第八章綜合訓練

第八章綜合訓練一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.如圖,一圓錐的母線長為4,其側面積為4π,則這個圓錐的體積為()A.153 B.833 C.153π答案C解析因為圓錐側面積公式S側=πrl,由此可知底面半徑r=1,所以底面面積為S=π,圓錐的高為h=15,故圓錐的體積V=13Sh=1532.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點,沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角CBMA的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°答案C解析如圖,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.∵M為A'C的中點,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM∴∠CMA為二面角CBMA的平面角.∵AC=1,MC=MA=22∴∠CMA=90°,故選C.3.如圖所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直觀圖,B'在x'軸上,A'O'與x'軸垂直,且A'O'=2,則△AOB的邊OB上的高為()A.2 B.4C.22 D.42答案D解析設△AOB的邊OB上的高為h,因為S原圖形=22S直觀圖,所以12×OB×h=22×12×O'B'×2,又OB=O'B',所以4.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π答案A解析四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成的幾何體,如圖.S表面=S圓臺下底面+S圓臺側面+S圓錐側面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故選5.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為()A.63 B.255 C.15答案D解析在平面A1B1C1D1內過點C1作B1D1的垂線,垂足為E,連接BE.C1E⊥B1D1C1E⊥∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=22+12=5∴sin∠C1BE=C16.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取線段AB=4,AC,BD分別在平面α和平面β內,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,則CD的長度為()A.13 B.151 C.123 D.15答案A解析如圖,連接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD=AB2+B在Rt△CAD中,CD=AC2+7.在空間四邊形ABCD中,AD=2,BC=23,E,F分別是AB,CD的中點,EF=7,則異面直線AD與BC所成角的大小為()A.150° B.60° C.120° D.30°答案D解析如圖所示.設BD的中點為O,連接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,則∠EOF是AD,BC所成的角或其補角,又EO=12AD=1,FO=12BC=3,EF=根據余弦定理,得cos∠EOF=1+3-72所以∠EOF=150°,異面直線AD與BC所成的角為30°.8.設A,B,C,D是同一個直徑為2的球的球面上四點,AD過球心,已知△ABC與△BCD都是等邊三角形,則三棱錐ABCD的體積是()A.26 B.212 C.36答案B解析如右圖所示,取BC的中點E,設球心為點O,則O為AD的中點,連接AE,DE,OE.設BC=a(a>0),則AB=BD=AC=CD=a,由題意可知AD=2,且∠ABD=∠ACD=90°,由勾股定理AD2=AB2+BD2,即2=2a2,解得a=1.∵E為BC的中點,∴AE⊥BC,DE⊥BC,且AE=DE=32a=3又AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.∵O為AD的中點,∴OE⊥AD,且OE=AE∴△ADE的面積S△ADE=12AD·OE=2因此,三棱錐ABCD的體積VABCD=VBADE+VCADE=13S△ADE·BE+13S△ADE·CE=13S△ADE·BC=13×二、選擇題:在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.設α,β為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題不正確的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥αB.若m?α,n?β,m∥n,則α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,則α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α答案ABC解析選項A的已知條件中如果加上m?β,那么命題就是正確的,也就是面面垂直的性質定理.選項B錯誤,容易知道兩個平面內分別有一條直線平行,那么這兩個平面可能相交也可能平行.選項C錯誤,因為兩個平面各有一條與其平行的直線,如果這兩條直線垂直,并不能保證這兩個平面垂直.選項D正確,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因為m⊥β,所以m⊥α.10.如圖,圓柱的軸截面是四邊形ABCD,E是底面圓周上異于A,B的一點,則下列結論中正確的是()A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCE答案ABD解析由AB是底面圓的直徑,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵圓柱的軸截面是四邊形ABCD,∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD,又AD∩AE=A,AD,AE?平面ADE,∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正確.∵AD∥BC,∴∠ADE(或其補角)為DE與CB所成的角,顯然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C錯誤.11.如圖,在棱長均相等的四棱錐PABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側棱PA,PB的中點,下列結論正確的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°D.ON⊥PB答案ABD解析連接BD,圖略,顯然O為BD的中點,又N為PB的中點,所以PD∥ON,由線面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正確;由M,N分別為側棱PA,PB的中點,所以MN∥AB,又底面為正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由線面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由選項A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正確;因為MN∥CD,所以∠PDC為直線PD與直線MN所成的角,又因為所有棱長都相等,所以∠PDC=60°,故直線PD與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤;因為底面為正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱長都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正確.12.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9D.點C與點G到平面AEF的距離相等答案BC解析∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A錯誤.∵A1G∥D1F,A1G?AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正確.平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1,易知梯形面積為98,故C正確點G到平面AEFM的距離即點A1到面AD1F的距離,顯然D錯誤.三、填空題13.圓柱的高是8cm,表面積是130πcm2,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是cm3.

答案5200π解析設圓柱的底面圓的半徑為rcm,則S圓柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圓柱的底面圓半徑為5cm.圓柱的體積V=52π×8=200π(cm3).14.如圖,在四面體PABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,則PC=.

答案13解析取AB的中點E,連接PE,EC.因為∠ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.因為PA=PB=13,E是AB的中點,所以PE⊥AB,PE=12.因為平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE?平面PAB,所以PE⊥平面ABC.因為CE?平面ABC,所以PE⊥CE.在Rt△PEC中,PC=PE2+15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿對角線BD將△ABD折起使二面角ABDC為120°,則點A到△BCD所在平面的距離為.

答案3解析設AC∩BD=O,則翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即為二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=3216.學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為g.

答案118.8解析由題意得,四棱錐OEFGH的底面積為4×64×12×2×3=12(cm2),點O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3=12(cm3又長方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2V1=14412=132(cm3).故其質量為0.9×132=118.8(g).四、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)求證:E,F,G,H四點共面;(2)當m,n滿足什么條件時,四邊形EFGH是平行四邊形?(1)證明連接BD.因為AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E,F,G,H四點共面.(2)解當m=n時,四邊形EFGH為平行四邊形.由(1)可知EH∥FG.因為EHBD所以EH=mm+1同理可得FG=nn+1由EH=FG可得mm得m=n.故當m=n時,四邊形EFGH是平行四邊形.18.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,且PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面ADP;(2)MN⊥PC.證明(1)取PD的中點Q,連接AQ,QN,∵N,Q分別為PC,PD的中點,則NQ∥CD且NQ=12CD∵四邊形ABCD為矩形,則AB∥CD且AB=CD.∵M為AB的中點,∴AM∥CD且AM=12CD∴AM∥NQ且AM=NQ,故四邊形AMNQ為平行四邊形,∴MN∥AQ.∵AQ?平面ADP,MN?平面ADP,∴MN∥平面ADP.(2)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA.∵AD⊥CD,AD∩AP=A,∴CD⊥平面PAD.∵AQ?平面PAD,則AQ⊥CD.∵PA=AD,Q為PD的中點,則AQ⊥PD,∵CD∩PD=D,∴AQ⊥平面PCD.∵MN∥AQ,故MN⊥平面PCD.又PC?平面PCD,因此,MN⊥PC.19.養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12m,高為4m.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽.現有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變);二是高度增加4m(底面直徑不變).(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積;(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;(3)哪個方案更經濟些?解(1)若按方案一,倉庫的底面直徑變成16m,則倉庫的體積為V1=13S·h=13×π×1622×4=256若按方案二,倉庫的高變成8m,則倉庫的體積為V2=13S·h=13×π×1222×8=96π(2)若按方案一,倉庫的底面直徑變成16m,半徑為8m.圓錐的母線長為l1=82+42則倉庫的表面積為S1=π×8×45=325π(m2).若按方案二,倉庫的高變成8m.圓錐的母線長為l2=62+則倉庫的表面積為S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1<V2,S2<S1,∴方案二比方案一更加經濟.20.如圖,在四棱錐PABCD中,PC=AD=CD=12AB=2,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)若M為線段PA的中點,且過C,D,M三點的平面與線段PB交于點N,確定點N的位置,說明理由;并求三棱錐NAMC的體積.(1)證明連接AC(圖略),在直角梯形ABCD中,AC=AD2+DBC=(AB-CD)∴AC2+BC2=AB2,即BC⊥AC.∵PC⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,∴BC⊥PC.又AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.(2)解點N是PB的中點,理由如下:∵CD∥AB,AB?平面PAB,CD?平面PAB,∴CD∥平面PAB.∵平面CDM∩平面PAB=MN,∴CD∥MN,∴MN∥AB.在平面PAB內,∵M為PA中點,∴N為PB中點.∵BC⊥平面PAC,N為PB的中點,∴點N到平面PAC的距離d=12BC=2如圖所示,S△ACM=12S△PAC=12·12·PC·AC=14∴V三棱錐NAMC=13S△AMC·d=121.如圖,四邊形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F為CE上一點,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱錐ADBE的體積;(2)求二面角DBEA的大小.解(1)由BF⊥平面ACE得,BF⊥AE.由BC⊥平面ABE及BC∥AD得,BC⊥AE,AD⊥平面ABE.∵