2025屆云南省曲靖市陸良縣第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆云南省曲靖市陸良縣第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．如圖，已知多面體，其中是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.3．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20704．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(diǎn)(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.25．已知集合，則（）A. B.C. D.6．設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動(dòng)棱長(zhǎng)為一個(gè)單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.7．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.9．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.110．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.11．某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁12．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．作邊長(zhǎng)為6的正三角形的內(nèi)切圓，半徑記為，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個(gè)半徑為的圓，2個(gè)半徑為的圓，……，個(gè)半徑為的圓，n個(gè)半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______14．已知函數(shù)，則的值為______15．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點(diǎn)為N，求的取值范圍.18．（12分）如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，已知頂點(diǎn)深度4cm，口徑長(zhǎng)為12cm（1）以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm，求此時(shí)該磨具的口徑長(zhǎng)19．（12分）某公司舉辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測(cè)算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？20．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，沿AE將折起，使得點(diǎn)D到達(dá)F位置.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面AFC；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.21．（12分）已知圓的圓心為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求.22．（10分）已知兩點(diǎn)（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點(diǎn)的圓C的切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列2、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解.【詳解】取的中點(diǎn)O，連接OB，過O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，設(shè)平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點(diǎn)C到平面ABD的距離.故選：C3、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A4、C【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由過點(diǎn)，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)槠溥^，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論依然成立.故選：C5、B【解析】先求得集合A，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：B.6、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí)，是投影面與平面AB'C平行，三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形，其對(duì)角線為，即投影面上三條對(duì)角線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C7、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.【詳解】，故.故選：D.8、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D9、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A10、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D11、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對(duì)幾何體的體積進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】可將幾何體看作一個(gè)以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個(gè)曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D12、C【解析】分類討論:當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有，此時(shí).②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有，此時(shí).綜上，當(dāng)時(shí)兩圓外切；當(dāng)時(shí)兩圓內(nèi)切.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時(shí)易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時(shí)注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①；②..【解析】設(shè)第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設(shè)n個(gè)半徑為的圓的面積為并求出，進(jìn)而運(yùn)用錯(cuò)位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設(shè)第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為，易得，則是以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設(shè)n個(gè)半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.14、【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：15、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，可得.設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達(dá)定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.16、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當(dāng)時(shí)，，即因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出后可得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理可用表示，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.小問1詳解】由題意可得，解得，.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，，.聯(lián)立，整理得，則，解得，從而，.因?yàn)镸是線段PQ的中點(diǎn)，所以，則，故.直線的方程為，即.令，得，則，所以.設(shè)，則，故.因?yàn)椋?，所?18、（1）（2）cm【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得拋物線過點(diǎn)，將此點(diǎn)代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設(shè)此時(shí)的口徑長(zhǎng)為，則拋物線過點(diǎn)，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)深度4，口徑長(zhǎng)為12，所以該拋物線過點(diǎn)，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點(diǎn)深度減少，設(shè)此時(shí)的口徑長(zhǎng)為，則可得，得，所以此時(shí)該磨具的口徑長(zhǎng)19、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對(duì)活動(dòng)天數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式求出的范圍即可.【小問1詳解】設(shè)第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.【小問2詳解】設(shè)活動(dòng)第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）若，則，解得∴活動(dòng)開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設(shè)，由于四邊形是等腰梯形，是的中點(diǎn)，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點(diǎn)，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,平面的法向量為，設(shè)平面法向量為，則，故可