2024八年級數(shù)學上冊階段拔尖專訓第4招數(shù)學建模之“雙平等腰”習題課件新版浙教版

浙教版八年級上第4招數(shù)學建模之“雙平等腰”01典例剖析02分類訓練目

錄CONTENTS教你一招

在解決有關三角形的證明與計算問題時，若遇到角平分

線、平行線或等腰三角形中的其中兩個條件，常常可以通過

推理得到第三個結論.

如圖，在△

ABC

中，已知∠

ABC

和∠

ACB

的平分線

相交于點

F

，過點

F

作

DE

∥

BC

，交

AB

于點

D

，交

AC

于

點

E

.

若

BD

＝5，

CE

＝3，求線段

DE

的長.

有角平分線時，要善于利用相關的平行線(或

過角平分線上一點作角的一邊的平行線)構造等腰三角形，

它能為證明結論提供更多的條件.∴∠

DFB

＝∠

DBF

，∠

CFE

＝∠

ECF

，∴

BD

＝

DF

＝5，

FE

＝

CE

＝3，∴

DE

＝

DF

＋

FE

＝5＋3＝8.解：∵∠

ABC

和∠

ACB

的平分線相交于點

F

，∴∠

DBF

＝∠

FBC

，∠

ECF

＝∠

BCF

.

∵

DE

∥

BC

，

∴∠

DFB

＝∠

FBC

，∠

EFC

＝∠

BCF

，

已知角平分線、平行線1.

如圖，在△

ABC

中，

BD

，

CD

分別是∠

ABC

，∠

ACB

的平分線，

DE

∥

AB

，

DF

∥

AC

，若△

DEF

的周長為

100

cm，則

BC

的長為

cm.100

1234562.

如圖，∠

ABC

的平分線

BF

與△

ABC

中的∠

ACB

的相鄰

外角的平分線

CF

相交于點

F

，過點

F

作

DF

∥

BC

，交

AB

于點

D

，交

AC

于點

E

.

(1)找出圖中所有的等腰三角形，并加以證明.123456【解】圖中有2個等腰三角形，即△

BDF

和△

CEF

.

證明如下：∵

BF

，

CF

分別平分∠

ABC

，∠

ACM

，∴∠

DBF

＝∠

CBF

，∠

FCE

＝∠

FCM

.

∵

DF

∥

BC

，∴∠

DFB

＝∠

CBF

，∠

EFC

＝∠

FCM

，∴∠

DBF

＝∠

DFB

，∠

FCE

＝∠

EFC

，∴

BD

＝

FD

，

EF

＝

CE

，∴△

BDF

和△

CEF

為等腰三角形.123456(2)線段

BD

，

CE

，

DE

之間存在著怎樣的數(shù)量關系？為

什么？【解】

BD

－

CE

＝

DE

.

理由如下：由(1)可知，

DF

＝

BD

，

CE

＝

EF

，∴

BD

－

CE

＝

FD

－

EF

＝

DE

.

1234563.

如圖，在長方形

ABCD

中，

AB

＞

AD

，把長方形沿對角

線

AC

所在直線折疊，使點

B

落在點

E

處，

AE

交

CD

于點

F

，連結

DE

.

(1)求證：△

ADE

≌△

CED

；123456

123456(2)求證：

DE

∥

AC

.

【證明】∵△

ADE

≌△

CED

，∴∠

DEA

＝∠

EDC

，由折疊的性質，可得∠

EAC

＝∠

BAC

.

易知

DC

∥

BA

，∴∠

ACD

＝∠

BAC

，∴∠

ACD

＝∠

EAC

.

又∵∠

DFE

＝∠

AFC

，∴∠

ACD

＝∠

EAC

＝∠

DEA

＝∠

EDC

，∴

DE

∥

AC

.

123456

已知角平分線、等腰三角形4.

如圖，

AE

平分∠

BAC

，

AC

＝

CE

.

(1)求證：

AB

∥

CD

；【證明】∵

AE

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

CAE

.

∵

AC

＝

CE

，∴∠

CAE

＝∠

CEA

，∴∠

BAE

＝∠

CEA

，∴

AB

∥

CD

.

123456(2)若∠

C

＝50°，求∠

AED

的度數(shù).【解】∵∠

C

＝50°

，∴∠

CAE

＋

∠

CEA

＝180°－∠

C

＝130°.由(1)可知，∠

CAE

＝∠

CEA

，∴∠

CEA

＝∠

CAE

＝130°÷2＝65°.∴∠

AED

＝180°－∠

CEA

＝115°.1234565.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，

AF

是∠

BAC

的平分

線，

D

是

AB

上一點，且

AD

＝

AC

，

DE

∥

BC

交

AC

于點

E

，連結

DF

，

DC

.

求證：

CD

平分∠

EDF

.

123456【證明】∵

AD

＝

AC

，∴△

ACD

是等腰三角形.

∵

AF

是∠

BAC

的平分線，∴

AF

垂直平分

DC

，∴

DF

＝

FC

，∴∠

FDC

＝∠

FCD

.

∵

DE

∥

BC

，∴∠

FCD

＝∠

EDC

，∴∠

EDC

＝∠

FDC

，即

CD

平分∠

EDF

.

123456

已知平行線、等腰三角形6.

如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，過點

C

作

CQ

∥

AB

，

P

為

BC

上任意一點，連結

AP

，

PQ

，使∠

APQ

＝∠

BAC

，

PQ

交

CQ

于點

Q

.

求證：

PA

＝

PQ

.

123456【證明】如圖，過點

P

分別作

PM

⊥

AC

，垂足為

M

，

PN

⊥

CQ

，垂足為

N

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

ACB

.

∵

CQ

∥

AB

，∴∠

BCQ

＝∠

B

，∴∠

BCQ

＝∠

ACB

，∴

CP

平分∠

ACQ

，∴

PM

＝

PN

，∴△

CPM

≌△

CPN

，123456∴∠

MPC

＝∠

NPC

.

∵∠

BAC

＝180°－∠

B

－∠

ACB

＝180°－2∠

B

，∠

MPN

＝2∠

MPC

＝2(90°－∠

ACB

)＝180°－2∠

B

，∠

APQ

＝∠

BAC

，∴∠

MPN

＝∠

BAC

＝∠

APQ

，

∴