（為一名），

因為白，益不共線，所以沒有任何一個丸￡R能使該等式成立，

即假設不成立，也即白，的一名不共線，則能作為基底；

對于B,假設的+以，—322共線，則存在使得的+。2=2（?1—3功），

即{2算上1無解，所以沒有任何一個九GR能使該等式成立，

即假設不成立，也即為+以，勺一3功不共線，則能作為基底；對于C,因為一34+6七=—3（ei—

2七），所以兩向量共線，不能作為一組基底；

對于D,假3殳2%+3以，2白一3七共線，則存在2￡R,

使得2ei+3e2=2（2勺-3。2）,

即{上式:飛無解，所以沒有任何一個26R能使該等式成立，即假設不成立，也即2ei+3e2,2e1一

3e2不共線，則能作為基底.

2.若4=（6,6）,b=（5,7）,c=（2,4）,則下列結(jié)論成立的是（）

A.a-c與b共線B.b+c與a共線

C.Q與c共線D.a+b與c共線

答案：C

解析：a-c=(4,2),因為4X7—5X2=18W0,所以Q—c與b不共線;

b+c=(7,11),因為7X6—6X11=—24W0,所以b+c與Q不共線；

b~c=(3,3),因為3X6—6X3=0,所以〃與b—c共線；

a+b=(11,13),因為11X4—2X13=18W0,所以Q+6與。不共線.

3.已知向量〃=(2,3),b=(—L2),若加a+筋與Q—2b共線，貝匕=.

分口7享H.■--2

4.已知O為坐標原點，向量方=(2,3),OB=(4,-1),且而=3而，則|而|

答案：\

,關(guān)鍵能力重點探究。

考點一平面向量基本定理及應用

您角度(一)用基底表示向量

［例1］(2024?湖北黃岡模擬)如圖，在梯形/BCD中，4BIICD,48=48,點E在線段C5

上，且CE=2￡8.設施=a,AD=b,則荏=()

5115

A.§a+2bB.5〃+能

1331

C.§Q+4b口孕+§6

［答案］D

—?1—?

［解析］在梯形4BCD中，ABWCD,且48=4CD,則DC=”B.

---->1---->

因為點￡■在線段C2上，且CE=2EB,則

---->---->---->---->13

BC=BA-\-AD-\-DC=—a+b+,a=b-不z,

.--->>>>1>1（3\31

所以，AE—AB-\-BE—AB-\-^BC—a-\-^\b一4a）=,a+效.

學生用書I第118頁

您角度（二）利用基底求參數(shù)

［例2］（2024?山東青島質(zhì)檢）在△/8C中，AN=^NC,若尸是直線3N上的一點，且滿足而=加

AB+^AC,則實數(shù)m的值為（）

A,-4B,-1

C.lD.4

［答案］B

［解析］根據(jù)題意，設麗=〃麗（〃GR）,

則而=屈+而=萬+〃麗=同+〃（AN-AB）=同+〃（顯一砌=（1-n）AB+^AC.

又AP=mAB+gXC,

（l-n=m,r=2

所以［號，解得｛Qn>

⑥角度（三）利用基本定理確定點

［例3］（多選）設點M是A48C所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）

A.若前=顯+顯，則點M是邊8c的中點

B.若前=2同一左，則點M在邊3C的延長線上

C.若箱=一前一而，則點〃是A42C的重心

D.若加=x荏+y尼，且x+y=］,則AWC的面積是AABC的面積的|

［答案］ACD

---->1--->1--->1---->1--->1--->1---->---->---->

［解析］對于A,由AM=248+24C,得2aB=必。一/1M,即8M=MC,則點M是邊3c的

中點，所以A選項正確；對于B,由莉=2同一而，^^AM-AB^AB-AC,所以前=而，則點

“在邊C2的延長線上，所以B選項錯誤；對于C,設3c邊的中點為，由前=一前一說，得

AM=MB-\-MC=2MD,由重心定義可知C選項正確；對于D,由4M=x4B+”4C,且x+y=J,

得2前=2x屈+2y尼，2x+2y=l,設。為A43C所在平面內(nèi)異于點M的一點，且而=27而，所

以而=2x屈+2y*，2x+2y=l,可知3,C,。三點共線，所以△MBC的面積是A48C的面積的

1

2，所以D選項正確.

|方法總結(jié)|

1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、

減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種：

(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

2.三點共線定理：A,B,P三點共線的充要條件是：存在實數(shù)九出使方=251+”赤，其中2+

〃=1,。為4B外一點.

內(nèi)跟蹤訓練

1.(2024?安徽六安模擬)如圖，在A43C中，。為線段2C的中點，點、E,尸分別是線段上靠

近D,/的三等分點，則前=()

--?1>1?>

A.—BE—qCFB.—/E—CF

-->—>4?—?

C.-BE-CFD,-gBE-CF

答案：C

解析：JE=~BD+~DE=~BD-^AD,則荻5="|麗一|旗①；

—>>>>2>-->3>3—>

CF=CD+DF=CD~^AD,則4D=]C。一,CF②；

①十②兩式相加，|AD=-|CF-|BE,即而=一血一而.

2.如圖，在平行四邊形中，NC與8。相交于點。，麗=3反.若而=4族+必而（九

〃GR）,則如（）

DC

E

A^---------

1

A.—2B.—2

1

C，2D.2

答案：B

解析：因為在平行四邊形48cD中，/C與2。相交于點O,可得。為AD的中點，

-->-->-->1-->1-->]-->]--?

由EB=3DE,可得K為。。的中點，所以AEuiaO+EADu裨O+EBC,

可得而=2荏一說，

又由4。=九4E+〃BC,所以4=2,〃=一1,所以「=-2.

3.已知向量萬5,方不共線，向量無=x瓦?+y話，則下列命題正確的是()

A.若x+y為定值，則/,B,C三點共線

8.若工=y，則點C在/4OB的平分線所在直線上

C.若點C為&4OB的重心，則x+y=l

D.若/,B,C三點共線，則x+y=l

答案：D

解析：向量51,相不共線，向量方=x51+M萬，則當x+y=l時，OC=xOA+(1-x)OB,即

Jc=xBA,A,B,C三點共線，x+y為其他定值時，A,B,C三點不共線，命題A錯誤，命題D

正確；若了=%由方=》就+了而，得瓦=x(O1+OS),則點C在以方，而為鄰邊的平行四

-->-->-->2

邊形的對角線上，命題B錯誤；若點、C為AAOB的重心,由。C=x。4+yOB,得x+y=§,命題C

錯誤.

考點二平面向量的坐標運算

⑥角度(一)點與向量的坐標表示

[例4](2024?內(nèi)蒙古赤峰模擬)如圖，在四邊形/BCD中，ZDAB=120°,ZDAC=30°,AB=

1,/C=3,AD=2,AC^xAB+yAD,貝ljx+y=()

3,

AD

A.2點B.2

C.3D.6

［答案］A

［解析］以Z為坐標原點，以4D為x軸，過點/作4。的垂線為歹軸，建立平面直角坐標系,

則4（0,0）,5（-1,y）,C（孚，

D（2,0）,

故前=（孚,|）,荏=（4或而=（2,0）,

故x+y—2^.

學生用書I第119頁

|方法總結(jié)|

1.向量的坐標運算常建立在向量的線性運算的基礎之上，若已知有向線段兩端點的坐標，則應考慮

坐標運算.

2.解題過程中，常利用"向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程（組）進行求解.

⑥角度（二）向量線性運算與共線的坐標表示

［例5］(2024?山東威海模擬)平面內(nèi)給定三個向量。=(3,2),b=(-1,2),c=(4,

1).

(1)若(a+Ar)||(2Z?—6?),求實數(shù)左；

(2)若d滿足(d—c)II(〃+b),且|d-c\=事,求d的坐標.

［解］(1)2b—a—2(—1,2)—(3,2)=(—5,2),

a~\~kc=(3,2)~\~k(4,1)=(4左+3,左+2).

由(〃+左c)||(2b—。)得一5(左+2)=2(4左+3),

16

.次=一行.

(2)設d=(x,y),c=(x,y)—(4,1)=(X—4,y—1),

且"一。=加(a+b)=m(2,4)=(2m,4m),

-'-2m=x-4,4m=y—1,

又|d-c|=*=|m|，4+16,.,.m=±|,

1

.,?當加=2時，d—(5,3),

1

當m=12時，d=(3,-1).

|方法總結(jié)|

1.一般地，在求與一個已知向量。共線的向量時，可設所求向量為加"ER

、然后結(jié)合其他條件列出

關(guān)于a的方程，求出4的值后代入而即可得到所求的向量.

2.如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若。=(孫