九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)垂徑定理重難點(diǎn)題型：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

九上數(shù)學(xué)I垂徑定理

重難點(diǎn)題型：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例1】如圖，已知。。的半徑為4,M是。。內(nèi)一點(diǎn)，MOM

=2,則過(guò)點(diǎn)M的所有弦中，弦長(zhǎng)是整數(shù)的共有條。

【分析】過(guò)點(diǎn)M作ABJ_OM交。。于點(diǎn)A、B,根據(jù)勾股定理

求出AM,根據(jù)垂徑定理求出AB,進(jìn)而得到答案.

解：____________________________________________

【例2】如圖，。。的半徑為13,弦AB=24.P是弦AB上的

個(gè)動(dòng)點(diǎn).求OP的取值范圍.廠、

【分析】過(guò)0點(diǎn)作OH，AB于H,連接OA,如圖，根據(jù)垂徑

定理得到AH=BH=12,則利用勾股定理可計(jì)算出0H=5,

然后利用垂線段最短得到0P的范圍，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判

斷.

解：_______________________________________

【例3】如圖，P為。。內(nèi)的個(gè)定點(diǎn).A為。。上的個(gè)動(dòng)

點(diǎn).射線AP、A0分別與。0交于B、C兩點(diǎn).若。0的半徑

長(zhǎng)為3,OP=V3,則弦BC的最大值是多少.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OE_LAB于E,由垂徑定理易知E是AB

中點(diǎn)，得0E是aABC中位線，則BC=2OE,而OEWOP,

故BCW2OP,即可得出答案.

解：______________________________

【例4】如圖，矩形ABCD中，AB=60,AD=45,P,Q分別

是AB,AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ=52,以PQ為直徑的。。與BD

交于點(diǎn)M,N,求MN的最大值.

【分析】過(guò)A點(diǎn)作AH_1_BD于H,連接0M,如圖，先利用勾

股定理計(jì)算出BD=75,則利用面積法可計(jì)算出AH=36,再

證明點(diǎn)。在AH上時(shí)，0H最短，此時(shí)HM有最大值，最大值

為24,然后根據(jù)垂徑定理可判斷MN的最大值.

解：_______________________________________

九上數(shù)學(xué)I垂徑定理

重難點(diǎn)題型：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例1】如圖，已知。。的半徑為4,M是。。內(nèi)一點(diǎn)，目0M

二2.則過(guò)點(diǎn)M的所有弦中，弦長(zhǎng)是整數(shù)的共有條。

【分析】過(guò)點(diǎn)M作AB_LOM交。。于點(diǎn)A、B,根據(jù)勾股定理

求出AM,根據(jù)垂徑定理求出AB,進(jìn)而得到答案.

解：過(guò)點(diǎn)M作ABJ_OM交千點(diǎn)A、B,連接0A,

則AM=BM=1/2AB,、

在Rt△AOM中，(\

AM=V0A2-0M?=V42-22=2才?°xJ3

???AB=2AM=4V3,V

則4V3W過(guò)點(diǎn)M的所有弦W8,

則弦長(zhǎng)是整數(shù)的共有長(zhǎng)度為7的兩條，長(zhǎng)度為8的一條，共

三條,

【例2】如圖，。。的半徑為13,弦AB=24,P是弦AB上的

個(gè)動(dòng)點(diǎn).求0P的取值范圍.

0

AfB

【分析】過(guò)0點(diǎn)作OH，AB于H,連接OA,如圖，根據(jù)垂徑

定理得到AH=BH=12,則利用勾股定理可計(jì)算出0H=5,

然后利用垂線段最短得到0P的范圍，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判

斷bkr.

解：過(guò)。點(diǎn)作OH_LAB于H,連接0A,如圖，

???0H_LAB,.'AH=BH=1/2AB=12,

在Rt△OAH中，Io\

0H=V0A2-AH2=V132-122=5.1,'X)

TP是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

???5WOP<13.

【例3】如圖，P為。。內(nèi)的個(gè)定點(diǎn).A為。0上的個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，射線AP、A0分別與。。交于B、C兩點(diǎn).若。0的半徑

長(zhǎng)為3,OP=V3,則弦BC的最大值是多少.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OE_LAB于E,由垂徑定理易知E是AB

中點(diǎn)，得0E是aABC中位線，則BC=2OE,而OEWOP,

故BCW2OP,即可得出答案.胃/\

解:過(guò)點(diǎn)。作OELAB于E,如圖：(/

???0為圓心，???AE=BE,JOE=1/28或

YOEWOP,???BCW2OP,Vy

???當(dāng)E、P重合時(shí)，即OP垂直AB時(shí)，BC聯(lián)最大值，

???弦BC的最大值為：20P=2V3,

【例4】如圖，矩形ABCD中，AB=60,AD=45,P,Q分別

是AB,AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ=52,以PQ為直徑的。。與BD

交于點(diǎn)M,N,求MN的最大值.

【分析】過(guò)A點(diǎn)作AH_LBD于H,連接0M,如圖，先利用勾

股定理計(jì)算出BD=75,則利用面積法可計(jì)算出AH=36,再

證明點(diǎn)。在AH上時(shí)，0H最短，此時(shí)HM有最大值，最大值

為24,然后根據(jù)垂徑定理可判斷MN的最大值.

解：過(guò)A點(diǎn)作AHLBD于H,連接0M,如圖，

在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD?=》6()2+45?=75.

?門(mén)/2xAHxBD=1/2xADxAB,

???AH=60X45/75=36,

?