河南省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，可得.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，所以．故選:D．3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)在軸正半軸上，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選:B.4.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，即雙曲線的離心率．故選：B．5.將正整數(shù)1，2，3，…按從小到大的順序分組，第組含個(gè)數(shù)，分組如下：，則2025在第（）組．A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可設(shè)前組里含有的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，則，由于，，故2025在第11組．故選：C．6.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積，若的平分線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，，所以，所以．在中，由等面積法得，即，即，解得，故正確故選:A.7.已知面積為的正三角形的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)球的半徑為外接圓圓心為，半徑為的邊長(zhǎng)為．因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，所以，解得，所以，所以，解得，則，則球的表面積為，故正確.故選：B.8.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，若在上的值域?yàn)?，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由于，所以在上的值域?yàn)椋越獾?，即的零點(diǎn)即為的根，則或，即或，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)有，共8個(gè)．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)槊}“”為真命題，所以．令，根據(jù)增函數(shù)減去減函數(shù)知：為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：CD．10.已知隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由隨機(jī)變量，得，，，，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；兩個(gè)隨機(jī)變量的均為120，由正態(tài)分布特點(diǎn)知D正確．故選：ABD．11.若定義在R上的偶函數(shù)y=fx，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則稱(chēng)y=fx為“函數(shù)”．下列函數(shù)為“函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在0,+∞上單調(diào)遞減．又為偶函數(shù)，所以fx在上單調(diào)遞增．對(duì)A：定義域?yàn)?，且，則fx為偶函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意，故正確；對(duì)：定義域?yàn)椋?，則fx為偶函數(shù)，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故不符合題意，故錯(cuò)誤；對(duì)C：，定義域?yàn)?，且，則fx為偶函數(shù)，且，則fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故符合題意，故C正確；對(duì)D：，定義域?yàn)?，且滿足，則fx為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，由為減函數(shù)，為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，同理可得fx在上單調(diào)遞增，故符合題意，故正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗由題意可得的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為80.13.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗由題意可得fx在時(shí)有最小值，即在1,2上有極小值即可，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需即解得，這時(shí)存在x0∈1,2，使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是．14.如圖，已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點(diǎn)均在圓上，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗如圖，為圓心，連接，則．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.近些年來(lái)，促進(jìn)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場(chǎng)得到很大發(fā)展，銷(xiāo)量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車(chē)領(lǐng)域的熱點(diǎn)．在對(duì)某品牌10個(gè)子工廠投資及利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)后，得到如下表格，分別表示第個(gè)子工廠的投資（單位：萬(wàn)元）和純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）．投入萬(wàn)元32313336373839434546純利潤(rùn)萬(wàn)元25303437394142444850（1）依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷投資與純利潤(rùn)是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度？（參考：若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較強(qiáng)．計(jì)算時(shí)精確度為0.01）（2）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．解：（1）依題意知，，所以相關(guān)系數(shù)，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）依題意知，又因?yàn)?，所以，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，①，②，①-②得，即，所以．因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．則，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17.如圖，在三棱柱中，平面．（1）求證：平面；（2）設(shè)點(diǎn)滿足，若平面與平面的夾角為，求實(shí)數(shù)．（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）解：由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得：，?。桑?）知平面平面的一個(gè)法向量為，，解得.所以.18.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，fx的值域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)，證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立.（1）解：由在都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由當(dāng)時(shí)，fx的值域?yàn)?，可知，?（2）解：由（1）知，的定義域?yàn)?令，所以f'x>0，所以在上單調(diào)遞增（3）證明：.不妨設(shè)，則要證明x只需證明x即x即證x設(shè)，則只需證明.化簡(jiǎn)得.設(shè).則在1,+∞上恒成立，在1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，得證.19.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求出的坐標(biāo)；（3）設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，順時(shí)針排列且，證明：四邊形的面積小于．（1）解：由題，橢圓的另一焦點(diǎn)為F21,0因此，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)的坐標(biāo)為Bx,y，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義：點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以或于是有兩個(gè)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：設(shè)．設(shè)所在直線為，則的方程為．