湖南省長郡中學2025屆高二數學第一學期期末達標檢測試題含解析

湖南省長郡中學2025屆高二數學第一學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數學名著九章算術中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數列，且2．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.3．已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于A，B兩點，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.4．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－66．已知等比數列的各項均為正數，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.17．已知平面的一個法向量為=（2，－2，4），=（－1，1，－2），則AB所在直線l與平面的位置關系為（）A.l⊥ B.C.l與相交但不垂直 D.l∥8．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.9．已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為10．若函數在上為增函數，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．數列是等比數列，是其前n項之積，若，則的值是（）A.1024 B.256C.2 D.51212．點到直線的距離是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______14．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，若，則點到平面的距離為___________.15．若函數在處取得極小值，則a=__________16．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.18．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大小；（2）求的面積.條件①：；條件②：.19．（12分）已知等比數列滿足，（1）求數列通項公式；（2）記，求數列的前n項和20．（12分）從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數據資料，算得.（1）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程；（2）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.21．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，設，求數列的前n項和.22．（10分）如圖，已知拋物線的焦點為，點是軸上一定點，過的直線交與兩點.（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點，連接交軸于點.證明：成等比數列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數列，三者之和為50升，根據等比數列的前n項和，即故答案為D.2、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內，設點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D3、A【解析】根據將最小值問題轉化為d取得最大值問題，然后結合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點，圓心，半徑，已知點P在圓內，過點作直線與圓相交于A，兩點，記圓心到直線的距離為d，則，所以當d取得最大值時，有最小值，結合圖形易知，當直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.4、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.5、D【解析】根據向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D6、A【解析】根據是等比數列，則通項為，然后根據條件可解出，進而求得【詳解】由為等比數列，不妨設首項為由，可得：又，則有：則故選：A7、A【解析】由向量與平面法向量的關系判斷直線與平面的位置關系【詳解】因為，所以，所以故選：A8、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A9、D【解析】根據已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D10、C【解析】求出函數的導數，要使函數在上為增函數，要保證導數在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.11、D【解析】設數列的公比為q，由已知建立方程求得q，再利用等比數列的通項公式可求得答案.【詳解】解：因為數列是等比數列，是其前n項之積，，設數列的公比為q，所以，解得，所以，故選：D.12、B【解析】直接使用點到直線距離公式代入即可.【詳解】由點到直線距離公式得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.14、【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】因為底面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故答案為：.15、2【解析】對函數求導，根據極值點得到或，討論的不同取值，利用導數的方法判定函數單調性，驗證極值點，即可得解.【詳解】由可得，因為函數在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以函數在處取得極小值，符合題意；當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以函數在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.【點睛】思路點睛：已知函數極值點求參數時，一般需要先對函數求導，根據極值點求出參數，再驗證所求參數是否符合題意即可.16、【解析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】解：因，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由拋物線的方程可得到焦點坐標，設，寫出向量的坐標，由向量間的關系得到，將點代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設①在上，將①代入可得：，即.【點睛】求軌跡方程，一般是求誰設誰的坐標然后根據題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.18、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.19、（1）（2）【解析】（1）通過基本量列方程組可得；（2）由裂項相消法可解【小問1詳解】由題意得解得，所以數列的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，則所以20、（1）＝0.3x－0.4；（2）正相關；（3）1.7(千元).【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【詳解】（1）由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.（2）因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關.（3）將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).21、（1）（2）.【解析】(1)由數列的前n項和與通項公式之間的關系即可完成.(2)由錯位相減法即可解決此類“差比”數列的求和.【小問1詳解】由，得當時，，上下兩式相減得，，又當時，滿足上式，所以數列的通項公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，