遼寧省名校聯(lián)盟2024屆高考模擬數(shù)學試卷（信息卷）（二）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024屆高考模擬卷（信息卷）數(shù)學（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，即，，故.故選：A.2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A.6 B.3 C.6 D.15〖答案〗C〖解析〗設復數(shù)，由，得，化簡得，則，解得，于是，所以的虛部為6．故選：C.3.在平行四邊形中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意,可知是的中點，所以．故選：C．4.2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯(lián)”的促銷活動，活動規(guī)則如下：將一天內購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為（）A.167 B.168 C.169 D.170〖答案〗A〖解析〗將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，則既是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，故為12的倍數(shù)，所以是首項為0，公差為12的等差數(shù)列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為167．故選:A.5.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，.綜上，．故選：B.6.現(xiàn)有含甲在內的5名游客來到江西旅游，分別準備從井岡山、廬山、龍虎山這3個5A級景區(qū)中隨機選擇1個景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（）A.52 B.72 C.76 D.100〖答案〗D〖解析〗若甲1個人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1，3或2，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外1個人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外2個人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1，1，則不同的選擇方案有種；所以共有種選擇方案.故選：D.7.已知拋物線的焦點為，過點的的弦中最短的弦長為8，點在上，是線段上靠近點的五等分點，則（為坐標原點）的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為過點的弦中最短的弦長為8，所以，即的方程為．設，由是線段上靠近點的五等分點，得，所以，故，即，不妨設點在第一象限，易知為銳角，當取最大值時，直線的斜率也最大，又，當且僅當，即時取等號，此時，，，，即的最大值為．故選：B．8.若至少存在一條直線與曲線和均相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，設公切線與曲線相切于點，與曲線相切于點x2,3-tlnx2則切線方程分別為，，所以由①得，代入②得．令hx則，所以當時，，當時，，所以在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，所以，又當時，，所以的值域為，所以的取值范圍是．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗BD〖解析〗對于A項，若，則或與異面，A項錯誤；對于B項，因為，則，且，可得，又因為，所以，B項正確；對于C項，當時，或或或與相交，C項錯誤；對于D項，若，則，又，所以，D項正確．故選：BD．10.設函數(shù)的定義域為，若，記為在上的2次迭代，為在上的3次迭代，依次類推，為在上的次迭代，即，則（）A.若，則B.若，則C.若，則能被17整除D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：若，則，所以，故A項正確；對于選項B：由，得，所以，解得或，故B項錯誤；對于選項C：若，則，所以，所以能被17整除，故C項正確；對于選項D：若，則，，所以是以2為一個周期的迭代函數(shù)，所以，故D項錯誤．故選：AC．11.雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發(fā)出的兩條光線經過的右支上的兩點反射后，分別經過點和，其中共線，則（）A.若直線的斜率存在，則的取值范圍為B.當點的坐標為時，光線由經過點到達點所經過的路程為6C.當時，的面積為12D.當時，〖答案〗ABD〖解析〗如圖所示，過點分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，對于A中，由圖可知，當點均在的右支時，或，所以A正確；對于B中，光線由經過點到達點所經過的路程為，所以B正確；對于C中，由，得，即，所以，設，則，因為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，所以C錯誤；對于D項，在直角中，，所以，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機變量，且，則____________．〖答案〗0.1〖解析〗因為，且，則，所以．13.已知圓關于直線對稱，圓與軸交于兩點，則____________〖答案〗〖解析〗圓0，即，圓心，因為圓關于直線對稱，所以，解得，所以圓，圓心，半徑，則圓心到軸的距離，所以．14.已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恰有2個零點，則的取值范圍為____________．（用區(qū)間表示）〖答案〗〖解析〗由題意可知的最小正周期，因為，所以直線為圖像的一條對稱軸，則在直線右側的零點依次為，若在區(qū)間上恰有2個零點，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）設，求數(shù)列的前100項和．（1）證明：數(shù)列中，，當時，，兩式相減得，而，解得，所以是首項為2，公比為5的等比數(shù)列，通項公式為.（2）解：由（1）知，，所以．16.如圖，在三棱柱中，側面底面，底面三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，側面是邊長為2的菱形，且．（1）求點到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）取的中點，連接，因為側面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又平面平面平面，平面平面，所以平面，所以的長即為點到平面的距離，又，故點到平面的距離為．（2）連接，因為，所以，則兩兩垂直．以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題可知，則．由，得．設平面的法向量為，，則，取，得．設直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）設，若關于的不等式在區(qū)間內有解，求的取值范圍．解：（1），令，得．當時，由，得，由，得，故在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值；當時，由，得，由，得，故在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，無極小值．綜上，當時，的極小值為，無極大值；當時，的極大值為，無極小值．（2）時，等價于，則在區(qū)間內有解．令，則，令，則在上單調遞增，有，所以在區(qū)間內單調遞增，即，所以在區(qū)間內恒成立，所以在區(qū)間內單調遞增，即，即，故的取值范圍是．18.第十四屆全國冬季運動會（簡稱冬運會）于2024年2月17日至2月27日在內蒙古自治區(qū)舉辦，這是歷屆全國冬運會中規(guī)模最大、項目最多、標準最高的一屆，也是內蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合性運動會.為迎接這一體育盛會，內蒙古某大學組織大學生舉辦了一次主題為“喜迎冬運會，當好東道主”的冬運會知識競賽，該大學的一學院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表該學院參加該大學的冬運會知識競賽.（1）初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽大學生最多有7次答題機會，累計答對4道題或答錯4道題即終止比賽，答對4道題則進入決賽，答錯4道題則被淘汰.已知大學生甲答對每道題的概率均為，且回答各題的結果相互獨立；（i）求甲至多回答了5道題就進入決賽的概率；（ii）設甲在初賽中答題的道數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.（2）決賽共答3道題，若答對題目數(shù)量不少于2道，則勝出，代表學院參加學校比賽；否則被淘汰已知大學生乙進入了決賽，他在決賽中前2道題答對的概率相等，均為，3道題全答對的概率為，且回答各題的結果相互獨立，設他能參加學校比賽的概率為，求的最小值.解：（1）（i）由題可得甲回答了4道題進入決賽的概率為，甲回答了5道題進入決賽的概率為，所以甲至多回答了5道題就進入決賽概率為.（ii）由題可知X的可能取值為4，5，6，7，則，，，，所以X的分布列為X4567P則.（2）設乙答對第3道題的概率為y，則，所以，，則，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.19.設動點到點的距離與它到直線的距離之比為，記點的軌跡為曲線．（1）求的