2021年高考全國乙卷數(shù)學(理)高考真題變式題16-20題-(學生版+解析)

2021年高考全國乙卷數(shù)學（理）高考真題變式題16-20題原題161．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題1基礎2．（文）已知正三棱柱的底面邊長為1，高為2，若其主視圖平行于一個側面，則左視圖的面積為__________．變式題2基礎3．如圖，在正方體中，點P是上底面內一動點，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________．變式題3鞏固4．如圖為某幾何體的三視圖，正視圖與側視圖是兩個全等的直角三角形，直角邊長分別為與1，俯視圖為邊長為1的正方形，則該幾何體最長邊長為_______.變式題4鞏固5．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為________.變式題5鞏固6．某零件的結構是在一個圓錐中挖去了一個正方體，且正方體的一個面與圓錐底面重合，該面所對的面的四個頂點在圓錐側面內．在圖①②③④⑤⑥⑦⑧中選兩個分別作為該零件的主視圖和俯視圖，則所選主視圖和俯視圖的編號依次可能為________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題6鞏固7．已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為的正方形，則這個正四面體的主視圖的面積為________．變式題7提升8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為__________.原題179．某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．變式題1基礎10．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：8

6

7

8

6

5

9

10

4

7乙：6

7

7

8

6

7

8

7

9

5（1）

分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）

分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；根據(jù)數(shù)據(jù)計算結果，估計一下誰的射擊水平較穩(wěn)定變式題2基礎11．已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）（2）表示，分別比較這兩組數(shù)的平均數(shù)的相對大小，以及方差的相對大小.

（1）

（2）變式題3鞏固12．某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計算(1)中樣本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?變式題4鞏固13．機床生產一批參考尺寸為的零件，從中隨機抽取個，量得其尺寸如下表(單位：)：序號12345678910尺寸6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1（1）求樣本零件尺寸的平均值與標準差；（2）估計這批零件尺寸位于的百分比.參考數(shù)據(jù)：取.變式題5鞏固14．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數(shù)學成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認，假設這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以表示.（1）當時，分別求出甲、乙兩組同學數(shù)學成績的平均數(shù)以及乙組的方差；（2）若甲組的數(shù)學平均成績高于乙組的數(shù)學平均成績，求的值.變式題6提升15．隨著社會的進步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用．某市環(huán)衛(wèi)局在、兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：住戶編號123456小區(qū)（分鐘）220180210220200230小區(qū)（分鐘）200190240230220210（1）分別計算、小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？原題1816．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．變式題1基礎17．如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值．變式題2基礎18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．變式題3鞏固19．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．變式題4鞏固20．如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，．（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值．變式題5鞏固21．如圖，在四棱錐，，，平面，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.變式題6提升22．已知正方形的邊長為，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上.(1)若為的中點，且直線與由，，三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.變式題7提升23．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.原題1924．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．變式題1基礎25．已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求n.變式題2基礎26．已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；變式題3鞏固27．已知數(shù)列滿足，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.變式題4鞏固28．已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．變式題5鞏固29．若的前n項和為，點均在函數(shù)y＝的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設，求數(shù)列的前n項和.變式題6提升30．記數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最大值.變式題7提升31．設數(shù)列的前項和為，已知，，其中.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有.原題2032．設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．變式題1基礎33．已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．變式題2基礎34．已知函數(shù)在處的切線方程．（1）求，的值；（2）求的單調區(qū)間與極小值．變式題3鞏固35．已知.（1）若有極大值或極小值，求的取值范圍；（2）若，求證：時.變式題4鞏固36．已知.（1）當有兩個零點時，求a的取值范圍；（2）當，時，設，求證：.變式題5鞏固37．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍．（2）當時，證明：．變式題6提升38．已知函數(shù)有兩個極值點．（1）求a的取值范圍；（2）求證：．2021年高考全國乙卷數(shù)學（理）高考真題變式題16-20題原題161．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題1基礎2．（文）已知正三棱柱的底面邊長為1，高為2，若其主視圖平行于一個側面，則左視圖的面積為__________．變式題2基礎3．如圖，在正方體中，點P是上底面內一動點，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________．變式題3鞏固4．如圖為某幾何體的三視圖，正視圖與側視圖是兩個全等的直角三角形，直角邊長分別為與1，俯視圖為邊長為1的正方形，則該幾何體最長邊長為_______.變式題4鞏固5．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為________.變式題5鞏固6．某零件的結構是在一個圓錐中挖去了一個正方體，且正方體的一個面與圓錐底面重合，該面所對的面的四個頂點在圓錐側面內．在圖①②③④⑤⑥⑦⑧中選兩個分別作為該零件的主視圖和俯視圖，則所選主視圖和俯視圖的編號依次可能為________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題6鞏固7．已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為的正方形，則這個正四面體的主視圖的面積為________．變式題7提升8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為__________.原題179．某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．變式題1基礎10．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：8

6

7

8

6

5

9

10

4

7乙：6

7

7

8

6

7

8

7

9

5（1）

分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）

分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；根據(jù)數(shù)據(jù)計算結果，估計一下誰的射擊水平較穩(wěn)定變式題2基礎11．已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）（2）表示，分別比較這兩組數(shù)的平均數(shù)的相對大小，以及方差的相對大小.

（1）

（2）變式題3鞏固12．某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計算(1)中樣本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?變式題4鞏固13．機床生產一批參考尺寸為的零件，從中隨機抽取個，量得其尺寸如下表(單位：)：序號12345678910尺寸6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1（1）求樣本零件尺寸的平均值與標準差；（2）估計這批零件尺寸位于的百分比.參考數(shù)據(jù)：取.變式題5鞏固14．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數(shù)學成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認，假設這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以表示.（1）當時，分別求出甲、乙兩組同學數(shù)學成績的平均數(shù)以及乙組的方差；（2）若甲組的數(shù)學平均成績高于乙組的數(shù)學平均成績，求的值.變式題6提升15．隨著社會的進步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用．某市環(huán)衛(wèi)局在、兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：住戶編號123456小區(qū)（分鐘）220180210220200230小區(qū)（分鐘）200190240230220210（1）分別計算、小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？原題1816．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．變式題1基礎17．如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值．變式題2基礎18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．變式題3鞏固19．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．變式題4鞏固20．如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，．（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值．變式題5鞏固21．如圖，在四棱錐，，，平面，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.變式題6提升22．已知正方形的邊長為，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上.(1)若為的中點，且直線與由，，三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.變式題7提升23．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.原題1924．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．變式題1基礎25．已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求n.變式題2基礎26．已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；變式題3鞏固27．已知數(shù)列滿足，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.變式題4鞏固28．已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．變式題5鞏固29．若的前n項和為，點均在函數(shù)y＝的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設，求數(shù)列的前n項和.變式題6提升30．記數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最大值.變式題7提升31．設數(shù)列的前項和為，已知，，其中.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有.原題2032．設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．變式題1基礎33．已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．變式題2基礎34．已知函數(shù)在處的切線方程．（1）求，的值；（2）求的單調區(qū)間與極小值．變式題3鞏固35．已知.（1）若有極大值或極小值，求的取值范圍；（2）若，求證：時.變式題4鞏固36．已知.（1）當有兩個零點時，求a的取值范圍；（2）當，時，設，求證：.變式題5鞏固37．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍．（2）當時，證明：．變式題6提升38．已知函數(shù)有兩個極值點．（1）求a的取值范圍；（2）求證：．參考答案：1．③④（答案不唯一）【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系.2．【分析】已知正三棱柱的底面邊長為1、高為2，若其主視圖平行于一個側面，則其左視圖必為此側面相對的側棱與其在這個側面上的投影及上下兩個底面三角形的高所組成的矩形，故求出底面三角形的高即可求出左視圖的面積【詳解】解：由題意得，正三棱柱、正視圖、左視圖，如下圖所示：為此側面相對的側棱與其在側面上的投影及上下兩個底面三角形的高所組成的矩形的面積，由于底面是邊長為1正三角形，故其高為，又正三棱柱的高為2，故此矩形的面積為，即其左視圖的面積為.故答案為：.【點睛】本題考查簡單空間圖形的三視圖，解題的關鍵是由棱柱的結構特征與三視圖的作法推測出左視圖的形狀與度量來，再根據(jù)面積公式求出其面積，本題對空間想像能力要求較高，可以借助實物圖形進行輔助判斷．3．【分析】分析點在不同位置時主視圖和左視圖的形狀，由此可分析面積并計算出面積的比值.【詳解】無論點P在上底面的什么位置，三棱錐的主視圖和左視圖均為三角形，且三角形有一邊相等，且該邊上的高相等，故所求比值為．故答案為：.4．【分析】由已知的三視圖，可得該幾何體是一個四棱錐，即可直接求出最長邊長.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示：該幾何體還原實物圖為四棱錐，為腰長為1的等腰三角形，平面，則，.∴最長邊為故答案為.【點睛】由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：①首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體底面的直觀圖；②觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.5．33π【分析】由幾何體的三視圖知，該幾何體的下半部分是底面半徑為3，高為4，母線長為5的圓錐，上半部分是半徑為3的半球，由此能求出該幾何體的表面積.【詳解】由幾何體的三視圖知，該幾何體的下半部分是底面半徑為3，高為4，母線長為5的圓錐，上半部分是半徑為3的半球，∴該幾何體的表面積，故答案為.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，關鍵是對幾何體正確還原，并根據(jù)三視圖的長度求出幾何體的幾何元素的長度，再代入對應的面積公式進行求解，考查了空間想象能力．注意“高平齊，長對正，寬相等”原則.6．⑤⑦（或①⑧）【分析】先選俯視圖，再由俯視圖選主視圖即可【詳解】若俯視圖為圖⑦，則主視圖為圖⑤，若俯視圖為圖⑧，則主視圖為圖①，故答案為：⑤⑦（或①⑧）7．【分析】根據(jù)俯視圖還原幾何體，再推測出主視圖的形狀，進而求解出主視圖的面積.【詳解】根據(jù)題意，正四面體的棱長可取為，且該正四面體的主視圖是一個底邊長為，腰長為的等腰三角形所以主視圖的高為從而可得主視圖的面積為．故答案為：.8．【分析】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖，將三棱錐補成長方體，計算出長方體的體對角線長，可得出外接球的半徑，結合球體的表面積公式可得結果.【詳解】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，且底面，由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，，且，所以，，則，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，可得，因此，該幾何體的外接球的表面積為.故答案為：.9．（1）；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.10．解：（1）7，7；（2）甲：3，乙：1.2，乙【詳解】分析：（1）先算出總環(huán)數(shù)再除以射擊次數(shù)即得平均值；（2）根據(jù)方差公式計算即可.詳解：（1）=1/10（8+6+…+7）=7（環(huán)）=1/10（6+7+…+5）=7（環(huán)）（2）S2甲=1/10[（8-7）2+（6-7）2+…+（7-7）2]=3（環(huán)2），S2乙=1/10[（6-7）2+（7-7）2+…+（5-7）2]=1.2（環(huán)2），（3）從平均數(shù)看甲﹑乙兩名戰(zhàn)士的成績相同．從看方差乙的方差較小，乙的射擊成績較穩(wěn)定．綜上乙射擊成績較好點睛：考查平均值、方差及方差的意義，方差越小越穩(wěn)定.屬于基礎題.11．甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)相等，甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差【解析】分別計算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差即可得出結論.【詳解】甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)分別為甲，乙.甲、乙兩組數(shù)的方差分別為甲，乙.所以甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)相等，甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差.【點睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)和方差，并進行比較大小，關鍵在于熟練掌握公式，準確計算.12．（1）見解析；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，求出樣本的年齡數(shù)據(jù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式求出其平均數(shù)和方差即可；（3）求出﹣s和+s，從而求出其所占的百分比．(1)36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以它在組中的編號為2，所以所有樣本數(shù)據(jù)的編號為4n－2(n＝1，2，…，9)，其年齡數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由均值公式知：由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.(3)因為s2＝，s＝，所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)等于年齡在區(qū)間[37，43]上的人數(shù)，即40，40，41，…，39，共23人，所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)所占的百分比為×100%≈63.89%.13．（1），；（2）.【分析】（1）由平均數(shù)和標準差計算公式可直接計算求得結果；（2）由（1）可求得區(qū)間為，利用樣本估計總體的思想可直接計算得到結果.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)得：，，；（2）由（1）可知：，.這件樣本中，尺寸在內的共有件，以樣本估計總體，則這批零件尺寸位于的百分比約為.14．（1）甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，乙的方差；（2）.【分析】(1)由莖葉圖可得甲、乙兩組三個數(shù)據(jù)，再利用平均數(shù)、方差公式即可作答；(2)由給定條件列出平均數(shù)的不等式，再由a是不超過9的自然數(shù)得解.【詳解】（1）甲組的平均成績是，乙組的平均成績是，乙組的方差是；（2）因乙組的平均成績是，而，由(1)知，a是不超過9的自然數(shù)，，所以的值是0.15．（1）210分鐘，215分鐘；，；（2）①15元；②64元.【分析】(1)根據(jù)各小區(qū)的數(shù)據(jù)直接求平均數(shù)和方差即可；(2)分別算出兩個小區(qū)進行垃圾分類所用的時間，再算出每戶所承擔的費用.【詳解】（1）（分鐘），（分鐘），，；（2）①按照方案，小區(qū)一月至少需要名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費用是元，每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要215分鐘進行垃圾分類，一月需要（分鐘），小區(qū)一月平均需要分鐘的時間用于生活垃圾分類，∵一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算標準，每月按照28天作為計算標準，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于4名普通居民對生活垃圾分類的效果，∴小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），則每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），16．（1）；（2）【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結交于點N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標系+空間向量法設平面的法向量為，則，，由，取，可得，設平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構造長方體法+等體積法

如圖，構造長方體，聯(lián)結，交點記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點評】（1）方法一利用空坐標系和空間向量的坐標運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構造長方體方法+等體積轉化法，技巧性較強，需注意進行嚴格的論證.17．（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的空間坐標，根據(jù)向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，,,設是平面CDF的一個法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。18．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）以點D為原點，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出，利用數(shù)量積即可證明.（2）求出兩平面PAM與平面PDC的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦．【詳解】解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.以點D為原點，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標系.則，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.設平面的一個法向量為，則由得令，解得.同理，可求平面PDC的一個法向量.所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：.即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.19．（1）見解析（2）【分析】（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明．（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【詳解】解：（1）由題設知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz.當三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點.由題設得，設是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結合，將幾何問題轉化為代數(shù)問題進行求解，考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．20．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)長方體的性質，應用勾股定理可得，即可證；（2）構建以D為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值，進而求其正弦值即可.【詳解】（1）由知：，又，∴，又，∴連接，，即，得證.（2）構建以D為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，由，若，則，∴，則，，若是面的一個法向量，則，若，得，若是面的一個法向量，則，若，得，∴，則二面角的正弦值為.21．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由平面，得，再根據(jù)，可得平面，從而可得出，再根據(jù)，可得，連接，證得，再根據(jù)，即可證得平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可得出結論；（2）由（1）知平面，，以為原點，以所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以.又因為，，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.連接.因為，所以，，得，又，所以，即.因為平面，平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知平面，，以為原點，以所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，設，則，，，，，，，.設平面的一個法向量為，則得所以.令，得，所以.設平面的一個法向量為，則得所以，，得，所以.則，即平面與平面夾角的余弦值為.22．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)面面位置關系判斷點的位置，再根據(jù)線線平行證明線面平行；（2）設，利用坐標法根據(jù)線面夾角為可得的值，再；利用坐標法求二面角余弦值.（1）證明：因為直線平面，故點在平面內也在平面內，所以點在平面與平面的交線上(如圖所示).因為，為的中點，所以，所以，，所以點在的延長線上，且.連接交于，因為四邊形為矩形，所以是的中點.連接，所以為的中位線，所以，又因為平面，所以直線平面.（2）解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,取的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以設（），則，設平面的法向量，則所以，取，則，所以.因為與平面所成的角為，所以所以，解得或，所以存在點，使得直線與平面所成的角為.設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，，設二面角的大小為.所以.因為當時，，此時平面平面，所以當時，為鈍角，所以.當時，為銳角，所以23．（1）證明見解析；（2）；（3）4【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結合面面平行的判定定理和性質進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明：取AB中點F，連接MF、NF，為AD中點，，平面BDE，平面BDE，平面BDE.為BC中點，，又D、E分別為AP、PC的中點，，則.平面BDE，平面BDE，平面BDE.又，平面MFN，平面MFN，平面平面BDE，又平面MFN，則平面BDE；（2）底面ABC，.以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.，，0，，0，，4，，0，，2，，2，，則，，設平面MEN的一個法向量為，由，得取，得.由圖可得平面CME的一個法向量為..由圖可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為，則正弦值為；（3）設，則0，，，.直線NH與直線BE所成角的余弦值為，.解得：.當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為4.24．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學歸納法證明．當時顯然成立．假設當時成立，即．那么當時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關系，從而證得結論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結合得到，從而證得結論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學歸納法證得結論．（2）由（1）的結論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關系求得的通項公式；25．（1）；（2）.【分析】（1）由、的關系求，可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可寫出的通項公式；（2）由等比數(shù)列前n項和公式有，結合已知條件求n即可.【詳解】（1）當時，；當，，即，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2），由，得，解得.26．證明見解析【分析】利用已知及等差數(shù)列的定義化簡即可證得結果.【詳解】證明：，，是以為首項，為公差的等差數(shù)列.27．（1）

（2）【分析】（1）根據(jù)條件，構造數(shù)列，可知為等比數(shù)列，進而利用等比數(shù)列的通項公式可求得的通項公式．（2）由同底數(shù)冪的乘法運算，可得，利用遞推公式可得，再檢驗即可求得的通項公式．【詳解】（1）而，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列即因此（2）∵即

①當時，

②－②得∴經(jīng)驗證也滿足上式因此【點睛】本題考查了數(shù)列的綜合應用，構造數(shù)列法和遞推公式法在求通項公式中的應用，屬于基礎題．28．（1）證明過程詳見解析，；（2）【分析】（1）對題目所給等式兩邊除以，化簡得，由此證得是等差數(shù)列，并求得其通項公式，進而求得的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得的前項和.【詳解】（1）由兩邊除以，化簡得，則數(shù)列為等差數(shù)列.其首項為，公差為，故，所以.（2）由于，所以，，兩式相減得，化簡得.【點睛】本小題主要考查已知遞推關系求數(shù)列的通項公式，考查錯位相減求和法，屬于中檔題.29．（1）；（2）.【解析】（1）通過點()均在二次函數(shù)的圖象上，求出，利用，求解數(shù)列的通項公式；（2）通過，數(shù)列的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可.【詳解】（1）由題意知：當n時，當n=1時，，適合上式.（2）【點睛】關鍵點睛：（1）解題關鍵是利用進行求解；（2）解題關鍵在于利用裂項求和法進行求和30．（1）.（2）4【分析】(1)分析得,再由,等式兩邊同除以即可證明數(shù)列是等差數(shù)列,進而求得,再根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關系求解數(shù)列的通項公式即可.(2)根據(jù)(1)可知當時,,再整理求解二次不等式即可.【詳解】（1）當時,若,則由,得,這與相矛盾,所以.由,等式兩邊同除以并整理,和.所以數(shù)列是首項為,公差的等差數(shù)列.所以,化簡得.所以當時,.又因為,不符合上式,所以（2）由（1）知易知.所以由題意,得,整理,得.解得.所以使成立的的最大值是4.【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項的關系?數(shù)列的遞推公式,考查推理論證能力以及化歸轉化思想.31．（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）令，可求出；（2）原式可化為，當時，，兩式相減，整理可得，即數(shù)列從第二項起是以1為公差的等差數(shù)列，可求出的表達式，進而可得到的通項公式；（3）由（2）知，當時，，進而可推出，然后驗證和時，不等式都成立，即可證明結論成立.【詳解】（1）令，則，即.（2）由題意，①，當時，②，①-②得，，則，即，所以，即數(shù)列從第二項起是以1為公差的等差數(shù)列，且，所以當時，，則，又，符合，故的通項公式為.（3）當時，成立；當時，成立；當時，，則.綜上所述，對于一切正整數(shù)，都有.【點睛】本題考查利用遞推關系求通項公式，考查放縮法在證明數(shù)列不等式中的運用，考查學生的推理論證能力與計算求解能力，屬于難題.32．（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數(shù)不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區(qū)間內是增函數(shù)，在區(qū)間內是減函數(shù)，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（?。┊敃r，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質分類轉化分式不等式：當時，轉化為證明，當時，轉化為證明，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，進而證得；方法二利用不等式的性質分類討論分別轉化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后