6.2.1向量的加法運(yùn)算（分層作業(yè)）（必做題選做題）高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

向量的加法運(yùn)算（分層作業(yè)）（必做題+選做題）【必做題】一、單選題1．（2022秋·廣東揭陽·高一?？茧A段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法則求解【詳解】故選：A2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（）A．正三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】直接求出，即可判斷.【詳解】由于，|，，所以△ABC為等腰直角三角形．故選：D.3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則及向量相等的充要條件判斷即可；【詳解】解：，，，且，四邊形是平行四邊形．故選：D．4．（2022·全國·高一假期作業(yè)）向量化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】故選：D5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，＋＝，則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四邊形【答案】D【分析】利用向量的加法平行四邊形法則求解出答案.【詳解】由平行四邊形法則可得，四邊形ABCD是以AB，AD為鄰邊的平行四邊形.故選：D.6．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·高一校考階段練習(xí)）向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．【答案】D【分析】根據(jù)相反向量的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；與方向相反，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.7．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在矩形中，，則向量的長度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法化簡(jiǎn)，根據(jù)矩形的特征可求對(duì)角線的長度，進(jìn)而可求模長.【詳解】在矩形中，由可得,又因?yàn)?故，故，故選:A8．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）正方形的邊長為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量加法運(yùn)算及向量的摸的定義，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】在正方形中，如圖所示,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，,又因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，所以，故選：B.9．（2022秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P在內(nèi)部，滿足，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算確定點(diǎn)的位置，由此可求得的值.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接，因?yàn)椋?，所以，，同理可得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故，，，因此，.故選：C.二、多選題10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，向量與的夾角為30°，則以向量，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線的長度可能是（

）A．10 B． C．2 D．22【答案】BC【分析】設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到，進(jìn)而求得的長.【詳解】設(shè)．則,過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則,又由，所以，即.故選：BC.11．（2022春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與可能平行 B．點(diǎn)P在線段EF上C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，即可判斷ABC選項(xiàng)；根據(jù)點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)得到，，，然后得到，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故A錯(cuò)，BC正確；設(shè)邊上的高為，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，，又點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，所以，則，，所以，故D錯(cuò).故選：BC.三、填空題12．（2022秋·江西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：________．【答案】【分析】依據(jù)向量加法法則去求解即可.【詳解】故答案為：.13．（2022秋·上海長寧·高一?？计谥校┰谶呴L為2的正方形ABCD中，______.【答案】2【分析】由向量運(yùn)算可求解.【詳解】.故答案為：2.14．（2022秋·北京·高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，______．【答案】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：15．（2022秋·浙江嘉興·高一?？计谥校┑幕?jiǎn)結(jié)果是______．【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則計(jì)算即可【詳解】=.故答案為：16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝________.【答案】【分析】利用向量的加法運(yùn)算即得.【詳解】＋＋.故答案為：.17．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn).（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________.【答案】

【分析】根據(jù)向量加法法則計(jì)算．【詳解】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若C是線段AB的中點(diǎn)，則＋＝________.【答案】【分析】根據(jù)相反向量的加法可求解.【詳解】∵C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝CB.∴與方向相反，模相等．∴.故答案為：四、解答題19．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）按照向量加法的運(yùn)算律直接計(jì)算即可.【詳解】（1）=（2）==.20．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，請(qǐng)?jiān)趫D中直接標(biāo)出：(1)＋．(2)＋＋＋．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)向量加法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1），如圖所示：（2）＋＋＋，如圖所示：21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則的幾何意義，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，由向量加法的平行四邊形法則知由，∠AOB＝120°，知∠BOD＝60°，，又∠COB＝120°，且，，.22．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)＝，＝，＝．證明：＝．【答案】證明見解析【分析】由題圖，根據(jù)向量的加減法則有，，，再將進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可證結(jié)論.【詳解】由題圖有：，，，所以，得證.23．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，求．【答案】【分析】由平面向量的相等向量與相反向量的定義化簡(jiǎn)可得.【詳解】記，則所以24．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解.【詳解】（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，如圖所示作則.（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，如圖所示作則.【選做題】一、單選題1．（2022秋·新疆伊犁·高一統(tǒng)考期末）在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是線段DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的三角形法則可得答案.【詳解】作出圖形如下所示，由已知得，，所以.故選：D.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）為非零向量，且，則（

）A．，且與方向相同 B．是共線向量且方向相反C． D．無論什么關(guān)系均可【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的性質(zhì)及三角形邊之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】當(dāng)兩個(gè)非零向量不共線時(shí)，的方向與的方向都不相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，的方向與的方向都相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量反向時(shí)且，的方向與的方向相同，且，所以對(duì)于非零向量，且，則，且與方向相同.故選：A.3．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．；B．若、非零向量且，則；C．若且，則；D．若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.【答案】B【分析】注意到零向量的符號(hào)應(yīng)當(dāng)是，可知A錯(cuò)誤；對(duì)于B：利用向量的模的性質(zhì)和數(shù)量積運(yùn)算可以證明，可得B正確；考慮到的情況，得到C錯(cuò)誤；考慮到，，可知D錯(cuò)誤.【詳解】左邊是向量的加法，結(jié)果是零向量，用表示，故A錯(cuò)誤；由、非零向量且，兩邊平方可得，即，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)也有且，故C錯(cuò)誤；若，，不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：B．4．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┱诉呅卧谏钪惺呛艹Ｒ姷膶?duì)稱圖形，如圖1中的正八邊形的盤，圖2中的正八邊形窗花.在圖3的正八邊形中，，則（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】在在上取一點(diǎn)，使得，根據(jù)C點(diǎn)的位置，從而求得，找到與的關(guān)系即可求得參數(shù).【詳解】連接，，且，在上取一點(diǎn)，使得，則四邊形為平行四邊形，.設(shè)，則，由圖可知，故.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量相等及平行四邊形法則，將向量的和轉(zhuǎn)化為三角形中的長度關(guān)系，從而求得參數(shù)值.5．（2021秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）若是垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂心的性質(zhì)，連接并延長交于，得到，把已知條件中的式子化簡(jiǎn)，得到，再兩邊同乘以，利用數(shù)量積、正弦定理進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，得到，再把化為，整理后得到值.【詳解】在中，，由，得，連接并延長交于，因?yàn)槭堑拇剐?，所以，，所以同乘以得，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻糜?，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積、正弦定理、兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形垂心性質(zhì)等知識(shí)綜合運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法．屬于難題．二、多選題6．（2022·高一單元測(cè)試）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下述結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算、相反向量、中線的向量表示，重心的性質(zhì)分別計(jì)算求解.【詳解】由D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；由,故B錯(cuò)誤；因?yàn)?故C正確；因?yàn)?故D正確.故選：CD7．（2022·高一單元測(cè)試）設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】作出圖示，根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于B：如下圖所示，可知在外部，故不成立；對(duì)于C：因?yàn)?，如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于D：因?yàn)?，如下圖所示，可知在外部，故不成立；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進(jìn)行說明，其中CD選項(xiàng)中的向量關(guān)系式要根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn).三、填空題8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知G是正方形ABCD的中心，點(diǎn)P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】4【分析】先由G為正方形的中心，可知G為、的中點(diǎn)，再利用向量的加法，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镚為正方形的中心，所以G為正方形、的中點(diǎn)，又點(diǎn)為正方形所在平面外一點(diǎn)，利用向量的加法法則知，，因此，即.故答案為：49．（2022·全國·高一專題練習(xí)）是正三角形，給出下列等式：①；②；③；④．其中正確的有__________．(寫出所有正確等式的序號(hào))【答案】①③④【分析】作出圖形，結(jié)合平面向量加法法則可判斷①②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，，，，①正確；對(duì)于②，，如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，顯然，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，以、為鄰邊作平行四邊形，則，以、為鄰邊作平行四邊形，則.由圖可知，，即，③正確；對(duì)于④，，，因?yàn)?，④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵就是化簡(jiǎn)平面向量的運(yùn)算結(jié)果，并作出圖形，結(jié)合圖形的幾何特征進(jìn)行判斷.10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在矩形中，已知、分別是、上的點(diǎn)，且滿足，．若，則的值為______．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出、，然后將轉(zhuǎn)化為，再然后根據(jù)列出算式，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)椋?，所以，，則，，故，因?yàn)椋?，解得，，，故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的相關(guān)運(yùn)算，主要考查向量的三角形法則以及平行四邊形法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.11．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的面積為_____.【答案】4【分析】以，建立一組基底向量，再利用點(diǎn)與點(diǎn)分別共線的性質(zhì)表示出，建立二元一次方程，再采用間接法，根據(jù)求出答案，屬于難題【詳解】設(shè)，以，為一組基底，則.∵點(diǎn)與點(diǎn)分別共線，∴存在實(shí)數(shù)和，使.又∵，∴解得∴，∴.【點(diǎn)睛】復(fù)雜的三角形線段關(guān)系問題，借鑒向量法進(jìn)行求解時(shí)，還是需要根據(jù)向量基底進(jìn)行基礎(chǔ)運(yùn)算，如本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題，在處理正面入手不好解決的問題時(shí)，可從對(duì)立面入手，采用間接法來進(jìn)行求解12．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答案】【分析】取BD中點(diǎn)M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）,求出端點(diǎn)G,H對(duì)應(yīng)的即可求解.【詳解】取BD中點(diǎn)M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）當(dāng)與重合時(shí)，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時(shí),由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，加法平行四邊形法則，三點(diǎn)共線，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題.13．（2021秋·江西宜春·高一江西省銅鼓中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則與的面積之比為_______.【答案】【分析】設(shè)，，則，根據(jù)考查向量加法的平行四邊