2024年上海高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案

2024年上海高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案

(-)

填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分)考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.不等式|x-2|>l的解集為.

2.已知向量)=(T1),3=(3,4),則<￡1>=.

5i

3.已知復(fù)數(shù)2=—則Imz=.

1-1

4.1&+)=)的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

5.設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(2,l),若尸(J<a—3)=尸(J〉l—2a),則實(shí)數(shù)。=.

6.橢圓j+j?=1伍〉1)的離心率為I,則。=

a2

7.已知直線4的傾斜角比直線/2：>=xtan80。的傾斜角小20。，則4的斜率為.

8.己知/(x)=lgx—l,g(x)=lgx-3,若|f(x)|+|g(x)|=|/(x)+g(x)|,則滿足條件的x的取

值范圍是.

(x-1)3,0x<2,

9.對于函數(shù)y=/(x),其中/(x)=2，若關(guān)于X的方程/(x)=丘有兩個不同

.x

的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

10.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字，設(shè)“取到的2個數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件Z,“取到的2

個數(shù)字均為奇數(shù)”為事件B,則P(B\A)=.

11.如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm,上口寬6cm,若以30cm?/s的速度勻

速往杯中注水，當(dāng)水深為4cm時，酒杯中水升高的瞬時變化率v=cm/s

1

12.如圖，在棱長為1的正方體48CD—481cl2中，P、0、R在棱48、BC、上,且

PB=；,QB=；,RB=：,以△尸。R為底面作一個三棱柱PQ?—4。與，使點(diǎn)片,01，4分別

在平面DRcq、451GA上，則這個三棱柱的側(cè)棱長為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只

有一個正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.函數(shù)y=3%+!（》〉0）的最小值是（）.

X

A.4B.5C.3A/2D.2G

14.已知點(diǎn)尸（2,2后）是拋物線C:/=2川（夕〉0）上一點(diǎn)，點(diǎn)尸到。的準(zhǔn)線的距離為d,M

是x軸上一點(diǎn)，則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）”是“d=|PW|”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件，

15.設(shè)S0是首項(xiàng)為外,公比為夕的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且§2023<§2025<昆024，則

（）.

A.q〉0B.q>QC.同D.

16.如圖，己知直線>=丘+掰與函數(shù)y=/（x）,xe（a,A）的圖像相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)y=/（x）-辰

有（）.

2

A.2個極大值點(diǎn)，1個極小值點(diǎn)B.3個極大值點(diǎn)，2個極小值點(diǎn)

C.2個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)D.3個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的步

驟.

17.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

對于函數(shù)y=/(x),其中/(x)=2sinxcosx+2j§'cos2x-g',xGR.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在銳角三角形4BC中，若/(Z)=l,AB-AC=42＞求△4BC的面積.

18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

如圖,三棱柱ABC-4與G是所有棱長均為2的直三棱柱，D、E分別是棱AS和棱441的中

點(diǎn).

(1)求證：平面51col.平面48片4；

(2)求二面角g-CD-E的余弦值大小.

3

19.（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題（i）4分，第2小題（ii）6分）

垃圾分類能減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，同時能提高資源循環(huán)利用的效率.目前上海社區(qū)的垃

圾分類基本采用四類分類法，即干垃圾，濕垃圾，可回收垃圾與有害垃圾.某校為調(diào)查學(xué)生對垃圾

分類的了解程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，按照了解程度分為力等級和方等級，得到如下列

聯(lián)表：

男生女生總計

4等級402060

方等級202040

總計6040100

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)（規(guī)定：顯著性水平

a=0.05）?

附：r=7—,、，其中"=a+6+c+d,P（/3.841）?0.05.

（2）為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽.每局比賽由二

人參加，主持人/和6輪流提問，先贏3局者獲得獎項(xiàng)并結(jié)束比賽.甲，乙兩人參加比賽，已知主

21

持人/提問甲贏的概率為一，主持人6提問甲贏的概率為一，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸

32

贏.現(xiàn)抽簽決定第一局由主持人力提問.

（i）求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；

（ii）設(shè)x為結(jié)束比賽時甲贏的局?jǐn)?shù)，求x的分布和數(shù)學(xué)期望

20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

22

已知雙曲線4=1,耳，鳥分別為其左、右焦點(diǎn).

（1）求片，巴的坐標(biāo)和雙曲線「的漸近線方程；

（2）如圖，P是雙曲線r右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓c是耳的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸片，

PF2,片片分別切于點(diǎn)。，E,F,當(dāng)圓C的面積為4兀時，求直線桃的斜率；

（3）是否存在過點(diǎn)巴的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于/,B兩點(diǎn),且使得

4

NF/B=NF[B4,若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8芬門）圖

若無窮數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)T,使得氏+7=%對一切正整數(shù)〃成立，則稱｛4｝是周期

為T的周期數(shù)列.

71n兀

⑴若%=sin一+—（其中正整數(shù)%為常數(shù)，判斷數(shù)列｛%｝是否為周期

m3

數(shù)列，并說明理由;

（2）若%+]=%j+sin%（〃￡N,〃21）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列，并說明理由;

（3）設(shè)｛2｝是無窮數(shù)列，已知%+i=a+sina〃（〃￡N,〃21）.求證：“存在片,使得｛4〃｝是

周期數(shù)列”的充要條件是“｛々｝是周期數(shù)列”.

參考答案

一.填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應(yīng)在答題紙

相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.

行

1.(-00,1)1](3,+00)；2.arccos——；

10

5

3.4.160；

2

5.—6；6.2；

7.8.(0,10]U[1000,+oo);

3

9.心;10.

4

5

40V181

11.一；12.

3兀12

二.選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.

13.。；14.Z;15.C；16..B

三.解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.

解：（1）/（x）=2sinxcosx+2V3cos2x-V3=2sinxcosx+V3（2cos2x-1）

=sin2x+V3cos2x=2sin2x+—\

I3j

TTJTJT57TTT

由2kn—W2x+—W2左兀+—,左GZ,得左兀----WxW左兀+—,kGZ

2321212

所以，函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間是，（左eZ）.

（2）由已知/（Z）=2sin[2Z+/1=l,所以sin12Z+11=；

._,、r△，兀兀c/兀4兀_715兀/兀

因?yàn)?<4<一，所以一<2/H—<—，即271H———，所以/=—

2333364

又通.就=1花H就卜OS/=VL所以，?商H就卜2,

所以，△48C的面積S=J方卜inZ=gx2x*=￥.

18.（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.

解：（1）?.?。為棱48中點(diǎn)，△48C為正三角形，.?.CD,4g.

又三棱柱48C-44G是直三棱柱，

AAX1平面ABC，又CDu平面ABC,/.CD1AAX,

因?yàn)?Bn，4=4

A

AB,AA{u平面ABB^\CD平面ABB4,

?/CDu平面B{CD,平面B?D1平面ABBXAX

6

（2）由（1）得\C￡）A平面BQ,DEu平面

:.CD1BXD,CD1ED,：.NBQE是二面角B.-CD-E的平面角

后+后-小[回

在△51￡)￡中,DE=C，,B[D=B[E=^=cosNBQE

2-72-V5—10

二面角B「CD-E的余弦值為叵.

10

19.（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題（i）4分，第2小題（ii）6分）

解：（1）提出原假設(shè)〃。：學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān),

確定顯著性水平a=0.05,由題意得，a=40,b=c=d=20

可得2n(ad-be)?100x(40x20-20x20)225

“(〃+6)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x60x409

25

由尸(*...3.841)。0.05,且??3.841,

所以接受原假設(shè)，學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).

2122

（2）（i）比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為百=7'不義工=工

3239

比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，乙贏得比賽的概率為2=[1-：卜[1-

215

故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為A+A=[;

91o1o

（ii）X的可能取值為0,1,2,3,

X=o,即進(jìn)行了3場比賽，且乙贏得比賽，故尸（X=0）=：x：x:=L，

32318

X=l,即進(jìn)行了4場比賽，且乙贏得比賽，前3場中，甲贏得1場比賽，乙第4場贏,

7111111111215

故尸(x=i)=§X—X—X—+-X—X—X—+—X—X—X—

2323232323236

X=2,即進(jìn)行了5場比賽,且乙贏得比賽，前4場中，甲贏得2場比賽，乙第5場贏,

711112121121111

故尸(X=2)=§X—X—X—X—H——X—X—X—X—H——X—X—X—X—

23233232332323

11211111111121113

+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=--------

323233232332323108

X=3,即最后甲贏得比賽，由概率性質(zhì)得

7

P(X=^=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1----,

'7'"')''183610854

小題6分，第(3)小題8分.

22

解：(1)因?yàn)殡p曲線所以。2=4,〃=5,所以C=3,

45

即月(-3,0),8(3,0),

所以雙曲線r的漸近線方程是了=±半x

(2)解法一：由題意可知|尸。|=|尸E|,|耳￡)|=|耳尸|巴>|=|gE|,

所以|尸耳|一|尸身=(1尸。+1。用一(1尸段十|￡用)=1。耳1-1%1=1理1-|颶1=2。=4,

.?1(2,0),即尸是橢圓右頂點(diǎn)

設(shè)圓C的半徑為?r>0),因?yàn)閳AC的面積為4%，則口2=4兀，即廠=2,

■：CFVFXF2,

.?.設(shè)直線小的斜率為左，則直線P弱的方程為y=Mx-3),即米-y-3左=0,

由圓心C到直線PF2的距離等于圓的半徑,

一/曰|2左一2-3左|、

可得J~I----------1-2,

JF+1

解得直線PF,的斜率為k=-

3

(3)假設(shè)存在過點(diǎn)工的直線/與雙曲線￡的左右兩支分別交于N,8兩點(diǎn)，且使得

NF\AB=qBA,

8

設(shè)/(X],必)，B(X2,y2),48中點(diǎn)為M(尤0,%),

又可(一3,0),乙(3,0),

由/片48=/￡A4,可知△片48為等腰三角形，|片/|=|與切，且直線/不與x軸重合,

于是耳M_L4B,即與"_LA/&,

因此原；M,卜乂理=一，上.人一

%+3x0-3

焉+"=9（/）,點(diǎn)/,8在雙曲線「上,

"22

匚"=1①

所以4,5,,

三江=1②

I45

①-②化簡整理得：

=A.2LZA=A,

項(xiàng)+x2x1-x24x0x1-x24

則自M-kAB=|>

可得2k."」二g,

X。x0-34

4需=5XQ-15X0(II),

聯(lián)立（I）（H）得卜J/；",=3另一5/_i2=0,

〔4為=5%-15x0

得x0=—g或x0=3（舍）所以M：土土半

由自得如8=土/~，

所以直線/的方程為y=±普（x-3）.

21.（本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分.

5/T、...兀/C、兀.兀〃兀一.?！ㄘ?/p>

解：(1)??！?2加=sin—(〃+2〃t)H——sin---1----1~2兀—sin---1—

’1m3)\m3)\m3

{%}是為周期為2加的周期數(shù)列.

(2)①當(dāng)4]=%時，sinax=Q,ax=kjt(keZ),

9

...當(dāng)％=析(左eZ)時,｛%｝是周期為1的周期數(shù)列；

②當(dāng)qwE(左eZ)時，記/(x)=x+sinx,則a,#]=/(%),

/'(x)=l+cosx?0,當(dāng)且僅當(dāng)x=(2左+1)兀(尢eZ)時等號成立.

即/'(x)=l+cosx>0,所以/(x)在R上嚴(yán)格增.

若則/(%)</Q)，即g<。3，進(jìn)而可得生<。2<。3<a4V…，即｛a”｝是嚴(yán)格增

數(shù)列，不是周期數(shù)列；

同理，若為〉。2,可得｛%｝是嚴(yán)格減數(shù)列，不是周期數(shù)列.

綜上，當(dāng)q=E(keZ)時，｛%｝是周期為1的周期數(shù)列；當(dāng)qwE(keZ)時，｛4｝不是周

期數(shù)列.

(3)證明：

必要性.

若存在%，使得｛%｝是周期數(shù)列，設(shè)｛4｝的周期為及，則

b”+T。=?！?4+1—sina〃+4=“〃+1-sina”=bn,

所以｛"｝是周期為4的周期數(shù)列.

充分性.

若｛4｝是周期數(shù)列，設(shè)它的周期為T,記4=%,則

出=/(、)+sinx，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；

4=」(%)=，2+sin工(%)，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；

aT=,是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；

aT+x=%+sinfT_x(x),

令g(x)=%—%—sin人_i(x),則g(x)是連續(xù)函數(shù)，且

g(bT+2)=2-sinfT_x(x)>0,g(bT-2)=-2-sinfT_x(x)<0,

io

g(x)存在零點(diǎn)c.于是c--sinfT_x(c)=0

取%=c,則a?+]=67+sin/1―、(C)~c—4,從而

aT+2=bT+l+sinaT+1=4+sina1=a2,

aT+3=bT+2+sinaT+2=b2+sina2=a3,

一般地，%+?=%對任何正整數(shù)〃都成立，即｛4｝是周期為7的周期數(shù)歹人

（二）

一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)等差數(shù)列"'的前"項(xiàng)和為$n,已知"I貝""一（

)

D210non39

D.c.D.

2.對于數(shù)列凡L，—網(wǎng)勉㈱國疆事是“色；為遞增數(shù)列”的（

)

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

其導(dǎo)函數(shù)為且，

3.設(shè)函數(shù),㈤是定義在仰'上的可導(dǎo)函數(shù),,則不等式

住""外"⑷*…的解集為（

)

仲，(11b)

A.D.D.

4.若過點(diǎn)解聊崛可以作曲線‘一""的三條切線，貝M

)

4

八0<a-ae<b<0

D.

2

「0<ae<b*4

c.

二、填空題：本題共12小題，共54分。

5.己知等差數(shù)列的首項(xiàng)為一L前”項(xiàng)和為黑，若5：，「、'一"，則公差為

6.在數(shù)列由‘中,,則數(shù)列的第5項(xiàng)為一

11

7.已知2是等差數(shù)列,公差"關(guān)且",%,%成等比數(shù)列，則數(shù)列，的前”項(xiàng)和

S?=

8.已知等差數(shù)列佃」的前“項(xiàng)和為"，若”"，且$皿一5叫貝/足廠.

9,設(shè)等差數(shù)列陀2的前”項(xiàng)之和為滿足、'=〃"，那么與=.

io.已知數(shù)列的前”項(xiàng)和噩冷溷^廊瞬嚼，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

H.已知陶4尊』豳T,若對于任意的都有^^梯黃爭闔"，則實(shí)數(shù)"的最

小值為?

12.若曲線＞'I''勾標(biāo)’有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

13.已知函數(shù)都加淖”偎癖崎酶的圖象在點(diǎn)侑處的切線斜率為7,且2時，丫-**'有極

值，貝M⑴在，刁上的最小值為.

14.已知函數(shù)眥紳的單調(diào)減區(qū)間為佃'空若°＜則的最大值為

f0CC

15.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德-黎曼于一年提出，是至今仍未解決的世界難題-黎曼猜想涉及到很

多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發(fā)抖,

不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)2s3密密即，我

s=sP1Ea(.

們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和薩'?索f'"'"標(biāo)入手.已知正項(xiàng)數(shù)列‘底的前”項(xiàng)和為*，且滿足

%4嚼嚙，則窿容'其中拉/表示不超過*的最大整數(shù)1

16,若函數(shù)爵加方嵋噓叫勺極小值點(diǎn)只有一個，則”的取值范圍是.

三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

12

17一本小題"分,

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列缶一中，5”,且成等差數(shù)列.

'I'求等比數(shù)列’區(qū)」的通項(xiàng)公式；

若數(shù)列滿足%B.蛇婀求數(shù)列以’的前八項(xiàng)和廠的最大值.

18」本小題“分，

'"已知函數(shù)期所行，求〃山°解集；

⑺設(shè)曲線y-J*'在點(diǎn)佃"處的切線與直線“"I二"垂直，求0的值.

19/本小題”分，

5/a.Jn密思鼻尸遂跑

設(shè)"為數(shù)列1"的前項(xiàng)和，滿足F—物：

⑶求叫,%，咒心的值，并由此猜想數(shù)列2的通項(xiàng)公式七；

僅，用數(shù)學(xué)歸納法證明",中的猜想.

20」本小題"分'

在數(shù)列2中,4=且"函數(shù)丫一〃"滿足："”的值均為正整數(shù)，其中

數(shù)列

b-2C-3f(n)-2n^l求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

化,若?；ゲ幌嗟龋医釽知囑改1海，L4，％hb“，求4的取值范圍；

⑸若配購Tk，求數(shù)列的前?1項(xiàng)的和.

21」本小題"分，

0加常得n郵新住陶時修E

匚i大U，?

13

切證明時，仙邛

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

7,.：,M礴隰磔嘀舞瞅MM絡(luò)輛.

''證明：M時，葉

答案

1.【答案】“

D

2.【答案】

3.【答案】。

4.【答案】0

_1

5.【答案】

6.【答案】’

7.【答案】‘

8.【答案】」

9.【答案】/

10【答案】蛾颯蹦?逮圖奧幗等

11.【答案】一以

12.【答案/"T或a網(wǎng)

_40

13.【答案】

14.【答案】°

14

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：設(shè)數(shù)列陽”的公比為q,

因?yàn)閷O，明，孫成等差數(shù)列，所以隔颯趣,

91i

所以2--2-0,解得q—舍y

又所以數(shù)列/W的通項(xiàng)公式/"

’儲由題意得，匾盜.趣避網(wǎng)購勺

則比「9,且

故數(shù)列步」是首項(xiàng)為3公差為-2的等差數(shù)列，

蝎疑第萼副二噴鐲幽*艇』密?耀

所以0揶

所以當(dāng)“7時，晨的最大值為"

18.【答案】解：f⑷j]由題可得f*?E

由片1/U可得率謝一影珍哺?翼一遛一

又因?yàn)?/p>

故不等式的解集為

一?由題可清即常陵

依題意:

15

所以

19.【答案】解：⑺當(dāng)2時，融嗎，f

猜想…；

」1當(dāng)"7時，％7成立.

②假設(shè)“哂陋壁時，結(jié)論成立，艮嚴(yán)一

聊“西"-"〃葉—鳴瑞溪產(chǎn)顛球尸|塾

那幺，m口'J,

即啕］盜喝前國魄

二當(dāng)L時，結(jié)論成立.

綜上，猜想七一'”成立.

20.【答案】解：⑺依題意，…，而后d+1,則胸■般,

又—4,鼠一勺,因此覲盧領(lǐng)/峭，如擊封魏滔后糜璃，如密口赫^

3n二3女一2

%二2,n二3k一1，t￡M

所以數(shù)列中”的通項(xiàng)公式是’2".

⑶若q-3k,…,則眥咽也為，的倍數(shù)，對一切n「N,，九"…，不符合

16

“J*的條件；

妾q-3k_2kwN，~(3k-2)n-l3(k-1)/if1-3k1keJV-

因此對-切n**,一",不符合'/ih的條件；

若q_3k1k€N-則^-源魏，MC.V^^^As^一叫

LCN'

f

因此2％",%7=a；=b符合題意，

所以”的取值范圍是醐嬲噴鈍

源通

⑶因?yàn)間融繆醐一即麻,則/⑺7,〃2廣3,“刃-9,"4廠R

于是得b「a「0,與”，一-「Y：%

又rm+〃-f(n)r^+(-1)~!--2T-(-1)I：15?/為3的倍數(shù)，因此總有bz-"

曲、必.與+….-瓦佃的

加r以1bg].+505.?.?b,?bj-506a+505b?1010c.

21.【答案】解：聯(lián)的承F?T,令時幽，貝產(chǎn)3-^7,

因?yàn)?'C,所以魂31摩7型所以必"在/&'81單調(diào)遞增，

所以版菖就㈣現(xiàn)所以"幻在仰,8/單調(diào)遞增，則靂逼翩咽.

麓番碰人：「，「ll0gs磔海電

，令，則1n，

所以附在.上單調(diào)遞增，又晌

所以“時，鶴曙爵嗎函數(shù)。閨單調(diào)遞減；…時，^^喇1巡，函數(shù)?？蓡握{(diào)遞增.

所以，9國的單調(diào)遞減區(qū)間為‘乙2單調(diào)遞增區(qū)間為俏'

(“T*曲醉謫鑼酶管*

lit明：左clit，區(qū)I」lit

17

①當(dāng)x=n時3)1廣；而承，所以不等式成立.

②，當(dāng)\<"時suix：0由(2)知.x>C時域魂量熱邕解=■墨者

明麟瘠2喉儼昵2肘—翻碎酮射

所以

所以只需證

令闔醺四嗡，則^^=5室雪」配國士

所以p⑶在(。+叫調(diào)遞減，所以籍靂哪赧嗎即￡".1二X.

婢部修秘氟熟螳■■防弱需申醐

故只需證,即證：露

由'”知，上述不等式成立.

’,財事1礁？品第陶會和涵娥畫淋端

綜上，當(dāng)5時，年

(三)

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，

1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得。分.

1.已知幕函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,亨)，則/"(9)=.

2.已知扇形的圓心角為好，半徑為5,則扇形的面積S=.

3.將角度化為弧度：-315。=.

4.若tana=2,tan(a-B)=3,貝!jtanB=.

ijrir

5?若cosa=7a￡(0,貝Ucos(a4^-)=.

6.函數(shù)y=l°g_L(x+2),xe[2,6]的最大值為.

2

7.P(-4m,3%)(/77<O)為a終邊上一點(diǎn)，則cosa=.

8.已知函數(shù)_f(x)=a/+2ax-3對任意實(shí)數(shù)x都有廣(x)V0成立，則實(shí)數(shù)z的取值范圍

是.

18

，，，兀、

sin（兀+a）cos（3兀+a）cos+）

9.化簡:

cos（6冗）sin號燈一。）sin（-兀一a）

TT1jr

W-若sin（8飛■）空■,則引（28%）=-----------------

11.在平面直角坐標(biāo)系中，對任意角a,設(shè)a的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,

它與原點(diǎn)的距離是工我們規(guī)定：比值二，三，三分別叫做角a的正割、余割、余切，分別記作

xyy

seca,esca,cota,把/=56（:才，尸cscx,尸cotx分別叫做正割函數(shù)、余割函數(shù)、余切函

數(shù)，則下列敘述正確的有（填上所有正確的序號）

①cot4=1;

4

②sina*csca=1；

③尸secx的定義域?yàn)?A《Z｝；

（4）sec2a+csc2a24；

2

⑤cot2a_—T.

2cota

TTTT

12.設(shè)a￡（0,二?。?，B€,兀），若存在唯一一組Q,B使得tana+cota=sinB+acos

B成立，其中a為實(shí)數(shù)，則石的取值范圍是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題

有且只有一個正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知_f（x）=8/+6匠是定義在［a-1,24上的偶函數(shù)，那么*6的值是（）

A.」B.—C.」D.—

3322

14.在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）

A.小于37T的角一定是銳角

B.第二象限的角一定是鈍角

C.始邊相同且相等的角的終邊一定重合

D.始邊相同且終邊重合的角一定相等

15.已知sina==，a€（兀，亭），cosB=*B€（等，2兀），貝|a+B是（）

4252

A.第一象限角B.第二象限角

19

C.第三象限角D.第四象限角

16.設(shè)集合A={x|x=sin]=+sinH+sin]=+…+sin舄，,k€Z,k>0)>則集合

A的元素個數(shù)為()

A.1011B.1012C.2022D.2023

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫出必要的步驟

17.已知函數(shù)f(x)=ln(3+x)+ln(3-x)的定義域?yàn)?-3,3).

(I)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù);

(II)求函數(shù)/'(X)的零點(diǎn).

18.在平面直角坐標(biāo)系王沙中，角a與B的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)0,始邊均為x軸的非負(fù)半軸.若角a

的終邊曲與單位圓交于點(diǎn)p(亨，yQ)(yQ>0)-將。繞原點(diǎn)〃按逆時針方向旋轉(zhuǎn)言后與

角B的終邊〃。重合.

⑴求tan6的值；

sin(-BAcos(冗-B)

(2)求.、.「兀R、的值?

sin(冗+R)-sinP)

19.(16分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某

幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的

能源消耗費(fèi)用。(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：CR)滿足關(guān)系：C(x)(OWx

3x+5

W10),若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)/?(X)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能

源消耗費(fèi)用之和.

(I)求A的值及f(x)的表達(dá)式.

(II)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用/'(x)達(dá)到最小，并求最小值.

20.(16分)已知sin。、cos。是方程2A2-(-1)x+/=0的兩個實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)必的值；

sin8工cos8

(2)求1'l-tan8的值;

tan?

(3)若?！?―兀，2兀)，求cos2。的值.

2

20

21.(16分)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與

eXeX

雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：6址(x)=~-,雙曲余弦函數(shù)：

eXX

CQsh(x)=y-.(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-).

(1)計算cosh(2)-2cosh2(1)的值；

(2)類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：cosh(x+y)=,并加以證明；

(3)若對任意[0,ln2],關(guān)于x的方程sinh(力+cosh(x)=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

參考答案

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,

1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得。分.

1.已知幕函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,與)，則f(9).

答案為：

□

2.已知扇形的圓心角為浮，半徑為5,則扇形的面積S=笑二.

答案為：得;

3.將角度化為弧度：-315。

—4—

答案為：一。.

4

4.若tana=2,tan(a-P)=3,則tanB=.

—7―

答案為：-

【點(diǎn)評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

1JTJT11

5.若cosa=亍，a￡(0,-T-),貝Ucos(a—.

答案為

21

6.函數(shù)y=l°gJx+2）,xe⑵61的最大值為-2.

2

答案為：-2.

7.9（-4〃，3加（廬：0）為a終邊上一點(diǎn)，則cosa=A.

一5一

答案為：金

5

8.已知函數(shù)_f（x）=a/+2zx-3對任意實(shí)數(shù)x都有/l（x）V0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-3,0].

答案為：（-3,0].

71

sin（兀+a）cos（3兀+a）cos（-^-+a）

9.化簡：--------------------------------------------=-tana

cos（6兀+a）sin（彳兀一a）sin（一兀一a）

答案為：-tana.

TT1JT7

1。?若sin（8則sin（28一?