2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義-復(fù)數(shù)

§5.5復(fù)數(shù)

【課標(biāo)要求】1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)2理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)

相等的含義3掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1,復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷(a,bdR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中________是復(fù)數(shù)z的實(shí)部

是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.

⑵復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+bi(a￡R)

'實(shí)數(shù)S0),

<

、虛數(shù)(b0)(當(dāng)a。時為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+bi=c+di=(〃，人，c,d￡R).

(4)共柜復(fù)數(shù):

a+歷與c+di互為共輾復(fù)數(shù)o(。,b,c,d￡R).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量宓的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對值，記作________或________,即|z|=|a+bi\=

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,b^R)'"復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

一—對應(yīng),

⑵復(fù)數(shù)z=a+6i(a,bGR)'"平面向量應(yīng).

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=〃+bi,Z2=c+di(a,Z?,c,R),貝?。?/p>

①加法:zi+Z2=3+bi)+(c+di)-

②減，去：Z1-Z2=(。+bi)-(c+di)=

③乘法:z「Z2=(〃+/?i)-(c+di)=；

a+bi(〃+Z?i)(c-di)

④除法：1=________________(c+diWO).

c+di(c+di)(c-di)

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZiZZ?可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即應(yīng)=

,ZiZ2-.

【常用結(jié)論】

1+i1-i

1.(1土i>=±2i；---=i；----=-i.

1-i1+i

4,i

2.i=1,i4"+1=i,i4"+2=-1,i%+3=-i(neN*).

3.i4n+i4,!+1+i4"+*12+i4"+3=0(/1eN*).

4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)aW|z|W6表示以原點(diǎn)。為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z-(a+歷)|=廠(廠>0)表示以(a,6)為圓心,廣為半徑的圓.

【自主診斷】

1,判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=0沒有共機(jī)復(fù)數(shù).()

(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)已知z=a+歷(a,Z?eR),當(dāng)a=0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的

模?()

2.（必修第二冊P95Tl（3）改編）已知復(fù)數(shù)z=i3（l+i）,貝［|z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2023?合肥模擬）已知i是虛數(shù)單位，若11+翻=5,則實(shí)數(shù)a等于（）

A.2B.2mC.-2D.±2^6

4.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=i（i為虛數(shù)單位）,則z的虛部為.

■探究核心題型

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1⑴（多選）（2023銀川模擬）若復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）=10,則（）

A.z=2-4i

B.z-2是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

D.若角a的始邊為x軸非負(fù)半軸，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在角a的終邊上，則sina=當(dāng)

（2）（2024.杭州模擬）若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=-2+i（i是虛數(shù)單位）,貝此|等于（）

A.丹B.JC.|D坐

⑶（多選X2023?永州模擬）若關(guān)于x的方程/+工十加=0（m￡R）有兩個不同復(fù)數(shù)根為和必，其

中為=-3+監(jiān)（i是虛數(shù)單位）；則下面四個選項(xiàng)正確的有（）

A.m=1B.xi>X2C.xl-1D.始=X2

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z=-1-i（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）

A.|z|=2

B.z2=2i

C.z的共期復(fù)數(shù)為1+i

D.z的虛部為-1

2+i

⑵（2023.淄博模擬）若復(fù)數(shù)z=——的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）

a+1

A.-3B.-1C.1D.3

⑶（2023?懷化模擬）若復(fù)數(shù)z是爐+苫+1=0的根，貝亞|等于（）

ASB.1C.2D.3

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1-i_

例2⑴（2023?新鬲考全國I）已知z=，則z-z等于（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

（2）（多選）（2023?忻州模擬）下列關(guān)于非零復(fù)數(shù)zi,z2的結(jié)論正確的是（）

AZ1,Z2

.若互為共犯復(fù)數(shù)，則ZI.Z2ER

B.若Z1N2GR，則zi,Z2互為共舸復(fù)數(shù)

C.若Zl,Z2互為共拆復(fù)數(shù)，目Z2#0，則言=1

D.若3=1,則Z1,Z2互為共輾復(fù)數(shù)

跟蹤訓(xùn)練2⑴（2022?新高考全國II）（2+2i）-（l-2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+21D.6-2i

⑵（2023.濟(jì)寧模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足z-i3=l-2i,則，的虛部為（）

A.1B.-1C.2D.-2

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3⑴（2023?渭南模擬）棣莫弗公式（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx（\為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)

學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，若復(fù)數(shù)z滿足z（cosW+i-sin|）6=|i

+i|,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z落在復(fù)平面內(nèi)的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2）（2023?邢臺模擬）已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=a+bi（a“￡R）,且|z-i|=|z+2-i|,則|z-3

的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

跟蹤訓(xùn)練3⑴在復(fù)平面內(nèi),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)zi=i(-4+3i),Z2=7+i對應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,

Z2,則/Z1OZ2的大小為()

,兀一2兀一3兀-5兀

A-3B-TC-TD-6

(2)(2023?太原模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1,則|z-i的最小值為()

A.1B.y[5-1C.由+1D

§5.5復(fù)數(shù)答案

落實(shí)主干知識

知識梳理

1.(l)tzb(2)=/=

(3)a-cS.b-d(4)a-c,b--d

(5)|z|\a+b\\yla2+b2

ac+bdbe-ad

3.(1)①(a+c)+(b+(2)(a-c)+(b-d)i?(ac-bd)+(ad+bc)i@~z7+—ri(2)

~"c2+cPc2+d2

自主診斷

1.⑴x(2)x(3)x(4)V

2.D3.D4.；

探究核心題型

例1(l)AB

(2)A(3)ACD

跟蹤訓(xùn)練1(1)BD(2)A(3)B

例2⑴A(2)AC

跟蹤訓(xùn)練2(1)D(2)B

例3(1)C[z(cosW+i-sinm>=|l+i|,

根據(jù)棣莫弗公式可知,

(3兀.3兀)

z-lcos1■十rsm丁I

=z(-當(dāng)+坐)=巾，

即z-(—l+i)=2,

29(—1—i)

則z=_]+j=(—]+i)(——0=T—。復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z(--1,—1)落在復(fù)平面內(nèi)的第三象

限.]

(2)B[因?yàn)閦=〃+Z?i3，6￡R),

則z-i=a+(b-l)i,z+2-i=(a+2)+(b~l)i,