人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.6 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應用大題專項訓練（教師版）

第第頁專題4.6指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應用大題專項訓練【人教A版2019必修第一冊】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)fx=a(1)求a的值；(2)證明：函數(shù)F(x)=f(x)?f(?x)是R上的增函數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)fx（2）根據(jù)定義法證明函數(shù)為增函數(shù)即可.【解答過程】（1）因為fx=a所以函數(shù)fx=ax+1(a>1)所以a2+1+a0+1=7，解得a=±2（2）由（1）知，F(xiàn)(x)=f(x)?f(?x)=2任取x1,x2=2x1因為x1<x2，所以2x1?所以Fx=fx2．（2022·天津市高三階段練習）設fx=loga(1)求a的值及fx(2)求fx在區(qū)間0,【解題思路】（1）由f1=2代入可得a的值，列出不等式組（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷fx在區(qū)間0,【解答過程】（1）∵f(1)=2，∴l(xiāng)oga2+loga由1+x>03-x>0，解得-1<x<3（2）f(∴當x∈(-1,1]時，f(x)函數(shù)f(x)在0,3．（2022·安徽省高三階段練習）已知函數(shù)fx(1)若fx<0，求(2)當14≤x≤8時，求函數(shù)【解題思路】（1）設t=log（2）設t=log2x，可得t∈【解答過程】（1）設t=log2x，x>0所以fx=log2x所以?1<log2x<2，解得1（2）由（1）得，當14≤x≤8，t∈?2,3，所以函數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=當t=12時，y取最小值為?94，當t=?2或t=3時，即當x=2時，fx取最小值為f2=?94，當x=1即函數(shù)fx的值域為?4．（2022·遼寧·高三階段練習）已知函數(shù)f((1)求函數(shù)fx(2)求不等式fx【解題思路】（1）由對數(shù)運算法則化簡函數(shù)式后，把log3（2）把log3【解答過程】（1）f=-log3x+122+9（2）根據(jù)題意得-log3x2-log解得log3x<-3或log3x>2，所以5．（2022·北京·高二）已知定義域為的R奇函數(shù)f(x)滿足：當x≤0時，f(x)=2(1)求函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的解析式，并判斷f(x)在(2)若不等式fm?xx+f(m)≤0在區(qū)間[1,2]【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為m≤xx+1=1?【解答過程】（1）解：∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(0)=20+a=0設x≥0，則?x≤0，f(x)=?f(?x)=?2∵f(x)在(?∞,0]上遞增，在[0,+∞)上遞增，∴f(x)（2）∵fm?xx+f(m)≤0，∵f(x)是(?∞,+∞)上的增函數(shù)，∴m?xx≤?m由于y=1?1x+1在[1,2]上遞增，∴1?1x+16．（2022·河南安陽·高一期末）已知函數(shù)fx=2ln(1)判斷函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx【解題思路】（1）由對數(shù)的運算得出fx（2）根據(jù)基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)fx【解答過程】(1)fx是偶函數(shù)，f∵fx∴f?x=lne(2)∵1ex+∴fx=lnex+7．（2022·河南·高三階段練習（文））已知f(x)=(1)求f(x)的定義域、并判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求使f(x)>0的x的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可得1+x1?x>0解出范圍即可，判別函數(shù)奇偶性，先看定義域關于原點對稱，然后計算f?x（2）由fx>0得到【解答過程】（1）由題意得1+x1?x>0，即1+x1?x所以定義域為{x∣?1<x<1}，因為定義域為{x∣?1<x<1}，關于原點對稱，且f(?x)=log（2）log21+x1?x>0，∴1+x∴1+x>1?x，∴x>0，∴0<x<1，綜上x的取值范圍為0<x<1.8．（2022·廣東·高三階段練習）已知函數(shù)fx=log(1)判斷fx(2)若函數(shù)g(x)=9f(x)+x2+m?3x?1，【解題思路】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷；(2)將gx【解答過程】（1）證明：∵f(x)=log9(∴f(?x)==log9(9x（2）g(x)=9當x∈0,log32時，3x∈1,2當?m2≤1時，即m≥?2，y=所以t=1時，ymin=m+1=0，解得當1<?m2<2時即?4<m<?2，t=?m2當?m2≥2時，即m≤?4，y=所以t=2時，ymin=2m+4=0.解得故存在滿足條件的m=?1.9．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)fx=bax（其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(1)求a+b的值；(2)當x≤?3時，函數(shù)y=1ax+1【解題思路】（1）將點M、N代入函數(shù)fx，即可求出a、b（2）當x≤?3時，函數(shù)y=1ax+1b的圖象恒在函數(shù)y=2x+t圖象的上方可等價于當x≤?3時，不等式13x+3?2x?t>0【解答過程】（1）∵函數(shù)fx=bax（其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1）的圖象經(jīng)過點∴ba=1ba3=9∴a2=9，∴a=?3（舍）或a=3（2）由（1）得當x≤?3時，函數(shù)y=13x即當x≤?3時，不等式13x+3?2x?t>0恒成立，亦即當x≤?3設gx∵y=13x在?∞,?3∴gx=13x+3?2x在?∞10．（2022·安徽·高三階段練習）已知函數(shù)f(x)=log2m(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并給出證明；(2)求不等式f(x)+1<0的解集.（結(jié)果用m，n表示）【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可，（2）原不等式化為log2mx?nxmx+nx【解答過程】（1）fx為偶函數(shù)，理由如下：依題意，函數(shù)fx的定義域為(?∞故f(?x)=log2m（2）依題意，log2mx令t=mn，則t>1，從而（*）式可化為1?2t所以13<tx<3且tx≠1即不等式fx+1<0的解集為11．（2022·江西·高三開學考試（理））已知函數(shù)f(x)=log(1)求k；(2)解不等式f(x)≥【解題思路】（1）結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)f(?x)=f(x)以及對數(shù)運算法則即可解出k；（2）結(jié)合對數(shù)運算法則，將原函數(shù)化成對數(shù)形式f(x)=log33【解答過程】（1）∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(?x)=f(x)，即log3(9?x+1)?kx=log3（2）∵f(x)=log則不等式等價于3x+3?x≥7?由3x+3?x≥7?3x綜上，不等式的解為?log12．（2022·全國·高一單元測試）已知指數(shù)函數(shù)fx=ax（a>0且(1)設函數(shù)gx=1?f(2)已知二次函數(shù)?x的圖像經(jīng)過點0,0，?x+1=?【解題思路】（1）根據(jù)條件求出f(x)解析式，再列出不等式即可求得g(x)定義域.（2）由待定系數(shù)法求得?(x)解析式，再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）由題意知a3=18，解得a=1令1?(12)x≥0，解得（2）設?(x)=mx則?(x+1)=m(x+1)?(x)?2x+1=mx2+(b?2)x+c+1得{2m+b=b?2m+b+c=c+1，解得{m=?1又?(0)=c=0，所以?(x)=?x2+2x=?(x?1)2又f(x)=(12)x在R13．（2022·河南·高二開學考試（文））已知函數(shù)fx(1)求a的值及fx(2)求不等式fx+2【解題思路】（1）由偶函數(shù)的定義列式子可求出a的值，對函數(shù)化簡后，利用基本不等式可求出其最小值，（2）先判斷出f(x)在(0,+∞【解答過程】（1）由題意得f(?x)=f(x)，即ln(所以2ax=ln(e?2x因為ex+1ex≥2，當且僅當所以f(x)的最小值為ln2（2）對于y=ex+1ex，任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，則y2?y1=ex2+1ex2?ex1?1e14．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)fx=b?ax（a,b為常數(shù)，a>0，且a≠1）的圖象經(jīng)過點(1)試確定函數(shù)fx(2)若關于x的不等式1ax+1b【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到方程組ab=6b?a3（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=12x+1【解答過程】（1）解：因為函數(shù)fx=b?ax的圖象經(jīng)過點可得ab=6b?a3=24，結(jié)合a>0，且a≠1，解得a=2,b=3，所以函數(shù)（2）解：要使12x+只需保證函數(shù)y=12x+1因為函數(shù)y=12x所以當x=1時，y=12x所以只需m≤56即可，即實數(shù)m的取值范圍為15．（2021·甘肅·高一期中）已知函數(shù)f(x)=ln((1)求函數(shù)f(x)(2)設m>0，若對于任意x∈1m,【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合指對數(shù)運算求解；（2）先根據(jù)區(qū)間的定義求m的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)及作差法求g(x)【解答過程】（1）因為函數(shù)f(x)=ln(所以ln(1+a)=0，解得a=0（2）因為m>0且m>1m，所以因為g(x)=x2-2x=(x-1)2-1因為g(m所以g(x)max=即m2-2m<-ln(m任取m1,m則?m1因為1<m1<m2，所以m1-所以?m1-?m2<0，即?所以m2-2m+ln(m-1)<0，即?(16．（2022·陜西·高三階段練習（文））已知函數(shù)fx=logax+2(1)當a=2時，求fx(2)是否存在實數(shù)a，使得fx在?1,34【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用換元法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）令t=?x2?x+2，則由?1≤x≤34，得t=?x+122【解答過程】（1）由題意可得x+2>0,1?x>0,解得?2<x<1，即fx的定義域為當a=2時，fx令t=?x2?x+2（x∈?2,1），則則函數(shù)t=?x2?x+2在?2,?因為y=log2t在定義域內(nèi)遞增，所以fx在（2）fx=log因為?1≤x≤34，所以t=?x+當0<a<1時，fx在?1,34上的最大值是loga1116，則當a>1時，fx在?1,34上的最大值是loga94，則綜上，a的值為114或317．（2022·河北邢臺·高三階段練習）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f?x?fx=0(1)求k的值；若函數(shù)fx的定義域為0,4，求?(2)設?x=x4+xlnx?2mx+1，若對任意的x【解題思路】（1）利用f?x?fx=0可求得k=1（2）根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可確定gx在R上單調(diào)遞增，由此可得gx在0,3上的最小值為g0=1，根據(jù)能成立的思想，結(jié)合?x【解答過程】（1）∵f?x∴2k?1=0，解得：k=12，若fx定義域為0,4，則由0≤2x≤4得：0≤x≤2，即f2x的定義域為∵f2x+x=log∴當x∈0,2時，22x+1∈2,17，（2）由（1）得：gx∵y=2x+1在R上單調(diào)遞增，∴y=又y=12x在R上單調(diào)遞增，∴g當x∈0,3時，g∵對任意的x1∈0,3，存在x∴存在x2∈e,e∵y=x3+lnx∴2m≥e3+1，解得：m≥e318．（2021·山東·高一階段練習）設函數(shù)gx=log3x，函數(shù)y=f(1)求y=fx(2)是否存在實數(shù)m>0，使得對?x∈R，不等式2m?3<mfx恒成立，若存在求出【解題思路】（1）根據(jù)反函數(shù)的定義及性質(zhì)可知fx與gx互為反函數(shù)，即可求出（2）由（1）可得不等式即為2m?3<m?3x恒成立，令t=3xt>0，則問題轉(zhuǎn)化為關于t的不等式【解答過程】（1）解：因為函數(shù)y=fx的圖像與y=gx的圖像關于所以fx與gx互為反函數(shù)，因為gx（2）解：不等式2m?3<mfx恒成立，即2m?3<m?令t=3xt>0，則關于t的不等式2m?3<mt，即mt?2m+3>0在令?t=mt?2m+3，因為m>0，所以?t在0,+∞上單調(diào)遞增，依題意只需?0所以0<m≤319．（2022·安徽·高三階段練習）已知函數(shù)f(x)=logax(a>0(1)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)?(x)的圖象關于直線y=x對稱，且點P(2,16)在函數(shù)?(x)的圖象上，求實數(shù)a的值；(2)已知函數(shù)g(x)=fx2fx8，x∈【解題思路】（1）由題意可知?x=ax，然后將點（2）由（1）得g(x)=logax2?4loga2?log【解答過程】（1）因為函數(shù)f(x)=logax(a>0，且a≠1）的圖象與函數(shù)?(x)所以?x=ax（因為點P(2,16)在函數(shù)?(x)的圖象上，所以16=a2，解得a=4，或（2）gx=log令t=logax．①當0<a<1時，由1二次函數(shù)φt=t可得最大值為φ?loga2=②當a>1時，由12≤x≤8，有二次函數(shù)φ(t)=t2?4t可得最大值為φ?loga2=綜上，實數(shù)a的值為1220．（2022·廣東·高二階段練習）已知函數(shù)f(x)=log34(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)若?x1∈[1,3],?x2【解題思路】（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得4x（2）由題可得fx【解答過程】（1）由4x可知f(x)的定義域為R，由log34x令t=2x，則t2由2≤2x≤16，得1≤x≤4，所以不等式f(x)≤4（2）由題意，?x1∈[1,3]，有f因為f(x)=log32x?9又?x2∈[0,2]，使得g因為函數(shù)g(x)=x2?2mx+5m，x∈[0,2]①當m≤1時，g(x)max=g(2)=4?4m+5m≥4，即m≥0②當m>1時，g(x)max=g(0)=5m≥4，解得m≥綜上所述，m的取值范圍為[0,+∞21．（2022·寧夏·高三階段練習（理））已知函數(shù)fx(1)求k的值；(2)若函數(shù)?x=2fx+1【解題思路】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義列出等式結(jié)合對數(shù)的運算即可求解；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用復合函數(shù)的單調(diào)性法則，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的單調(diào)性問題，進而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解答過程】（1）由f(x)是偶函數(shù)可得，f(?x)?f(x)=0

．則log22?x所以(2k?1)x=0恒成立，故2k?1=0?k=（2）由（1）得fx所以?x令t=2x,x∈1,2，則①m=0時顯然滿足題意；②m>0?12m≤2?m>0綜上：m的范圍為?122．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)y=T(x)對定義域內(nèi)的每一個值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使T(x(1)判斷定義在區(qū)間[2,3]上的函數(shù)f(x)=x+1是否為“YL函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)g(x)=3x?1在定義域[m,n](m>0)上是“YL函數(shù)”，求【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)定義可得f(x)∈[3,4]，再判斷對任意x1，x2∈[2,3]對應f(x1（2）由題設可得g(x)∈[3m?1,3n?1]，根據(jù)“YL函數(shù)”定義有g(x【解答過程】（1）不是，理由如下：因為f(x)=x+1，x∈[2,3]，所以f(x)∈[3,4]，對任意x1，x2∈[2,3]，f(x1)?f(x（2）g(x)=3x?1在定義域[m,n](m>0)上是“由于g(x)在定義域上單調(diào)遞增，則g(x)∈[3對任意x1∈[m,n]，g(x1)∈[則g(x所以13n?1≥3m?113所以m+n?2=0，即n=2?m．因為n>m>0，所以n?m=2?m?m=2?2m>0，所以0<m<1，所以m2+n=m2?m+2=23．（2022·陜西·高三階段練習（理））已知函數(shù)fx(1)求實數(shù)k的值;(2)解關于m的不等式f2m+1(3)設gx=log2a?2x+aa≠0【解題思路】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡求值；（2）判斷x≥0時函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由函數(shù)fx與gx圖象有2個公共點，可得【解答過程】（1）函數(shù)的定義或為R，∵函數(shù)fx=log24∴2kx=log24（2）∵fx當x≥0時，2x≥1，y=2x+又函數(shù)fx為偶函數(shù)，所以函數(shù)fx在0,+∞∵f2m+1>fm?1，∴2m+1>所以所求不等式的解集為?∞（3）∵函數(shù)fx與gx圖象有∴gx即a?2x+a=設t=2x>0，則at+a=t+又t=2x在R上單調(diào)遞增，所以方程∴a?1≠0解得22?2<a<1，即a的取值范圍為24．（2022·湖南·高一階段練習）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f?x?fx=0(1)求fx(2)若不等式g4x?a?(3)設?x=x2?2mx+1，若對任意的x1∈【解題思路】（1）根據(jù)f?x（2）根據(jù)gx單調(diào)性得4（3）因為對任意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥?x2【解答過程】（1）由題意知，log2即2kx=log22?x+1（2）由（1）知，gx=fx+x=log所以不等式g4x?a?2x設t=2x，則t>0，4x+42x=故實數(shù)a的取值范圍是?∞（3）因為對任意的x1∈0,3，存在x所以gx在0,3上的最小值不小于?x在因為gx=log22x+1又?x=x2?2mx+1當m≤1時，?x在1,3上單調(diào)遞增，?xmin=?1當1<m<3時，?x在1,m上單調(diào)遞減，在m,3?xmin=?m=1?當m≥3時，?x在1,3上單調(diào)遞減，?xmin=?3綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是1225．（2022·福建南平·高二期末）已知函數(shù)fx=a?2(1)求a的值，并證明函數(shù)fx(2)解不等式f【解題思路】（1）利用奇函數(shù)的定義式求解a的值或者特殊函數(shù)值對稱求解a，再利用單調(diào)性定義法證明函數(shù)fx（2）由（1）中fx【解答過程】(1)解：解法一：由fx=a?22x2a=22解法二：由fx=a?22x+1為奇函數(shù)，得經(jīng)檢驗：fx證明：?x1,fx由x1>x2得所以，函數(shù)y=fx在R(2)解：由（1）得函數(shù)y=fx在R由flog32x<flog26．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)fx(1)當m=?1時，求fx(2)若fx≤2對任意的x∈0,1【解題思路】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意可得0<6x+m?5x≤16對任意的【解答過程】（1）解：當m=?1時fx=log即6x>5x，即65x>1（2）解：由fx≤2對任意的x∈0,1恒成立，所以0<即?65x因為y=165x所以gx=165x所以?x=?65x所以?1<m?2，即m的取值范圍為?1,2.27．（2022·河北保定·高二期末）已知函數(shù)f(x)=log2((1)求f(x)的解析式：(2)若不等式f(x)?12x+m對x∈[0,+【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，以及偶函數(shù)的性質(zhì)f(?x)=f(x).（2）利用分離參數(shù)法處理恒成立問題，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)對式子化簡變形，求函數(shù)的最值.【解答過程】(1)因為f(0)=1，所以f(0)=log2(1+a)?0=1因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，即log2所以2bx=log2(2x(2)因為不等式f(x)?12x+m對x∈[0,+∞)恒成立，即不等式log2(設g(x)=log因為x?0，所以2x?1，所以1<1+1故m?1，即m的取值范圍為[1,+∞28．（2021·上海市高一期中）已知常數(shù)k∈R，函數(shù)y=log2?(1)若圖像F經(jīng)過點(1,1)，求k的值.(2)對于（1）中求得的k，解方程log2(3)是否存在整數(shù)k，使得y有最大值且該最大值也是整數(shù)?如果存在，求出k的值;如果不存在，請說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)題意得到log2（2）根據(jù)題意得到log2（3）首先令t=2x得y=log2?t2+k?t+4，設【解答過程】（1）由題知：log2?4+2k+4=1（2）當k=1時，log即?4整理得：2x2?9?2x當x=0時，?40+當x=3時，?43+（3）y=log2?2x2+k?令?t2+k?t+4>0，解得k?k2設gt=?t2+k?t+4gt=?t?當k2≤0時，即k≤0時，gt在區(qū)間0,當0<k2<k+k2+16所以gtmax=g因為k>0，所以log24+k24>2，令log24+k解