數(shù)學(xué)單元測試：第一章推理與證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章測評(時間：90分鐘，滿分：100分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1數(shù)列｛an}中前四項分別為2，eq\f（2,7)，eq\f(2,13），eq\f(2,19),則an與an＋1之間的關(guān)系為（）A．a(chǎn)n＋1＝an＋6B。eq\f(1，an＋1）＝eq\f(1,an)＋3C．a(chǎn)n＋1＝eq\f(an,1＋3an）D．a(chǎn)n＋1＝eq\f（1，an）2如圖，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴展"而來的（n＝1，2,3，…），則在第n個圖形中共有______個頂點(）A．(n＋1）(n＋2）B．(n＋2）（n＋3）C．n2D．n3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f(1，n＋2）＋…＋eq\f（1,2n)〉eq\f（13,24）(n≥2)的過程中,由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊（）A．增加了一項eq\f（1，2k＋1)B．增加了兩項eq\f(1,2k＋1）和eq\f(1，2k＋2）C．增加了選項B中的兩項但減少了一項eq\f(1,k＋1）D．以上均不正確4已知a,b∈R，且a≠b，a＋b＝2,則（）A．1＜ab＜eq\f（a2＋b2，2)B．a(chǎn)b＜1＜eq\f（a2＋b2，2）C．a(chǎn)b＜eq\f（a2＋b2，2)＜1D。eq\f（a2＋b2，2)＜ab＜15如圖甲,在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2），那么在圖乙所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中,ACeq\o\al（2,1)＋BDeq\o\al（2，1）＋CAeq\o\al（2,1)＋DBeq\o\al(2，1）等于()A．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1））B．3（AB2＋AD2＋AAeq\o\al（2，1））C．2（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1））D．4（AB2＋AD2)6已知f(x)＝eq\f（a2x＋1－2,2x＋1）是奇函數(shù)，那么實數(shù)a的值等于（）A．1B．－1C．0D．±17(2008全國高考卷Ⅰ，理9)設(shè)奇函數(shù)f(x）在（0,＋∞)上為增函數(shù)，且f(1）＝0，則不等式eq\f(fx－f－x，x)＜0的解集為(）A．（－1，0）∪（1,＋∞)B．（－∞,－1）∪（0，1）C．(－∞，－1）∪（1，＋∞)D．（－1,0)∪(0,1）8已知a,b∈R＋，且a≠b，下列說法正確的是…（)A．a(chǎn)5＋b5≥a3b2＋a2b3B．a(chǎn)5＋b5＞a3b2＋a2b3C．a(chǎn)5＋b5≤a3b2＋a2b3D．a(chǎn)5＋b5＜a3b2＋a2b39已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·…·b9＝29。若{an｝為等差數(shù)列,a5＝2，則｛an}的類似結(jié)論為（）A．a(chǎn)1·a2·a3·…·a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×910某人在上樓梯時,一步上一個臺階或兩個臺階，設(shè)他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法，從平地上到第二級臺階時有f（2)種走法……則他從平地上到第n級(n≥3）臺階時的走法f（n)等于（）A．f（n－1)＋1B．f(n－2）＋2C．f（n－2）＋1D．f(n－1）＋f(n－2）二、填空題（本大題共5小題，每小題4分,共20分．把答案填在題中的橫線上)11（2010安徽屯溪期末考試）若數(shù)列{an}中，a1＝1,a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11,a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝__________。12根據(jù)前面的推理，在下表的空白處添加相應(yīng)的結(jié)論.三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于底乘高的eq\f（1,2)三棱錐的體積等于底面積乘高的eq\f（1,3)三角形的面積等于內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的積的eq\f（1，2）13（2009浙江高考，文16)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn｝的前n項積為Tn，則T4,______,______，eq\f（T16，T12)成等比數(shù)列．14如圖，質(zhì)點在第一象限運動，在第一秒鐘它由原點運動到點(0，1），而后接著按圖所示的箭頭方向在與x軸、y軸平行的方向運動，且每秒移動一個單位長度，那么2000秒后，這個質(zhì)點所處的位置的坐標(biāo)是____________．15設(shè)f（n)＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1,3）＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1,2n－1)－eq\f（1，2n），則f(k＋1)＝f(k)＋__________.三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16（9分)如圖（1），在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題,如圖(2)，三棱錐ABCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．17（10分)已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1,ac＋bd＞1，求證a，b，c,d中至少有一個是負(fù)數(shù)．18(10分)設(shè)f（x)＝eq\f(ax＋a－x,2),g（x)＝eq\f(ax－a－x，2)(其中a＞0，且a≠1）．（1)請你推測g（5）能否用f(2），f（3），g(2），g(3）來表示；(2)如果（1)中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣．19（11分）若不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，3n＋1)＞eq\f（a,24)對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．參考答案1解析：觀察前四項分子相同，分母相差6，∴｛eq\f(1，an)}為等差數(shù)列．答案：B2解析：第1個圖形是3＋3×3＝3×4個頂點,第2個圖形是4＋4×4＝4×5個頂點，第3個圖形是5＋5×5＝5×6個頂點，第4個圖形是6＋6×6＝6×7個頂點…由此猜想第n個圖形是（n＋2）(n＋3)個頂點．答案：B3解析:在n＝k＋1時，用k＋1替換n,再與n＝k時比較．答案:C4解析：∵a，b∈R，且a≠b，則ab＜(eq\f(a＋b,2))2＜eq\f（a2＋b2,2），而a＋b＝2，∴ab＜1＜eq\f（a2＋b2，2).答案：B5解析：已知平面上平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，利用類比推理可知，空間中,平行六面體的體對角線的平方和等于12條棱的平方和．答案：A6解析：方法一：函數(shù)的定義域為R,函數(shù)為奇函數(shù)，則x＝0時f（0）＝0，即eq\f（2a－2，2）＝0，∴a＝1.方法二：根據(jù)奇函數(shù)的定義,f(－x)＝－f（x）恒成立,即eq\f(a2－x＋1－2，2－x＋1）＝－eq\f（a2x＋1－2，2x＋1）恒成立,即eq\f(a1＋2x－21＋x，2x＋1)＝－eq\f（a2x＋1－2,2x＋1）恒成立,即2a＋a·2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1。答案：A7解析：由f(x）是奇函數(shù)，可知eq\f（fx－f－x，x）＝eq\f(2fx，x)＜0，而f(1)＝0，則f（－1)＝－f(1）＝0。當(dāng)x＞0時，f(x)＜0＝f（1)；當(dāng)x＜0時，f(x)＞0＝f(－1）．又f(x)在（0，＋∞)上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f(x）在(－∞，0）上為增函數(shù)，所以解集為0＜x＜1，或－1＜x＜0.答案:D8解析：要比較兩數(shù)的大小，只需兩數(shù)作差與零比較．a(chǎn)5＋b5－a3b2－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝（a3－b3)(a2－b2)＝(a－b)2（a＋b）(a2＋ab＋b2)＝（a－b）2(a＋b)[(a＋eq\f（b,2）)2＋eq\f（3，4）b2]．∵a，b∈R＋,a≠b，∴（a－b)2＞0,(a＋eq\f（b,2）)2＋eq\f(3，4）b2＞0，a＋b＞0?！郺5＋b5－a3b2－a2b3＞0，即有a5＋b5＞a3b2＋a2b3.答案：B9解析：等比數(shù)列的特點是b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6＝beq\o\al(2，5），而等差數(shù)列的特點是a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.答案：D10解析:要到達(dá)第n級臺階有兩種走法：(1）在第n－2級的基礎(chǔ)上到達(dá)；(2)在第n－1級的基礎(chǔ)上到達(dá)．答案：D11解析：前10項共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個奇數(shù)，a10由第46個到第55個奇數(shù)的和組成，即a10＝（2×46－1)＋（2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f（1091＋109,2）＝1000。答案:100012解析：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,圓心為O，三邊長分別為a、b、c,連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形OAB、OAC、OBC，其面積和為S△ABC＝eq\f（1，2）（a＋b＋c)r.類似地，設(shè)三棱錐SABC的內(nèi)切球半徑為R,球心為O,連接OS、OA、OB、OC，將三棱錐分割為四個小三棱錐OSAB，OSAC，OSBC，OABC,其體積和為三棱錐SABC的體積,則V＝eq\f（1,3）S1R＋eq\f（1,3)S2R＋eq\f(1，3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f（1,3）（S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f（1,3）S表R.答案：三棱錐的體積等于表面積與內(nèi)切球半徑的積的eq\f（1,3)13解析：∵b1b2b3b4＝T4，eq\f（T8,T4)＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4·q4＝T4·q16，eq\f（T12,T8）＝T4·q32,eq\f（T16，T12）＝T4·q48,故T4，eq\f(T8，T4），eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12）成等比數(shù)列．答案：eq\f(T8，T4)eq\f（T12,T8)14解析：觀察可知,質(zhì)點到達(dá)點（n,n)(n∈N）時，它走過的長度單位應(yīng)為2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1）．因為2000＝44×45＋20，故此質(zhì)點在到達(dá)(44，44）后繼續(xù)前進了20個單位，再觀察其規(guī)律,應(yīng)是向左前進了20個單位，即知其位置為點(24,44）．答案：（24，44)15解析：∵f(k）＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1,3）＋eq\f（1,4）＋…＋eq\f（1,2k－1）－eq\f（1，2k),f(k＋1)＝1＋eq\f（1，2)＋eq\f（1,3）＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f（1，2k－1）＋eq\f(1，2k)＋eq\f（1，2k＋1)－eq\f（1,2k＋2）,∴f（k＋1）＝f（k)＋eq\f(1，2k）＋eq\f(1，2k＋1)－eq\f(1，2k＋2）＋eq\f(1,2k）＝f(k)＋eq\f（1,k）＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1，2k＋2)。答案：eq\f(1，k)＋eq\f（1，2k＋1)－eq\f（1，2k＋2）16解：命題是:三棱錐ABCD中，AD⊥面ABC,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有Seq\o\al(2,△ABC）＝S△BCM·S△BCD.是一個真命題．證明如下:如下圖，連接DM并延長交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC.因為AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED。于是Seq\o\al(2,△ABC)＝（eq\f(1，2）BC·AE)2＝（eq\f(1,2)BC·EM）·（eq\f（1,2）BC·ED)＝S△BCM·S△BCD。17證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)實數(shù)，因為a＋b＝c＋d＝1，所以a,b,c，d∈［0，1］，所以ac≤eq\r(ac)≤eq\f（a＋c，2)，bd≤eq\r（bd）≤eq\f（b＋d,2).所以ac＋bd≤eq\f（a＋c,2）＋eq\f(b＋d,2)＝1，這與已知ac＋bd＞1相矛盾,所以原假設(shè)不成立，即證得a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)．18分析：可以先寫出f(2）,f(3），g(2)，g(3），g（5),看如何用前4個式子組合表示g（5），并進行歸納猜想．解:（1)由f(3)g（2)＋g（3）f（2）＝eq\f(a3＋a－3,2）·eq\f（a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3，2)·eq\f(a2＋a－2，2)＝eq\f(a5－a－5,2）.又g(5)＝eq\f（a5－a－5，2)，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f（2）．（2)由g(5）＝f（3)g(2）＋g（3)f（2），即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3）f（2),于是推測g（x＋y)＝f（x）g（y）＋g（x)f(y)．證明：因為f（x)＝eq\f（ax＋a－x，2），g(x)＝eq\f(ax－a－x，2)，所以g（x＋y)＝eq\f（ax＋y－a－x＋y，2）,g(y)＝eq\f(ay－a－y,2），f(y）＝eq\f(ay＋a－y,2)，所以f(x)g(y）＋g（x）f(y）＝eq\f（ax＋a－x,2）·eq\f（ay－a－y,2)＋eq\f(ax－a－x,2）·eq\f(ay＋a－y，2）＝eq\f（ax＋y－a－x＋y，2）＝g（x＋y)．19分析：可以先由n＝1時，猜想得a的值,再由數(shù)學(xué)歸納法證明．解：當(dāng)n＝1時，eq\f(1,1＋1）＋eq\f（1，1＋2)＋eq\f(1，3＋1)＞