河北省唐縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)考試試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘一、單選題1.“”是“直線與直線平行”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2.若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.3.若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.4.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.如圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C.1 D.5.已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最小值為A.6 B. C. D.6.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，且，則（）A. B. C. D.7.若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于則半徑r的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題9.已知橢圓，則下列說法中正確的是（）A.橢圓的焦點(diǎn)在軸上 B.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C.橢圓的焦距為4 D.橢圓的離心率為10.（多選）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，，圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值可以是（）A.1 B.4 C.3 D.511.如圖，一個(gè)漏斗形狀的幾何體上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則（）A.該幾何體的體積為B.直線與平面所成角的正切值為C.異面直線與的夾角余弦值為D.存在一個(gè)球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上三、填空題12.過點(diǎn)，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為_______.13.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).若，，則橢圓的離心率為_______.14.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的最小值是_______.四、解答題15.如圖，已知圓：，點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中曲線為，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦長(zhǎng).16.已知圓：關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，若直線過點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.17.如圖，已知平面，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的大小.18.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.19.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為，記外接圓圓心記為M.求：（1）圓M的方程；（2）已知圓N：，過圓M和圓N外一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，與圓M切于點(diǎn)A，與圓N切于點(diǎn)B，且，求P點(diǎn)的軌跡方程.

數(shù)學(xué)答案1-8.AAAADCBB9.ABD10.AD11.ABD12.或13.14.15.（1）連接，由題意得圓的圓心為，半徑為4，且，所以，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡為橢圓，其方程為.（2）解：設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，則，且，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，弦長(zhǎng).16.（1）由題意可知圓：的圓心坐標(biāo)，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過點(diǎn).即的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，直線過點(diǎn).設(shè)直線的方程為，即化為一般式：，直線與圓相切，則，即，解得，所以的方程為：，即.綜上，當(dāng)直線與圓相切，直線的方程為或.（2）圓：的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，因?yàn)閳A關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，所以，解得，圓的圓心為，半徑為1.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過圓的圓心，，不符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，直線過點(diǎn).設(shè)直線的方程為，即化為一般式：，圓心到直線的距離.若直線與圓交于兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理可得，解得，所以直線的方程為或17.（1）取中點(diǎn)，連接，，，如圖所示，又因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)椋c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，?）由（1）得四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成角，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，，，所以，由，所以，所以直線與平面所成角為.18.（1）由題意：，，∴，同理，又，∴，∴.而，即又平面平面，平面平面平面，∴平面平面，∴，又，且面面，，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)，有，取面的一個(gè)法向量，則，，故.令是平面的一個(gè)法向