2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（56題）解析版

專題24銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（56題）

一、單選題

1.（2024?云南?中考真題）在ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,貝!JtanA的值為（）

A.iB.1C—DT

5354

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：,?,在「ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

.,BC4

..tanA==—,

AB3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義.

2.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,尸是邊BC上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連接

。瓦AF,￡>E與"相交于點(diǎn)G,連接3G.若AB=4,BC=6,則sin/GBP的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點(diǎn)G作GHLBC,證明

FGpp1

AGDsFGE,得至!］黑=某==，再證明"GHF—極？，分別求出HG,尸”的長，進(jìn)而求出的長,

AGAD3

勾股定理求出3G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：??,矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

:?AGXFGE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

,FG

**AF-4

過點(diǎn)G作GHL3C,貝！J：GH//AB,

第1頁共58頁

GHFs.ABF,

,FHGHFG_1

??薩一方一赤一"

FH=-BF=\,GH=-AB=\,

44

BH=BF—FH=3,

BG=>/l2+32=y/10>

iTio

：.sinZGBF=—

BGVio-io

故選A.

3.（2024?四川雅安?中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測量一棟樓房8的高度（如圖），他們在A

處仰望樓頂，測得仰角為30。，再往樓的方向前進(jìn)50米至8處，測得仰角為60。，那么這棟樓的高度為（人

的身高忽略不計(jì)）（）

A.25舊米B.25米C.25五米D.50米

【答案】A

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三

角形.

設(shè)OC=x米，在RtACD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AC,在描3C。中，利用銳角三角函數(shù)定義

表示出BC,再由AC-3C=AB=50列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值即可.

【詳解】解：設(shè)。C=x米，

在RtACD中，ZA=30°,

tanA=g,即tan30o=—=3，

ACAC3

第2頁共58頁

整理得：AC=JL米，

在RfBCD中，ZDBC=60°,

tanZr>BC=—,即tan60°=▲=百,

BCBC

整理得：BC=昱x米,

3

TAB=50米，

AC-BC=50,即后一生=50,

解得：X=25y/3,

側(cè)這棟樓的高度為256米.

故選：A.

4.(2024.四川資陽?中考真題)第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(JCME—14)會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案

來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(―母，4BCF,

CDG,DAH)和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形A5CD.若EF：AH^1：3,則sin/ASE=()

史

B.-D,

555

【答案】C

【分析】設(shè)EF=x，則AH=3x,根據(jù)全等三角形,正方形的性質(zhì)可得AE=4x,再根據(jù)勾股定理可得AB^5x,

即可求出sin/ABE的值.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)￡F=x,則AH=3x,

四邊形EFGH為正方形,

：.AH=BE=3x,EF=HE=x,

AE=4x,

NAEB=90。，

?*-AB=>JAE2+BE2=5x，

：.sinZABE=-4x4

AB5x5

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故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

5.（2024.四川達(dá)州?中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長均為2,

ZABD=120°,其中點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，貝Utan/BCD的值為（）

L3

A.2B.2-\/3C.—D.3

2

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長3C交格點(diǎn)于點(diǎn)尸，連接w，E,G分別在格點(diǎn)上,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出NAFC=90。，解直角三角形求得A凡巾的長，根據(jù)對頂角相等，進(jìn)而根據(jù)正

切的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長BC交格點(diǎn)于點(diǎn)尸，連接AF,E,G分別在格點(diǎn)上，

依題意，/EGF=120。,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

：.ZCEF=30°,ZECF=60°

ZAFC=90°

又FC=2,

???AF=2EF=4EGcos30°=4x2x—=4A/3

2

AF4J3r-

tanZBCD=tanZACF=——==2^3

FC2

故選：B.

6.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在而ABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AD平分/C鉆交BC

于點(diǎn)。，點(diǎn)E為邊居上一點(diǎn)，則線段DE長度的最小值為（）

AEB

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A.72B.73C.2D.3

【答案】C

【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題意求得NBAC和AC,結(jié)合

角平分線的性質(zhì)得到NC4D和。C，當(dāng)DES時(shí)，線段DE長度的最小，結(jié)合角平線的性質(zhì)可得OE=OC

即可.

【詳解】解：???NC=90。,ZB=30°,

?\ZB4C=6O°,

AC

在RtABC中，tan/B=——,解得AC=2A/3,

CB

???AD平分/C4B,

???NC4T>=30。，

DC

tan/C4Z）=-----,解得DC=2,

當(dāng)。E工AB時(shí)，線段DE長度的最小，

,/AD平分NC4B,

DE=DC=2.

故選：C.

7.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是8的中點(diǎn)，則sinNEBC的值

為（）

A.@B?立C.叵D.迫

551414

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助

線，構(gòu)造直角三角形求解.

延長BC,過點(diǎn)E作BC延長線的垂線，垂足為點(diǎn)H,設(shè)3C=CD=x,易得ZABC=NDCH=60。,貝U

CE=^-CD=^-x,進(jìn)而得出EH=CE?sin60°=且x,CH=CE?cos60°=Lx,再得出8"=3C+CH=：x,

22444

FH

最后根據(jù)sinNE3C=H，即可解答.

【詳解】解：延長3C,過點(diǎn)E作BC延長線的垂線，垂足為點(diǎn)X,

:四邊形ABCO是菱形，

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BC=CD,AB//CD,

：.ZABC=ZDCH=60°,

T^BC=CD=X,

E是8的中點(diǎn)，

/.CE=-CD=-x,

22

?/EH±BH,

EH=CE-sin60°=—x,CH=CE-cos600=-x,

44

：.BH=BC+CH=-x,

4

BE=^BH2+EH-=—X

2

6

FH工叵

：.sin/EBC=——

BEV7-14)

——x

2

二、填空題

8.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC與8。交于點(diǎn)0,DE1AC于點(diǎn)E,延長。E

與2C交于點(diǎn)心若AB=3,BC=4,則點(diǎn)歹到8D的距離為.

21

【答案】市

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，過點(diǎn)F作斤垂足為H,

利用勾股定理求出AC的長，利用角的余弦值求出。尸的長，再利用勾股定理求出FC,從而得出砥，利

用三角形面積求出即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FHLDB,垂足為"，

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四邊形ABCD為矩形,

:.ZBAD=ZBCD=90°,AC=BD,

AB=3,BC=4,

AC=3D=yjAB2+BC2=V32+42=5，

S.=-AD-DC=-AC-DE,gp-x4x3=-x5xZ)E,

?血nc2222

1?

解得：D￡=y,

12

:.cosZEDC=—=—,即《3,

DCDF~~

解得：DF=9,

4

97

:.BF=BC-FC=4——=—,

44

sBDF=；BD-FH=；BF?DC,即:x5xFH=3x（x3,

21

解得：FH=-f

21

故答案為：—.

9.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片A3CD沿對角線30折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)石處，BE與AD

交于點(diǎn)R若AB=6,BC=8,則cos/AB尸的值是

24

【答案】-

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證斯=。尸，再利用W求出邊長，從而求解即可.

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【詳解】解：???折疊,

:.ZDBC=NDBF,

???四邊形ABCO是矩形，

:.ADBC,AD=BC=8,

:.ZADB=NDBC,

:.ZDBF=ZADB,

:.BF=DF,

:.AF=AD—DF=8—BF,

在RfABR中，AB2+AF2=BF2,

62+(8-BF)2=BF2,

25

解得8尸=二，

4

cosZABF=—=—

BF25

24

故答案為：—.

10.（2024.四川資陽?中考真題）在，/IBC中，ZA=60°,AC=4.若ASC是銳角三角形，則邊長的

取值范圍是.

【答案】2<AB<8

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.作的高8,BE,根據(jù)題意可

得AOAE,在處ACD中，根據(jù)三角函數(shù)可得ADnACgpos?A2,即/山>2,再根據(jù)

ApAC

AB=^-<^—,即可求解.

coswcosA

【詳解】解：如圖，作ABC的高CO,BE,

,/RC是銳角三角形,

CD,8E在的內(nèi)部,

■.AB>AD,AC>AE,

在RtACD中，ZA=60°,AC=4,

AD=ACg:os?A4?12,

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,AB>2,

又cos行1cosA1

2<AB<8,

故答案為：2<AB<8.

H.（2024?福建?中考真題）無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的.下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知

帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角1尸”為70。，帆與航行方向的夾角NPDQ為30。,風(fēng)對帆的作用力F

為400N.根據(jù)物理知識(shí)，尸可以分解為兩個(gè)力8與F2,其中與帆平行的力耳不起作用，與帆垂直的力F?

儀可以分解為兩個(gè)力力與人工與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；力與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船

前行的動(dòng)力.在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：/=">=400,則

f2=CD=_____.（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.64,cos40°=0.77）

航行方向

帆

6

【答案】128

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出NADQ=40。，/1=/尸。。=30。，由AB〃QD得到

ZBAD=ZADQ=40°,求出居==AD-sin/BAD=256,求出NBDC=90。一=60。在RtBCD中，根

據(jù)力=。=2。<。$/2。。即可求出答案.

【詳解】解:如圖，

航行方向

帆

6

F風(fēng)向/

;帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角/PDA為70°,帆與航行方向的夾角NPOQ為30。,

/.ZADQ=/PDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Zl=ZPDQ=30°,

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,/AB//QD,

：.ZBAD=ZADQ^40°,

在RtAABD中，F(xiàn)=AD=400,?ABD90?,

/.K=BD=AD-sinABAD=400xsin400=400x0.64=256,

由題意可知，BDVDQ,

：.ZBDC+Zl=90°,

：.ZBDC=90°-Zl=60°

在RtBCD中，BD=256,/BCD=90。,

：.力=C￡>=BD-cosZBDC=256xcos60°=256x-=128,

22

故答案為：128

12.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，斜坡CO的坡度力=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,

當(dāng)太陽光與水平面的夾角為60。時(shí)，大樹在斜坡上的影子8E長為10米，則大樹的高為米.

【答案】（4厲-2君-2君+4?。?/p>

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形.

如圖，過點(diǎn)E作水平地面的平行線，交A3的延長線于點(diǎn)設(shè)=x米，EH=2x米,勾股定理求出

x=2亞,解直角三角形求出A"=tanNAE7f==進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作水平地面的平行線，交的延長線于點(diǎn)H,

在RtZ^BEH中，tanZBEH=tanZBCF=i=,

EH2

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設(shè)即/=九米，即=2%米,

BE=dEH°+BH?=6=10,

..x=,

:.BH=2亞米,EH=4小米,

QZAEH=60°f

:.AH=tan/AEH?EH=6EH=4亞（米）,

AB=AH-BH=（4A/15-2>/5）（:米）,

答：大樹A8的高度為（4A-2君）米.

故答案為：（4715-275）.

13.（2024.湖南.中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（ch6ng）搗谷物的工具——“碓（dui）”

的結(jié)構(gòu)簡圖，右圖為其平面示意圖，已知AS,CD于點(diǎn)8,AB與水平線/相交于點(diǎn)。，OEYI.若BC=4

分米，03=12分米.NBOE=60。,則點(diǎn)C到水平線/的距離C/為分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表

示）.

—

血

物

【答案】（6-2⑹/卜2百+6）

【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長。C交/于點(diǎn)H,連接0C,根據(jù)題意及

解三角形確定88=4/，OH=8出，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：延長DC交/于點(diǎn)“，連接0C,如圖所示:

03=12dm

/.BH=12xtan30°=4V3,OH=

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S40BH=S^OCH+S4OBC

:.-OBBH=-OHCF+-OBBC

222

gp1x473X12=-X8A/3XCF+-X12X4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案為：（6-2A/3）.

14.（2024?江西?中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形A8CO,連接AC,則

tanZC4B=.

【答案】1/0.5

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖1,設(shè)等腰直角

的直角邊為。，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進(jìn)而根

據(jù)正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為“，則=，小正方形的邊長為

MP=2a,

EM=yl（2a）2+（2a）2=2缶，

；?MT=EM=2缶，

/.QT=25/24;—sfla=V2a,

如圖2,過點(diǎn)C作CHLAB的延長線于點(diǎn)H,則CH=8￡>,BH=CD,

由圖（1）可得，AB=BD=26a，。=缶+缶=2缶，

,CH=2缶，BH=2近a，

?*-AH=20a+2及a=4缶,

2y[2aJ.

tanZC4B=—

AH4。2

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15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形A3C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)、B,C

均在x軸上.將，ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△AB'C',則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為

【答案】（4,4-孚）

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.作CF_LAO,

求出。/，Cb的值即可得到答案.

ABC是等邊三角形，AO1BC,

AO是/區(qū)4c的角平分線，

，/OAC=30。，

OC=-AC,

2

在RtAOC中，AO2+OC2AC2,

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即16+§AC)2=3,

解得AC考

…c與

4x/3

0F=AO-AF=4-AC-cos600=4---,

3

FC=AC-sin6Q°=—x^=4,

32

C(4,4-

故答案為：（4,4-

三、解答題

16.（2024.黑龍江大慶.中考真題）求值：槨-2卜（2024+兀）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算.直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)暴的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分

別化簡即可得出答案.

【詳解】解：2-2卜（2024+7r）°+tan60。

=2-^-1+^

=1.

17.（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹的高度，經(jīng)過實(shí)地測量，得到兩個(gè)解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹相距10米，眼睛。處觀測樹的頂端A的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹48相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛O在鏡子

C中恰好看到樹AB的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹AB的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32°?0.64）

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AA

D

E

圖（2）

【答案】樹48的高度為8米

【分析】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題.

方案一：作/組1相，在Rt^ADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案一：作垂足為E,

則四邊形BCDE是矩形，

OE=BC=10米，

在RtZ\AT）E中，ZADE=32°,

：.AE=DE-tan32°?10x0.64=6.4（米），

樹A3的高度為64+1.6=8米.

方案二：根據(jù)題意可得ZACB=/DCE,

；NB=ZE=90°,

：..ACB^DCE

.ABBCAB10

??=,Hn—

DECE1.62

解得：A5=8米，

答：樹AB的高度為8米.

18.（2024.山東泰安?中考真題）（1）計(jì)算：21皿60。+、）一卜用+J（一3/；

..AA（2x—1\——1

（2）化|旬：1---------+---------.

Vxjx

Y—1

【答案】（1）7；（2）--

尤+1

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【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡，實(shí)數(shù)運(yùn)算涉及特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)幕，二次根式和

絕對值，熟練掌握相關(guān)的法則是解題的關(guān)鍵.

（1）利用特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)幕，二次根式和絕對值進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算；

（2）利用分式的運(yùn)算法則化簡即可.

【詳解】解：（1）2tan60°

=2肉4-2昌3

x2-2x+lx

x2-l

尤-1

x+1

19.（2024?遼寧.中考真題）如圖1,在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提

起.起始位置示意圖如圖2,此時(shí)測得點(diǎn)A到3C所在直線的距離AC=3m,ZCAB=60°；停止位置示意

圖如圖3,此時(shí)測得/CD3=37。（點(diǎn)C,A,。在同一直線上，且直線。與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在

同一平面內(nèi).定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過程中繩子總長不變.（參考數(shù)據(jù)：sin37。q0.60,cos37。*0.80,

tan37°?0.75,73?1.73）

⑴求A3的長；

（2）求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0.1m）.

【答案】（1）6m

（2）2.7m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

（1）解Rt^ABC即可求解；

第16頁共58頁

(2)在Rt^ABC中，由勾股定理得，BC=3g,解RtBCD求得BD=56,由題意得，BC+AB=BE+BD,

故BE=BC+AB-BD=6-2框,則CE=BC-BEa2.7m.

【詳解】(1)解：由題意得，ZBCA=90°,

VAC=3m,ZCAB=60°,

Ar

???在RtZXABC中，由cos/A=——,

AB

31

得：—=cos60°=-,

AB2

AB=6m,

答：AB=6m；

(2)解：在Rt^ABC中，由勾股定理得，BC=>jAB2-AC2=3^>

在RtBCD中，sinZCDB=——，

BD

3J3

/.sin37°=—=0.6,

BD

/.BD=5y/3,

由題意得，BC+AB=BE+BD,

BE=BC+AB-BD=3拒+6-56=6-2日

：.CE=BC-BE=3&[6-2#))=5#)-6x2.7m,

答：物體上升的高度約為2.7m.

20.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)(1)計(jì)算：|-l|-(V2-2)°+2sin30°

(2)化簡:(x+2)(x-2)-尤2

【答案】(1)1；(2)-4

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及整式的運(yùn)算.

(1)先計(jì)算絕對值，零次幕和特殊角的三角函數(shù)，再計(jì)算加減即可.

(2)先計(jì)算平方差公式，再合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：(1)原式=l-l+2x1

2

=1-1+1,

=1

(2)原式=三一4一爐

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=-4

21.（2024?湖南?中考真題）計(jì)算：|-3|++cos60°-6.

【答案】I

【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)、零次嘉的運(yùn)算等，先化簡絕對值、零次塞及

特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減法即可，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：|-3|++cos600-A/4

=3+1+——2

2

22.（2024?四川廣安?中考真題）計(jì)算：+2sin60°+|A/3-2|-^-j.

【答案】1

【分析】先計(jì)算零次幕，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，再合并即可.

【詳解】解：^j-3j+2sin60°+|V3-2|-Q^'

=l+2x立+2-且2

2

=1+73+2-73-2

【點(diǎn)睛】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，零次幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的含義，化簡絕對值,

掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

23.（2024?江蘇鹽城?中考真題）計(jì)算：卜2|-（1+乃）°+4sin30。

【答案】3

【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算絕對值、零指數(shù)累、代入特殊角三角函數(shù)值，再進(jìn)行混合運(yùn)算

即可.

【詳解】解：|-2|-（l+^）°+4sin30°

=2-l+4x-

=2-1+2

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=3

24.（2024?四川遂寧?中考真題）小明的書桌上有一個(gè)L型臺(tái)燈，燈柱A8高40cm，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)燈帶與水

平線夾角為9。時(shí)（圖1）,燈帶的直射寬DE（3D_L3C,CE_L3C）為35cm,但此時(shí)燈的直射寬度不夠,

當(dāng)他把燈帶調(diào)整到與水平線夾角為30。時(shí)（圖2）,直射寬度剛好合適，求此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)C到桌面的距

離.（結(jié)果保留1位小數(shù)）（sin9°?0.16,cos9°?0.99,tan9°?0.16）

【答案】此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)C到桌面的距離為57.3cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；在圖1中，BC^BMcos90,在圖2中求得CN,進(jìn)而根據(jù)燈

柱48高40cm，點(diǎn)C到桌面的距離為AB+CN,即可求解.

【詳解】解：由已知，BM//AE,

在圖1中，DE//BM

?：BD1BC,CE±BC

：.BD//CE

.??四邊形BDEM是平行四邊形，

BM=DE=35

在RtaBMC中，BC=BM-cos9°

在圖2中，過點(diǎn)C作CN于點(diǎn)N,

CN=BCsin30°=BM?cos9°-sin30°=35x0.99x」a17.3cm

2

燈柱AB高40cm,

點(diǎn)C到桌面的距離為AB+CN=40+17.3=57.3cm

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答：此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)C到桌面的距離為57.3cm.

-1

25.（2024?四川瀘州?中考真題）計(jì)算：|-V3|+（7t-2024）°-2sin60°+

【答案】3

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，絕對值，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的

加減運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.先化簡各式，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可解答.

【詳解】解：原式=^+l-2x也+2,

2

=石-昌3,

=3.

26.（2024?四川自貢?中考真題）計(jì)算：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

【答案】-1

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡正切值，再運(yùn)算零次幕，絕對值，算術(shù)平方

根，再運(yùn)算加減，即可作答.

【詳解】解：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

=（1-2）°+|2-3|-79

=1+1-3

=—1.

27.（2024?重慶?中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B,。兩港運(yùn)送物資，最后到

達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60。

方向航行一定距離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達(dá)。港，再沿南偏東30。方向

航行一定距離到達(dá)C港.（參考數(shù)據(jù)：72?1.41-6。1.73,76~2.45）

（1）求A,C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、。兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明.

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【答案】(1)A,C兩港之間的距離77.2海里;

(2)甲貨輪先到達(dá)C港.

【分析】(1)過B作防，AC于點(diǎn)E,由題意可知：/G4B=45。，/￡BC=60。，求出

AE=ABcos/BAE=20直，CE=BEtanNEBC=2046即可求解；

(2)通過三角函數(shù)求出甲行駛路程為：AS+3C=40+56.4=96.4,乙行駛路程為：

AD+CD=66.8+38.6=105.4,然后比較即可；

本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)如圖，過8作骸，AC于點(diǎn)E,

B\

ZAEB=NCEB=90°,

由題意可知：/G"=45。，Z￡BC=60°,

ZBAE=45°,

?*-AE=ABcosNBAE=40xcos45°=2072，

CE=BEtanNEBC=20夜tan60°=2072x6=20娓,

/.AC=AE+CE=20匹+20面。20xl.41+20x2.45a77.2（海里）,

；.A,C兩港之間的距離77.2海里;

（2）由（1）得：ZBAE^45°,/EBC=60。,AC=77.2,

BE=ABsin/BAE=40xsin45°=200，

BE207220V2m后一

.BC=-------------=----------=—,—=40V2?56.4

,,cosNEBCcos6001，

2

由題意得：ZADF=60°,NCDF=30°,

ZADC=90°,

11173

CD=-AC=-x77.2=38.6,AD=ACcos30°=77.2x^^66.8（海里），

222

.??甲行駛路程為：Afi+3c=40+56.4=96.4（海里），乙行駛路程為：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里）,

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V96.4<105.4,且甲、乙速度相同，

.??甲貨輪先到達(dá)C港.

28.（2024?重慶?中考真題）如圖，A,B,C,。分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，8在A的正東方向，。在A的

正北方向，且在C的北偏西60。方向，C在A的北偏東30。方向，且在8的北偏西15。方向，AB=2千米.（參

考數(shù)據(jù)：V2?1.41，0°1.73,76?2.45）

（1）求BC的長度（結(jié)果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)。出發(fā)去景點(diǎn)8,甲選擇的路線為：D-C-B,乙選擇的路線為：D-A-B.

算說明誰選擇的路線較近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲選擇的路線較近

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用:

（1）過點(diǎn)8作BELAC于￡,先求出NACB=45。，再解Rt/VLBE得到3萬=百千米，進(jìn)一步解RtBCE

即可得到BC=—41—=#。2.5千米；

smZBCE

（2）過點(diǎn)C作CFJLAD于先解RtAABE得到AE=1千米,貝I]AC=AE+CE=（1+岔）千米，再RtAAFC

得到5=匕走千米，=千米，最后解RtDCF得到。歹=型史千米，山》=史詼千米，即

2263

CD+BC=+76?4.03AD+AB#5.15千米，據(jù)此可得答案.

3

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作班，AC于E,

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由題意得，ZG4B=90°-30°=60°,ZABC=90°-15°=75°,

ZACB=180°-ZCAB-ZABC=45°,

在RtAABE1中，ZAEB=90°,AB=2千米，

2E=AB-cos/BAE=2-cos60°=6千米,

BE

在RtBCE中,BC=

sinZBCE

：■2C的長度約為2.5千米;

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)C作C尸，AD于

在RtAABE中，AE=AB-cosZBAE=2?cos60°=1千米,

/.AC=AE+CE={l+-j3^^z,

在RtAAFC中，CF=AC-sinZCAF=（1+?sin30°=上乎千米,

AF=AC-cosZCAF=（1+若）?cos30°=千米，

在RtDC尸中，ZDCF=30°,ZDFC=9Q°,

?*.DF=CF-tanZDCF=-tan30°=,

26

I+A/3_

CF_I__3+百千米，

CxZv———

cosDCFcos3003

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CT)+BC=3+逐+而人4.03千米,AD+AB=DF+AF+AB=2+i+^+3+^^5.15^-^,

362

,?4.03<5.15,

甲選擇的路線較近.

29.(2024?四川遂寧?中考真題)計(jì)算：sin45°++/+

【答案】2024

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)募的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)

值、絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：$M45。+乎-1+”+

乙\/UN_LJ

=-+1--+2+2021

22

=2024.

30.(2024?四川巴中?中考真題)某興趣小組開展了測量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng).如圖所示，斜坡BE的坡

度i=l：6,BE=6m,在8處測得電線塔CD頂部。的仰角為45。，在E處測得電線塔8頂部。的仰角

(1)求點(diǎn)8離水平地面的高度AB.

(2)求電線塔CO的高度(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】⑴M=3m；

(2)電線塔8的高度(66+6)m.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.

(1)由斜坡8E的坡度i=l:g,求得絲=4=走，利用正切函數(shù)的定義得到NfiE4=30。，據(jù)此求解

AEyJ33

第24頁共58頁

即可;

(2)作即」CD于點(diǎn)/，設(shè)=x,先解RtADB廠得到解RtVDCE得至UEC=￥(x+3)米，進(jìn)

而得到方程36+g(x+3)=x,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：,??斜坡BE的坡度，=1:石,

.AB_1y/3

??—,

AE63

)./r>廠4ABV3

,tan/BEA=----=—,

AE3

ZBE4=30°,

*.*BE=6m,

AB=1BE=3(m)；

(2)解：作于點(diǎn)b，則四邊形ASPC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

DF

在中，tanZDBF=—,

BF

：DF

.BF=--------------=xm,

tan/DBF

在RtAABE中，AE=yjBE2-AB2=373>

在RtVDCE中，DC=DF+CF=(^+3)m,tanZDEC=——

EC

?s焉+3),

BF=AE+EC,

3A/3+等(x+3)=尤,

x=65/3+6,

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答：電線塔8的高度（6若+6）m.

31.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）（1）計(jì)算：A/9+（7i+l）+2sin60°+|2—A/S|；

（2）已知3=0,求代數(shù)式（a—2）~+（a—l）（a+3）的值.

【答案】（1）6；（2）7.

【分析】（1）利用算術(shù)平方根、零指數(shù)哥、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別運(yùn)算，再合并即可求

解；

（2）由/_q_3=0得片-a=3,化簡代數(shù)式可得（。一2）2+（4-1）（4+3）=2（/一4+1,代入計(jì)算即可求

解；

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式化簡求值，掌握實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（1）原式=3+l+2x@+2-6

2

=4+73+2-73,

=6；

（2）3=0,

???261—〃Q=3,

1?（a-2）+（〃-l）（a+3）

=a?—4a+4+a2+2a—3,

-2/—2。+1,

—2（/_Q）+],

=2x3+1,

=7.

32.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，8是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路/上由北向南

行駛，在A處測得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)5處，測得橋頭。在南偏東60。方向

上，橋頭。在南偏東45。方向上，求大橋C。的長度.（結(jié)果精確至八米，參考數(shù)據(jù)：目土1.73）

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【答案】548米

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別過點(diǎn)C。作的垂線，垂足分別為QE,根據(jù)題意得出

AB=BC=1500,解RtBCF求得BF,CF,進(jìn)而求得3E=ED=CF,根據(jù)CD=EF=BE—BF,即可求

解.

【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)GD作A8的垂線，垂足分別為凡E,

.??四邊形CD所是矩形，

ACF=ED,CD=EF,

依題意，ZCBE=60°,30°,

ZACB=ZCBE-ZCAB=30°,

ZCAB=ZACB,

：.AB=BC=1500；

在RtBCV中，CF=BCxsinZBCF=1500x=75073,

2

BF=BCcosZCBF^-BC^150-

2

在R