人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.1 任意角和弧度制-重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題5.1任意角和弧度制-重難點題型精講1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點：射線的端點O；

④記法：圖中的角可記為“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面內(nèi)，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向一順時針方向和逆時針方向.習(xí)慣上規(guī)定：這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.(4)角的相等設(shè)角SKIPIF1<0由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角SKIPIF1<0由射線O'A'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、減法①角的加法

設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意兩個角.我們規(guī)定，把角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0，這時終邊所對應(yīng)的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角SKIPIF1<0的相反角記為-SKIPIF1<0.

③角的減法

像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時針或順時針)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我們有：所有與角SKIPIF1<0終邊相同的角，連同角SKIPIF1<0在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合SKIPIF1<0，即任一與角SKIPIF1<0終邊相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0與整數(shù)個周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

③軸線角的集合表示

(3)區(qū)間角、區(qū)域角

區(qū)間角、區(qū)域角的定義：介于兩個角之間的角的集合叫做區(qū)間角，如SKIPIF1<0.終邊介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，顯然區(qū)域角包含無數(shù)個區(qū)間角.(4)角的終邊的對稱問題與垂直問題

角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)兩個角的終邊具有對稱關(guān)系或垂直關(guān)系時，對于的角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.(3)弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正負(fù)由角SKIPIF1<0的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù).一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式(2)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表(3)用弧度表示終邊相同的角用弧度表示與角SKIPIF1<0終邊相同的角的一般形式為SKIPIF1<0，這些角所組成的集合為SKIPIF1<0.5．弧長公式、扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧長公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面積公式SKIPIF1<0.(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示6．弧度制下角的終邊的對稱與垂直角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，若兩個角的終邊關(guān)于某條直線（或點）對稱，則這兩個角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：【題型1終邊相同的角的表示】【方法點撥】根據(jù)與角SKIPIF1<0終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，進行求解即可．【例1】下列與角2π3的終邊一定相同的角是（

A．5π3B．k·360°+2π3(k∈Z)C．2kπ+2π3【變式1-1】下列選項中與角α=?30°終邊相同的角是（A．30° B．240° C．390°【變式1-2】終邊落在直線y=3x上的角α的集合為（A．αα=k?180°+30°,k∈Z C．αα=k?360°+30°,k∈Z D．【變式1-3】如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是（

）A．α+β=0° B．α?β=90°C．α+β=k?360°k∈Z D．【題型2象限角的判定】【方法點撥】判斷角SKIPIF1<0是第幾象限角的常用方法為將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范圍內(nèi)）的形式，觀察角SKIPIF1<0的終邊所在的象限即可.【例2】已知點α=130°，則角α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-1】平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【變式2-2】下列說法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k?360°<α<k?360°+180°k∈Z，則αC．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角【變式2-3】設(shè)α是第三象限角，且sinα2=?sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3角度與弧度的換算】【方法點撥】根據(jù)角度與弧度的換算公式進行換算，再進行求解即可.【例3】315°角的弧度數(shù)為（

）A．3π4 B．7π4 C．?π【變式3-1】下列結(jié)論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6rad C．67°30'化成弧度是3π8rad【變式3-2】210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π12【變式3-3】75°用弧度制表示為（

）A．π75 B．π3 C．5π12【題型4角的終邊的對稱問題與垂直問題】【方法點撥】根據(jù)角SKIPIF1<0終邊的位置關(guān)系，進行求解即可.【例4】若α=k?360°+θ，β=m?360°?θk,m∈Z，則角α與角β的終邊一定（

A．重合 B．關(guān)于原點對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱【變式4-1】若α=2kπ+θ,β=2k+1π?θ,其中k∈Z,則角αA．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于y=x對稱【變式4-2】在直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【變式4-3】若2π<α<4π，且角α的終邊與角?7π6的終邊垂直，則α=A．7π3 B．10π3 C．4π3【題型5弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用】【方法點撥】結(jié)合具體條件，利用弧長公式與扇形面積公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．12 B．23 C．3【變式5-1】已知扇形AOB的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形AOB的周長為（

）A．32 B．24 C．62 D．【變式5-2】古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為60cm，內(nèi)弧線的長為20cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為16cm，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【變式5-3】如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的長為l(l<r).為了方便觀光，欲在A,B兩點之間修建一條筆直的走廊AB.若當(dāng)0<x<12時，sinx≈x?x36，扇形OAB的面積記為A．2l?r212l3B．【題型6與弧度有關(guān)的實際應(yīng)用問題】【方法點撥】先讀懂題意，明確題干的敘述，然后將所求問題轉(zhuǎn)化為弧度的問題，如角度的表示、弧度制下的弧長及扇形面積等，最后回歸到實際問題，得到答案.【例6】時鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．【變式6-1】半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)輪沿上的點A每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)是多少？相應(yīng)的弧度數(shù)呢？(2)求輪沿上的點B在輪子轉(zhuǎn)動1000°時所經(jīng)過的路程．【變式6-2】已知相互咬合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪順時針轉(zhuǎn)動一周時，小輪轉(zhuǎn)動的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉(zhuǎn)速是150r/min，小輪的半徑為10cm，那么小輪圓周上的點每秒轉(zhuǎn)過的弧長是多少？【變式6-3】單位圓上有兩個動點M、N，同時從P1,0點出發(fā)，沿圓周運動，點M按逆時針方向每秒鐘走π6rad，點N專題5.1任意角和弧度制-重難點題型檢測一．選擇題1．將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（

）A．60° B．?60° C．30° D．?30°2．將?885°化為α+k?360A．?165°+C．195°+?23．在直角坐標(biāo)系中，若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則α與β的關(guān)系是（

）.A．α=?βB．α+β=360°?kk∈ZC．4．已知α∈α45°+k?360°≤α≤90°+k?360°，則角α的終邊落在的陰影部分是（A．B．C．D．5．下列說法中，正確的是（

）A．第二象限的角是鈍角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．?150°是第二象限的角 D．?252°166．下面關(guān)于弧度的說法，錯誤的是（

）A．弧長與半徑的比值是圓心角的弧度數(shù)B．一個角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則n180C．長度等于半徑的3倍的弦所對的圓心角的弧度數(shù)為2πD．航海羅盤半徑為10cm，將圓周32等分，每一份的弧長為5π7．磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（A．π6 B．π12 C．π128．如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫法如下：在水平直線l上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長度為（

）A．56π3 B．14π C．24π 二．多選題9．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．下列命題正確的是（

）A．終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為αB．終邊落在y軸上的角的集合為α∣α=90°+kπ,k∈ZC．第三象限角的集合為α∣π+2kπ≤α≤D．在?720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為?675°和?315°11．下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過點(a,?a)(a≠0)的角的集合是{α|α=?B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是πC．若α是第一象限角，則α2是第一象限角，2αD．M={x|x=45°+k?90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k?45°,k∈Z}，則M?N12．如圖，A，B是單位圓上的兩個質(zhì)點，點B的坐標(biāo)為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質(zhì)點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（

）A．經(jīng)過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為π3＋3B．經(jīng)過π12s后，扇形AOBC．經(jīng)過π6s后，扇形AOB的面積為π3D．經(jīng)過5π9s后，A三．填空題13．已知角α與角β的終邊關(guān)于直線y=x對稱，則α與β的關(guān)系為.14．若α是第二象限角，則180°－α是第象限角．15．用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角θ的集合是