2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：最值與范圍問(wèn)題【導(dǎo)學(xué)案】

最值與范圍問(wèn)題

熱點(diǎn)聚焦分類突破研熱點(diǎn)析考向

....................................................................?

突破點(diǎn)一距離與面積的最值(范圍)

【例1】已知橢圓C：的右焦點(diǎn)R到左頂點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R的直線與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)(A,3不在x軸上),

若改=(^+B,延長(zhǎng)A。交橢圓于點(diǎn)G,求四邊形AG3E的面積S的最大值.

解(1)由已知得從=3,〃+c=3,a2=b2+c1.

聯(lián)立以上3個(gè)式子，可得/=%

72

所以橢圓C的方程為ArL

(2)法一因?yàn)檫^(guò)"1,0)的直線與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)(A,3不在x軸上)，所

以設(shè)/的方程為x="+l,

x=ty+l,

由"］得(3P+4)y2+6/y_9=0,

~6t

丁丁

1+2=33+4'

設(shè)A(xi,yi),B(xz,”)，貝?卜

「2=布.

因?yàn)閳?chǎng)=為+/,

所以四邊形A03E為平行四邊形，

、3

所以S=SaAOBE~\~SAOGB-3S/\AOB=~^y\—yi\

-~~---------18-1+1

(”+")~4yiy2=3於+4-

EI「

人r^~~18m18"

々q干+1~TH-9貝U耀》[,s=3"/?]=j.

3m+m~

9

由函數(shù)的單調(diào)性易得當(dāng)機(jī)=1，即，=0時(shí)，Smax=].

法二由OE=OA+仍知四邊形AOBE為平行四邊形.

所以S=SnAOBE~\-S^OGB=3SAAOB.

9

當(dāng)直線A5的斜率不存在時(shí)，S=3SAAOB=2-

當(dāng)直線A5的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A5的方程為丁=人(%—1),k#0.

y=k(%—1),

由'比+q_]得(4F+3)/+6。-9於=0.

廣~6k

"+"=范百，

設(shè)A(xi,yi),3(x2,>2),得<3

yiy2=W+3f

3

所以S=3S^AOB=^yi~yi\

3/，?、、.—18對(duì)不

=2\。1+丁2)-4yly2=花+3,

9/179

令4后+3=冽，則m>3,S=^\-3X—5——+!<-.

乙\/III'III/4

9

綜上可知，四邊形AGBE的面積S的最大值Smax=,

探究提高1.本題求四邊形AG3E面積的最值，首先分割，借助三角形面積轉(zhuǎn)化

為函數(shù)的最值問(wèn)題；求解最值應(yīng)用了兩個(gè)技巧：一是換元，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)；二

是利用已知或隱含的不等關(guān)系構(gòu)造不等式求解.

2.若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)數(shù)形

結(jié)合求解.

【訓(xùn)練1J(2021.全國(guó)乙卷)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F,且R與圓

M-.f+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

⑴求p的值；

(2)若點(diǎn)P在"上，PA,尸3是C的兩條切線，A,3是切點(diǎn)，求△以§面積的最

大值.

解(1)由題意知頗0,-4),F(0,圓M的半徑-1,所以|國(guó)一r=4,即介

4—1=4,解得p=2.

⑵由(1)知，拋物線方程為r=4?

由題意可知直線A3的斜率存在，設(shè)A(xi,落，B(X2,直線A3的方程為y

=kx~\~b,

y=kx~\~b>

聯(lián)立得［消去y得一一4右一46=0,

M=4y,

則/=16產(chǎn)+16。>0(※%陽(yáng)+尬=4左，xixi=-4b,

所以|A3|=、1+F|Xl-X2|=弋1+產(chǎn)?、(11+%2)2—4%1%2=471+k2.人上2+b.

2

因?yàn)闋t=住即y弋，所以尸永則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為苣在點(diǎn)A

處的切線方程為廠W=翔一xi),即尸色一￡

同理得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為j=yx-f,

XIX?〃X1+X2

產(chǎn)石x一甲x=2=2k9

聯(lián)立得〈則＜一

XIX1X2,

【尸丁=一"，

即P(2左，—母因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓〃上,

所以以2+(4—。)2=1①，

且一1W2左W1,一1W4—6W1,

所以一吳女W3W6W5,滿足你)式.

|2產(chǎn)+2回

設(shè)點(diǎn)尸到直線A3的距離為d,則1=

W+4

所以以出8=^|A5|-d=4y(廬+b)3

22

,?z91—(4—b)-Z?+8Z?-15

由①得，-----4-----4

—廿+12。-15

令t=l^+b,則t=4且3W6W5.

—廿+12。-15

因?yàn)閠—4?在［3,5］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)人=5時(shí)，/取得最大值，fmax

=5,止匕時(shí)左=0,所以△以3面積的最大值為2郎.

突破點(diǎn)二斜率與某些參數(shù)（式子）的范圍（最值）

?2

【例2】（2021?長(zhǎng)沙聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓￡+，=13>。>0）的

離心率是e,定義直線y=±:為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方

程為y=±4小，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線/交橢圓C于E,R兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E,

R與點(diǎn)A不重合），且滿足AELAR若點(diǎn)P滿足2d>=麗+赤，求直線AP的

斜率的取值范圍.

解（1）由題意得§=華=4、「，2a=8,a2=b2+c2,

聯(lián)立以上3個(gè)式子，可得后=16,/=12,C2=4.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+缶=1.

Io12

（2）由（1）得A（4,0）.易知直線/不與x軸平行.

當(dāng)直線軸時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)E在點(diǎn)R上方.

因?yàn)锳E1AF,所以直線AE的傾斜角為135°,

所以直線AE的方程為y=—x+4.

y=-x+4,

由,得7X2—32x+16=0,

1,

4

解得x=］或x=4（舍去）,

所以XE=XFXF分別為點(diǎn)E,R的橫坐標(biāo)）.

由2舁=無(wú)+彼得需，0；直線AP的斜率為0.

當(dāng)直線/不垂直于％軸時(shí)，設(shè)E（%i,yi）,F（X2,yi）,直線I：y=kx+t（t^-4k,左WO）.

y=kx~\~t>

由4止+:=］消去y并整理，得

(3+4F)d+8左比+4P—48=0.

貝I」』=(8助2—4(3+4F)(4P-48)>0,

即16^-?+12>0,(*)

一8kt4^-48

Xl+%2二-3+4/元1%2=3+4左2?

因?yàn)锳￡，A凡

所以AE?AF=(xi—4)(%2—4)+y\yi

=(xi-4)(x2-4)+(kxi+t)(kx2+1)

=(1+Z^)X1X2+(kt-4)(xi+%2)+16+Z2

7戶+32笈+16A2

=3+4-=0,

即7戶+328+16左2=0,

所以（7f+4左）（/+4左）=0,解得/=一了且/滿足（*）式.

(8kt

所以25>=麗+赤=（陽(yáng)+松,”+>2)=「訐市

所以［―西，i+h）

3t

當(dāng)k>0時(shí)，8左/8^-7=4714,

KK

此時(shí)

OV/TAPW』JO?.

綜上可得，直線AP的斜率的取值范圍為「一嬖

探究提高1.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：一是忘記討論直線軸時(shí)的情形，從而遺

7

漏了抬尸=0這個(gè)取值；二是利用基本不等式求解決+了的取值范圍時(shí)，直接根據(jù)

k>0求解其最小值，得到0APW嚓，遺漏了對(duì)k<0的討論.

2.圓錐曲線中求解含雙變量的式子的取值范圍的方法：幾何條件定代換，目標(biāo)關(guān)

系式求范圍.求履P的取值范圍，分三步完成：第一步，消參，將直線/的方程與

4"

橢圓C的方程聯(lián)立，由條件A尸'得到關(guān)于的等量關(guān)系/=一苧（此時(shí)

4”

需要檢驗(yàn)判別式/>0）;第二步，將等量關(guān)系代入目標(biāo)關(guān)系式，化簡(jiǎn)得日尸

==~y；第三步，通過(guò)對(duì)左的分類討論，求出斜率履p的取值范圍.

Sk+k

【訓(xùn)練2］已知拋物線點(diǎn)A（—3,：），眼胃，拋物線上的點(diǎn)P（xo,

（1）求直線AP斜率的取值范圍;

（2）。是以A3為直徑的圓上一點(diǎn)，且修.血=0,求9?氏的最大值.

解（1）設(shè)直線AP的斜率為左，

1

-

-43

1<2

十-

XO2

則一1<期一5<i.

所以直線A尸斜率的取值范圍是（一1,1）.

（2）由題意可知，屈與恁同向共線，BQLAQ,

聯(lián)立直線AP與BQ的方程得

「11

kx-y+^k+~^=Q,

<

93

x+ky—^k~2=0,

解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是3=22+1）.

因?yàn)镮API=yi+產(chǎn),（）+3）=71+1?（左+1）,

（k—1）（注1）2

歸。1=y/l+/c2（xQ—xo）=

所以能.苑=以外|的|=一（左一1）（左+1）3.

令人左）=一（左一1）/+1>,

因?yàn)?/)=一(4左一2)(左+1)2,

所以人左)在區(qū)間(一1，0上單調(diào)遞增，在[；，1)上單調(diào)遞減，

197

因此當(dāng)左與時(shí)，碎質(zhì)取得最大值急

突破點(diǎn)三范圍(最值)的探索性問(wèn)題

【例3】(2021.天津模擬)已知橢圓C：最+捻=15＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為

Fi,離心率為3,P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)P是C的上頂點(diǎn)時(shí)，AFIPF2的面

積為由

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)斜率存在的直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為。，是否存在點(diǎn)T?,0),使得|7P|

=|TQ|?若存在，求出/的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c.

因?yàn)镾AFLPR2=T＞＜2CX6=小，所以bc=小.

又e=§=；,a2=b2+c2,所以a=2,b=\[3,c=1.

?2

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為A5=I.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)T?,0),使得TP|=|TQ|.

由直線PQ過(guò)仍(1,0),設(shè)直線PQ的方程為y=-x—1),P(xi,yi),2(x2,yi),

PQ的中點(diǎn)為N(xo,yo).

當(dāng)上=0時(shí)，f=0,符合題意.

當(dāng)左關(guān)0時(shí)，由＜

得(4F+3)f—8Mx+4F—12=0,

/=(一8左2)2—4(4/+3)(4/—12)=144^+144>0,

Xl+%2=

4^+3,

即與E-正天

連接TN,因?yàn)閕m=|TQ,所以77\ap。，

則QN戈=-1（左用為直線77V的斜率）.

3k

4一+31

所以-K戈=—1，即看行百二六-

廣正兩4+二

因?yàn)?++4,所以/?（0,￡）.

綜上可得，/的取值范圍為［。，

探究提高1.探索性問(wèn)題的求解步驟：假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參

數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，

則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則，元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.

2.本題的求解體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解答圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是如何

將題設(shè)條件中的幾何關(guān)系"|TP|=|TQ|"轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系“左川山=-1"，由此建

立/關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出/的取值范圍.

【訓(xùn)練3】已知橢圓方程為若拋物線/=2加/>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一

個(gè)隹占

（1）求該拋物線的方程；

（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)R的直線/交拋物線于A,3兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A,3處作拋物線的

切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則△必3的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)

最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27

解（1）由橢圓］+5=1,知/=4,b2=3.

所以c=\］a2—b2=小一3=1.

又拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),

所以§=1,貝I）尸=2.

于是拋物線的方程為f=4y.

（2）△①3的面積存在最小值，理由如下：

由拋物線方程f=4y知，F(xiàn)（0,1）.

易知直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為丁=履+1.

y=kx+l,

由19消去y并整理，得A2—4日一4=0,

M=4y

且/=(一4女/一4(—4)=163+16>0.

-

設(shè)A(%i,yi),B(X2,聞，則％I+%2=4匕xiX2=4.

2

對(duì)尸》求導(dǎo)，得尸宗所以直線AP的斜率MP=^

則直線AP的方程為y—yi=y(x—xi),即丁=卦一%.

同理得直線BP的方程為尸券一%.

設(shè)點(diǎn)P(xo,泗)，聯(lián)立直線AP與3P的方程，

〃XI+%2

xo=2=2k,

得〈即P(2匕-1).

X1X21

卜。=丁=-1，

|A5|=^1+^|A-I-X2|

2

(xi+%2)—4XIX2

=、1+%2々(44)2+16=4(1+k2),

|2P+2|

點(diǎn)P到直線A3的距離d==2y/1+上

也+k2

所以△出3的面積

5=|X4(1+^)X2^1+^=4(1+^)2^4,

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立.

故△%3的面積存在最小值4,此時(shí)直線I的方程為y=l.

專題訓(xùn)練對(duì)接高考求落實(shí)迎高考

1.(2024?全國(guó)乙卷)已知拋物線C：>2=2內(nèi)防>0)的焦點(diǎn)R到準(zhǔn)線的距離為2.

⑴求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足苑=9并，求直線。。斜率的最

大值.

解(1)由拋物線的定義可知，焦點(diǎn)R到準(zhǔn)線的距離為p,故尸=2,

所以C的方程為y2=4x.

(2)由(1)知尸(1,0),設(shè)P(xi,yi),Q(X2,yi),

則PQ=(X2—xi,QF=(1—X2,~y2).

一f[x2—Xl=9(1—X2),

因?yàn)镻Q=9QE所以1八

y2—y\=~9yi,

xi=10%2-9,

得

ji=10p,

?.?點(diǎn)尸在拋物線C上，所以資=4X1,

29

則(10/)2=4(10x2—9),化簡(jiǎn)得族=尹2—萬(wàn)，

29

則點(diǎn)Q的軌跡方程為丁2=尹一萬(wàn).

29

設(shè)直線。。的方程為y=依，易知當(dāng)直線OQ與曲線>2=$一卷相切時(shí)，斜率可以

取最大.

聯(lián)立尸日與產(chǎn)=|^一￡并化簡(jiǎn)，得爛x2-|x+卷=0,

令/=(一&一4妤卷=0,解得左=±g,

所以直線OQ斜率的最大值為今

2.已知橢圓C：。+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為八，八，點(diǎn)M,N在橢圓C上.

(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,T),求直線MN的斜率；

(2)若M,N,。三點(diǎn)共線，直線與橢圓C交于N,尸兩點(diǎn)，求△「阿面積的

最大值.

解(1)設(shè)M(xi,yi),N(X2,yi),則,+比=1,g+貨=1,

一,口(Xl+x2)(Xl-X2),,

兩式相減，可得+(yi+、2)(yi->2)=0,

解得W=T即直線“N的斜率為T

(2)顯然直線NFi的斜率不為0,設(shè)直線NFi：x=my-2,N(xi,yi),「(必"),

x=my-2,

聯(lián)卜立十4消1,去x整理得（療+5）.y2—4m.y—l=0,顯然/=20（謁+1）＞0,故

?4m—1

故APMN的面積SAPMN=2S/\OPN

4小川/+i

=2x|onHy1一丁2|=

m2+5

令、加2+1=3其中/21.

舶4下4#r-

S"MN-2+廠尸片—g

672v7

當(dāng)且僅當(dāng)/=2,即機(jī)=母時(shí)等號(hào)成立，

故△2叫面積的最大值為小.

3.已知橢圓E：方