高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題 拓展專項(xiàng)練習(xí)（學(xué)生版+解析）

第13講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(高階拓展)

(核心考點(diǎn)精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題

2能用洛必達(dá)法則解決極限等問題

【命題預(yù)測】洛必達(dá)法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確

定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式

說明，能備考使用即可.

知識講解

洛必達(dá)法則：

法則1若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件:

(1)lim/(%)=0及l(fā)img(x)=0；

⑵在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，/(X)與g(尤)可導(dǎo)且g(x)#0;

f'(x\

(3)lim^-z4=I,

fg(X)

y(%)/'(x)

那么lim^4=lim^4=

』g(x)—g'((xX)9

法則2若函數(shù)/(x)和g(尤)滿足下列條件：

(1)=oo及l(fā)img(x)=oo；

(2)在點(diǎn)〃的去心鄰域內(nèi)，/(X)與g(%)可導(dǎo)且g'(%)W0；

ff(x)

⑶lim=4=I,

fg⑺

f(%)/'(%)00

那么=4=/。一型

fg⑺i00

注意：

1.將上面公式中的-8換成+8,%-—8,%—。一洛必達(dá)法則也成立。

2.洛必達(dá)法則可處理,0-oo,F,oo°,0°,oo-oo型。

000

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足-,-,0-OO,r,8°,0°,OO-8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會

000

出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

lim以也==如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。

X—g（x）ig（%）ig（%）

考點(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中校考期中）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也

可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極

限來確定未定式值的方法，如===則理霽[=（）

x->01x30%x->0]人十人4

1?

A.gB.-C.1D.2

23

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為g型，比如：當(dāng)了f0時,

的極限即為《型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛

x0

必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

2

ex-1exY-1

lim-------二lim---------二lim一二1'貝()

xf0%x->0￡x->0]%-1xInx

A.0B.3C.1D.2

即時檢測

1.（2022?廣東韶關(guān)??？寄M預(yù)測）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，

用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再

求極限來確定未定式值的方法.如：的電三=lim?且=lim吧=1，按此方法則有癡心二=.

x->0%xf0￡x-?0]zosinx

2.（2022春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》

一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過

對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：iim^==lim—=1-按此方

x->0%x-0x->0|

xr_2

法則有l(wèi)im』一±=____.

xf°1-COSX

3.(2023春?山東泰安?高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))我們把分子，分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱

為2型，比如：當(dāng)x-0時，處的極限即為:型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早

0%0

在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法(洛必達(dá)法則)，用以尋找滿足一定條

件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式

值的方法.

tn.,■sinx(sinx)cos尤1iji||e>+e'_2_

su.hm------=hm---------=lim------=1>火luil項(xiàng)TI,-------

x->0%x->0￡x->0[Xf0]_COSX

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))我們把分子、分母同時趨近于。的分式結(jié)構(gòu)稱為號型，比如：當(dāng)x-0時，

的極限即為入型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛

x0

必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

lim—=limfe—=lim—=lime*=e°=1'則^=-------

x->0%xf0￡x->01x->0"1

考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問題

☆典例引領(lǐng)

1.(全國高考)已知皿+工>電工+K恒成立，求k的取值范圍

x+1xx-1X

2.(天津高考)\/xG[0,+oo),x-ln(x+1)<ax2恒成立，求。的取值范圍

3.(全國高考)VXG(0,+oo),-1-X-<2X2..O恒成立，求a的取值范圍

即時檢測

1.(全國高考)Vxe(0,+oo),ln(x+l)...-^-恒成立，求a的取值范圍

1+x

2.(全國高考)Vxe(1,+co),(x+1)Inx-a(x-1)>0恒成立，求a的取值范圍.

3.(全國高考)xe[0,2sinx-xcosx-x>ax恒成立，求a的取值范圍

【能力提升】

1.(2020秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

2x

〃x)=(1+%)e~,g(x)+—+1+2%cosx.當(dāng)xG[0,1]時，

(I)求證1-;

(ID若恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

2.(2022秋?貴州貴陽?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2hw+gx2-0g(x)=/(^)+3x-1x.

⑴當(dāng)a=3時，求函數(shù)的極值；

⑵對任意x?0,+8),g(x)<。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑴=ln(x+l)+aer-a,aeR.

⑴當(dāng)a=l時，證明在(0,+s)是增函數(shù)；

⑵若無?0,物),/(%)>0,求。的取值范圍.

4.(2022秋?遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x+l)+a(必-x),其中awR.

(I)討論函數(shù)/'(x)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；

(II)若Vx>0,〃x)20成立，求。的取值范圍.

5.(2023春?陜西西安?高三西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)〃力=辦-2-Inx(awR).

⑴若“力在點(diǎn)(ej(e))處的切線斜率為L求a的值；

e

(2)當(dāng)。>0時，求的單調(diào)區(qū)間；

⑶若g(x)=ax-e",求證：在尤>0時，f(x)>g(x).

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃元)=6+，。(。>0)的圖象在點(diǎn)(1,“功處的切線方程為丫=尤-1.

(1)用4分別表示b,c；

(2)若/(x)之lax在上+?)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.(2021春?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)了(力=d-1-％一初2.

(1)若。=0,求“X)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)尤20時/（尤）20恒成立，求。的取值范圍.

8.（福建廈門?高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃引=0，-二-2尤.

（1）討論〃x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）=/（2x）-4妙⑺，當(dāng)x>0時，8（尤）>0,求b的最大值；

（3）已知1.4142〈&<1.4143，估計(jì)比2的近似值（精確到0.001）

Y1

9.（吉林長春?高三東北師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=^~-+—-1

Ax+1e

（1）證明：當(dāng)4=0時，/W>0；

（2）若當(dāng)轉(zhuǎn)0時，/（x）>0,求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

10.（2022.河南信陽?統(tǒng)考一模）己知函數(shù)/'（無）=x-ln（x+a）的最小值為0,其中a>0.

（I）求。的值；

（II）若對任意的xe[0,+8）,有/（x）4質(zhì)2成立，求實(shí)數(shù)％的最小值；

（III）證明ZyfTn（2〃+l）<2（weN*）.

z=i2z—1

第13講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(高階拓展)

(核心考點(diǎn)精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題

2能用洛必達(dá)法則解決極限等問題

【命題預(yù)測】洛必達(dá)法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確

定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式

說明，能備考使用即可.

知識講解

洛必達(dá)法則：

法則1若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件:

(1)lim/(%)=0及l(fā)img(x)=0；

⑵在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，/(X)與g(尤)可導(dǎo)且g(x)#0;

f'(x\

(3)lim^-z4=I,

fg(X)

y(%)/'(x)

那么lim^4=lim^4=

』g(x)—g'((xX)9

法則2若函數(shù)/(x)和g(尤)滿足下列條件：

(1)=oo及l(fā)img(x)=oo；

(2)在點(diǎn)〃的去心鄰域內(nèi)，/(X)與g(%)可導(dǎo)且g'(%)W0；

ff(x)

⑶lim=4=I,

fg⑺

f(%)/'(%)00

那么=4=/。一型

fg⑺i00

注意：

1.將上面公式中的-8換成+8,%-—8,%—。一洛必達(dá)法則也成立。

2.洛必達(dá)法則可處理,0-oo,F,oo°,0°,oo-oo型。

000

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足-,-,0-OO,r,8°,0°,OO-8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會

000

出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

lim以也==如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。

X—g（x）ig（%）ig（%）

考點(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中?？计谥校﹥蓚€無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也

可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極

限來確定未定式值的方法，如===則理霽［=（）

x->01x30%x->0］人十人4

1?

A.gB.-C.1D.2

23

【答案】B

【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可.

1+1

［詳解］++二.

x—ix+x—2X-］（尤2+1_2）x-i2%+13

故選：B.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為，型，比如：當(dāng)龍->0時,

的極限即為!型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛

x0

必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

x尤2—1

xex-l

e-l=.土=1，則limf—)

lim=lim------理11

x->0x￡

A.0B.1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可

【詳解】鳴宗=!曾2x

=lim=2,

x->l3x2lnx+x2

故選：D

即時檢測

1.(2022.廣東韶關(guān)??？寄M預(yù)測)1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，

用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再

求極限來確定未定式值的方法.如：.皿=lim?且=lim嗎=1，按此方法則有1面之二=_____.

f

尤一oxxrox%-o1x-。sinx

【答案】2

【分析】由洛必達(dá)法則，分別對分子和分母求導(dǎo)，代入x=0即可求得該極限值.

e*-e-1(ex-xx

【詳解】由題意可得：lim=lim----e-~--)=lim匚e?+二e-=2.

z。sinx5(sinx)'…cosx

故答案為：2.

2.(2022春.四川成都.高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》

一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過

對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：iim型U=⑸11J=吧=1，按此方

x->0%x->0x->0]

法則有.

1。1-cosX

【答案】2

【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達(dá)法則，直接計(jì)算可求得答案.

x-xx%-xx-x

心--2(e+e-21e_e--e1e+e

【詳解】由題意可得：lim----------=lim-----------=lim-------=lim-------=lim-------=2,

31-C0SX…(I-COSX/sinV…(sit!X)'…C0SX

故答案為：2.

3.(2023春?山東泰安?高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí))我們把分子，分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱

為:型，比如：當(dāng)龍->0時，皿的極限即為?型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早

在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法(洛必達(dá)法則)，用以尋找滿足一定條

件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式

值的方法.

如：lim皿=lim如巨=lim土=1，則呵產(chǎn)==—?

x->0%x->0%'x-0]"f°1COSX

【答案】2

【分析】根據(jù)題設(shè)對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限即得.

QX-X_?+e-x-2)-e~x(ex-e-x1x-x

［詳解］由題可得lim+E~-二lim^---------人=lim=lim^-------Jme+e=2.

71-cosxx(1-cosx/5sinx(sinxy…cosx

故答案為：2.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為［型，比如：當(dāng)xf0時,

x_10

與e」的極限即為!型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛

x0

必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

x則lim平

=linJe叫=lim—=lime=e°=l

x->0%x->0￡x-?01x->0XflX-1

【答案】1/0.5

【分析】依據(jù)洛必達(dá)法則去計(jì)算即可解決.

—”r九21nx(/In，)2xlnx+x(11

【詳解】hm—；-------=lim-------=lim---------=limInx+—=lnl+—=—

一％2_]f&2_]丫—2x—I2)22

故答案為：g

考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問題

典例引領(lǐng)

Inx1Inxk

1.(全國高考)已知++-恒成立，求k的取值范圍

x+1xx-1X

Inx1Inxk,2xlnx2xlnx,

解：----+->-----+—。左<-----+1記g(xz)x=------+1,

x+lxx-1X1-x21-X2

,2(x2+l)lnx+2(l-x2)

貝必⑴—一:“knx+H

I)

1-x1

I己//(x)=lnx+

x-+l

,14x(1-x2)

則丸(x)=L——=-----^>0

X(1+尤2『小+#2

所以，h(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，且加1)=0

所以xe(0,1)時，h{x)<0,xG(1,+oo)時，h(x)>0

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增

所以

2xlnx

k<limg(x)=lim+1

x->l'7x->ll-x2

2xlnxi「2+21nx111c

=lim+1=lim--------------bl=l-l=0

x->l1-x2n-2x

所以上<0

分析

QYInx0

上式中求lim-一白+l用了洛必達(dá)法則當(dāng)xfl時，分子2xlnx90,分母l-x2^0,符合-

e-20

2xlnx2+2lnx

不定形式，所以limlim=-l

l-x2-2x

2.(天津高考)VxG[0,+oo),%-ln(x+1)<ax2恒成立，求Q的取值范圍

5i/.、21ln(x+1)

解:x-ln(x+l)<ox<^>a>--------——

XX

1ln(x+l)

記g(x)=------------,

XX5

x2+2%…/1、

--------------1-21n(%+1)

貝1gM=——七日~；--------------

x2+2x

記/z(x)=-+21n(x+l)

x+1

則fi(x)=

(X+1)2

所以，當(dāng)xG[0,+oo)時，h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

所以/z(x)>/z(O)=O,即g\x)>0,

所以gmax(x)=limg(0)

x->0

所以

a>gmax(x)=limg(O)=lim--

x—>0x—>0xJQ

11

x-ln(x+l),.X+li?(元+1)21

=lim=lim——=lim------

2

x—>0x2x%-022

所以a>-

2

3.(全國高考)Vxe(0,+8),/—1—x—奴2..0恒成立，求a的取值范圍

ex—x—1

解:e*—1—x—cix^..0a<

2

X

記g(x)=f

，,、xcx—2e"+x+2

則g⑴二--------;-------

x

記/i(x)=xex-2ex+x+2

貝ijh(x)=xex-ex+1

h(x)=xex>0

所以，h’(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，所以/(%)>“(0)=0

所以，h(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)=Q

即在(0,+oo)上g(x)>0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

所以

ex—x—1=lim-^-^=lim—=-

a<limg(x)=lim

x->0x->0X2。2x%-。22

所以a<-

2

即時檢測

4^4_____________

Z7V

1.(全國高考)Vxe(0,+oo),ln(x+l)...-^恒成立，求a的取值范圍

1+x

,、、以，(x+l)ln(x+l)

解：［n(x+l)2-----?a<-—————-

1+xx

記g(x)=(x+l)g+l),

X

，x-ln(x+l)

則g(%)=-----J----

X

記h(x)=x-ln(x+1)

則/z(x)=-^―

x+1

所以，當(dāng)(0,+oo)時，/2(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增,

所以/z(x)>/z(O)=O,即g\x)>Q,

所以gminW=limg(O)

x->0

所以

,、，、(x+l'llnfx+l)

<gmin(x)=hmg(O)=hm^----7----』

'zx->0''x->0%

「l+ln(x+l1+0i

=lim-----------=----=1

%.°11

所以a<\

2.(全國高考)Vxe(1,+QO),(x+l)lnx-(2(x-l)>0恒成立，求a的取值范圍.

解:

(x+l)lnx

(x+1)]nx-a(x-l)>00

x-1

/、(x+l)lnx

記g(x)=—一

x-----2Inx

則g'(x)

(x-1)2

i己/z(x)=x----21n元

x

rii'/、112(%—I)?

貝!J/z(x)=1+———=------..D

XXX

所以，當(dāng)xe(l,+00)時，h(x)單調(diào)遞增,

所以h(x)>h(l)=Q,即g(x)>0,

所以gminW=limg(l)

所以

(x+l)lnx

a<

x-1

?1I

Inx+1H—

=lim---------=2

x—>1+j

所以a<2

3.(全國高考)xe[0,^],2sinx-xcosx-x>ox恒成立，求a的取值范圍

解：當(dāng)x=0時，a^R,

9einx

當(dāng)工￡(0,萬]時，不等式可化為a<-------cosx-1.

X

2sinx1

記h(x)--------cosx—l,

X

,2XCOSX+(%2一2卜in%

則h(%)=2

x

記0(x)=2xcosx+(12_2)sinx,則(p(x)=x2cosx,

當(dāng)xef0,j時，(p(x)>0；當(dāng)xefj時，0(x)<O.

2sinx

因?yàn)閘im/z(x)=lim-------2=lim2cos%一2=0,并且/Z(TT)=0,所以h(x)>0.這時a<Q符合

00JQ0

題意.綜上可知，a的取值范圍是(-oo,0].

【能力提升】

I.(2020秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=(1+%)6口超(芯)=〃%+5+1+2比0$冗.當(dāng)xw[0,1]時，

(I)求證1-

(II)若Ng⑴恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴見解析(II)(-8,-3]

xxxx

【詳解】試題分析：(1)將問題轉(zhuǎn)化為證明(1+x)e->(l-x)e與"Nx+1,從而令h(x)=(l+x)e--(l-x)e、

K(x)=e=x-1,然后利用導(dǎo)數(shù)求得/z(x),K(x)的單調(diào)性即可使問題得證；(2)由(1)中的結(jié)論得了⑴-g(x)

N-x(a+l+J+2cos尤)，從而令G(x)=q_+2cosx,通過多次求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求出。的取值范圍.

2x

試題解析：(1)要證尤e［O,l］時，(l+x)e->l-x,只需證明(l+x)e-，2(1-x)e\

記h(x)=(1+x)ex-(1-x)ex,則/i'(x)=x(ex—ex),

當(dāng)xe(O,l)時,h'(x)>0,因此〃(x)在［0,1］上是增函數(shù)，故了幻。阪0)=0,

所以

要證xe［0,l］時，(1+x)e~~x<------,只需證明e*Wx+l,

1+尤

記K(無)="一%-1,則K(x)=e*-1,

當(dāng)xe(0,l)時,k'(x)>0,因此K(x)在［0,1］上是增函數(shù)，故K(無)2K(0)=0,

所以/(x)4%e［0,l］.

1+X

綜上，1—f(x)<------,X€［0,1］.

1+X

(2)(解法一)

/(x)-g(x)=(l+x)e---(^+|+l+2xcosx)>l-x-^-l-1-2xcosx

J

=-%(〃+1H—~+2cosX).

丫2

^G(x)=—+2cosx,則G'(x)=x—2sin%,

igH(x)=x—2sinx,貝IjH'(x)=l—2cosx,

當(dāng)％￡(0,1)時，W)<0,于是G'(%)在［0,1］上是減函數(shù)，

從而當(dāng)工￡(0,1)時，Ga)vG(0)=0,故GQ)在［0,1］上是減函數(shù)，于是G(x)<G(0)=2,

從而a+1+G(x)<a+3,

所以，當(dāng)a<-3時，/(%)之g(x)在［0,1］上恒成立.

下面證明，當(dāng)，>-3時，/。)之就%)在。1］上不恒成立，

f(x)—g(x)W--------1—CLX--------2xcosx=---------ax--------2xcosx=-x(-------\-ct~\------F2cosx).

1+x21+x21+x2

i2i—1

t己/(%)=----\-a-\---r--1-2cosx=------Fa+G(x),貝!J7(%)-~+G'(x),

1+x21+x(1+x)

當(dāng)％￡(o,i)時，r(x)<o,故/(X)在［o,i］上是減函數(shù).

于是/(%)在［0,1］上的值域?yàn)椋踑+1+2cosl,a+3］.

因?yàn)楫?dāng)〃>一3時，a+3>0,所以存在不￡(。/)，使得/(%)>。此時/(%o)<g(%o)，即/(兀)之且(冗)在。1］上

不恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(f,-3］.

(解法二)

先證當(dāng)XG［0,1］時，1—X2<cos%K1—X2.

24

t己F(x)=cosx-l+^x2,貝ljF\x)=-sinx+x,

記G(%)=—sin%+x,則G'(x)=—cosx+1,當(dāng)%￡(0,1)時，Gr(x)>0,于是G(%)在［0,1］上是增函數(shù)，因此當(dāng)

x￡(0,l)時，G(x)>G(0)=0,從而b(x)在［0,1］上是增函數(shù)，因此尸(%)之一(0)=0.

所以當(dāng)工￡［。,1］時，1—Y<cosx.

2

同理可證，當(dāng)%時，COSX<1一一X2.

4

綜上，當(dāng)％￡［0,1］時，1--%2?cOSX?l---X2.

24

因?yàn)楫?dāng)無￡［0,1］時，

2

V-尤21

f(x)-g(x)=(1+x)e~2x-(ax+—+1+2xcosx)>(1-x)-ax---1-2x(1--%2)=一(。+3)光,

所以當(dāng)a<-3時，/(%)之g(%)在上恒成立.

下面證明，當(dāng)，>-3時，/。)之雙%)在。1］上不恒成立，因?yàn)?/p>

r21r31

/(x)-g(x)=(1+x)e~2x-(axH---+1+2xcosx)<------1-ax-----2x(1——x2)

21+x22

尤2尤332

=-----1-----(6/+3)xK—x［x——(tz+3)］.

1+x223

所以存在尤°e(0,l)(例如為取和3中的較小值)滿足/(/kg?).

即/(x)Ng(x)在［0,1］上不恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(9,-引.

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式恒成立問題.

【方法點(diǎn)睛】求證不等式〃x"g(x),一種常見思路是用圖像法來說明函數(shù)〃x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像

的上方，但通常不易說明.于是通常構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)(彳)=/(耳一g(x),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)歹(x)的性質(zhì)，進(jìn)而證

明欲證不等式.

2

2.(2022秋?貴州貴陽?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=21iu+：尤2一6，g(x)=/(%)+3x-1x.

⑴當(dāng)〃=3時，求函數(shù)“X)的極值；

⑵對任意尤武。,+力)，g(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)〃x)的極大值為極小值為21n2-4

2

(2)。>—F3

e

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；

9InY9InV

(2)分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為a>(MU+3)max，構(gòu)造/Z(X)=MU+3,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

XX

極值和最大值.

【詳解】(1)當(dāng)a=3時，/(x)=21nx+i%2-3x,

其定義域?yàn)?0,+8),尸(X)=2+X_3=("T(X-2),

XX

令r(x)>0,得x>2或0<x<l,

令/''(xk。，得1(尤<2,

所以/(幻在(0,1)上單調(diào)遞增，(1,2)上單調(diào)遞減，(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以/⑺的極大值為/(l)=o+g—3=—

極小值為了⑵=21n2+2—6=21n2—4.

(2)由題意，得g(x)=21n尤一(a-3)x,

因?yàn)閷θ我鈞e(0,+e),g(x)<0恒成立,

所以21nx-(a-3)x<0,即+3

X

在(0,+⑹上恒成立，即a>(2UU+3)max

2InY

令M%)=-------+3,xe(0,+oo),

x

--x-21nx

則2(l-lnx),

x2

令//(尤)>0,即1一lnx>0,得0<x<e,

令”(尤)<0,gpl-lnx<0,得％>e,

2

所以/i(e)=*+3是/z(x)的極大值，也是/%)的最大值，

e

2

貝ij〃>—+3.

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

(1)Vxer>,?77</(x)^?77</(x)min；

(2)Vxe￡>,機(jī)2/(力0〃△〃￡)網(wǎng)；

(3)BxeD,mW/COOMW/G)峰；

(4)3xeD,m>f(x)<^m>f(x)^.

3.(2023.全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+ae-Jo,aeR.

⑴當(dāng)。=1時,證明〃尤)在(0,+8)是增函數(shù)；

(2)若xe(0,4w),/(x)>0,求。的取值范圍.

【答案】(1)見解析，

(2)a<l

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)證明e*>無+1,即可求導(dǎo)，得/年。=白-5>°，由此可證明，

(2)根據(jù)和的兩種情況，分類討論求解/(無)的最值，即可求解.

【詳解】(1)令g(x)=e*-(x+1),則g'(x)=e、'-l,當(dāng)尤>0時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)尤<0時，g'(x)<0,

g(x)單調(diào)遞減,則g(x)?g(0)0蕤e，x+l,

當(dāng)a=l時，/(尤)=心+1)+葭-1,\用q=+--=￡-5，

由于當(dāng)%>0時，eCx+1,所以/")=貴-，>。，所以/(力在(0,+。)是增函數(shù)，

(2)=-^--aex=-------—ex-a(x+l'

f)x+lx+lexe'(x+l)

一,,、ex-a(x+l)1+x-a(x+l)(1-flWx+l)

由于e-x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號成立，故四％=?一二「J八，

\'e”(x+lJ)ex(x+l)e(x+lJ)

當(dāng)aWl時，l-a<0,故對任意的%>0,f'(x)>0,于是〃尤)單調(diào)遞增，故〃司>/(0)=0,符合題意,

由12x+l得/2-x+l,當(dāng)a>l時,

=eJa(x+l)<eJa+ae，-a=e"-2ae，+a=『-小右-勺e-a-gaJ,故當(dāng)

/《龍)_e'(x+l)<-ex(x+l)-e2x(x+l)e2x(x+l)，

x?(0,ln(a時，/'(x)<0,故此時〃x)單調(diào)遞減，故〃力<〃0)=0不符合要求，故舍去,

綜上可知：a<l

4.(2022秋?遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x+l)+a(尤2-元)，其中。?尺.

(I)討論函數(shù)，(無)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；

(II)若2^>0,/(力20成立，求〃的取值范圍.

【答案】(I)見解析(II)。的取值范圍是[0,1].

【詳解】試題分析：(I)先求-⑺=々+2分“2分+：;一,令g(x)=2辦2+依+1—。

通過對。的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識，由導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)根據(jù)(1)

的結(jié)果/(0)=0這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定。的取值范圍.

試題解析：函數(shù)〃尤)=111(彳+1)+4(/一同的定義域?yàn)?T+s)

、1,lax1+ax+l-a

t%)=----F2ax-a=--------------

'7x+1x+1

令g(x)=2以2+av+l—〃,XG(-1,+OO)

(1)當(dāng)a=0時，g(x)=l>0,r(x)>0在(-1,+8)上恒成立

所以，函數(shù)/(x)在(T,+s)上單調(diào)遞增無極值；

(2)當(dāng)a>0時，A="-8a(l-a)=a(9a-8)

Q

①當(dāng)時，AWO,g(%)>0

所以，r(x)>o,函數(shù)在(-1,內(nèi))上單調(diào)遞增無極值；

Q

②當(dāng)〃>—時，A>0

設(shè)方程2ax2+QX+1-Q=0的兩根為XI，%2(工1<X2)'

因?yàn)橛?兀2=--

由g(—l)=l>0可得：_1<再<_；,

所以，當(dāng)xe(-L,%)時，g(x)>0，r(x)>0,函數(shù)“X)單調(diào)遞增;

當(dāng)時，g(x)<0,/'(x)<0,函數(shù)”X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,+oo)時，g(x)>0,/'(x)>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增；

因此函數(shù)/(x)有兩個極值點(diǎn).

(3)當(dāng)時，A>0

由g(—l)=l>0可得：玉<一1,

當(dāng)2時,g(x)>0,f(X)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(%,+oo)時，g(龍)<0,/'(x)<0,函數(shù)/(尤)單調(diào)遞減；

因此函數(shù)/(X)有一個極值點(diǎn).

綜上：

當(dāng)〃<0時，函數(shù)/(%)在(-1,”)上有唯一極值點(diǎn)；

Q

當(dāng)時，函數(shù)〃x)在(T,+8)上無極值點(diǎn)；

Q

當(dāng)。>§時，函數(shù)〃x)在(-L+8)上有兩個極值點(diǎn)；

(II)由(I)知，

Q

(1)當(dāng)時，函數(shù)〃尤)在(0,+?)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?'(0)=0

所以，xe(O,心)時，/(x)>0,符合題意；

Q

(2)當(dāng)時，由g(0”0,得無240

所以，函數(shù)在(0,—)上單調(diào)遞增，

又"0)=0,所以，xe(O,心)時，/(x)>0,符合題意；

(3)當(dāng)°>1時，由8(0)<0,可得%>。

所以工?(0,X2)時，函數(shù)/'(%)單調(diào)遞減；

又"0)=0

所以，當(dāng)彳?0,々)時，/(x)<0不符合題意；

(4)當(dāng)〃<