人教版八年級數(shù)學(xué) 11.2與三角形有關(guān)的角（學(xué)習(xí)、上課課件）

11.2與三角形有關(guān)的角第十一章三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2三角形內(nèi)角和定理直角三角形的性質(zhì)與判定三角形的外角1.定理文字語言幾何語言圖形三角形三個內(nèi)角的和等于180°在△ABC

中，∠A＋∠B＋∠C=180°知識點三角形內(nèi)角和定理1知1－講特別解讀1.三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形三個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.2.三角形的三個內(nèi)角中最多只有一個鈍角或一個直角，或者說至少有兩個銳角.知1－講2.三角形內(nèi)角和定理的操作探究如圖11.2-1，把△ABC

的三個內(nèi)角拼在一起，組成一個平角，即△

ABC三個內(nèi)角的和等于180°.知1－講3.三角形內(nèi)角和定理的證明思路證明思路圖形利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，將△ABC

的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角知1－講證明思路圖形利用“兩直線平行，內(nèi)錯角及同位角相等”，將△ABC

的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，將△ABC

的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角知1－講特別解讀1.三角形內(nèi)角和定理的證明主要是運用平行線的性質(zhì)，將三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中成一個角或兩個角，再證明這個角或這兩個角的和是180°.2.在幾何中，為了幫助解答幾何圖形問題，在原圖基礎(chǔ)之上另外所作的具有較大價值的直線或線段為輔助線.知1－講

例1知1－練教你一招：三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解.當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程(組)求解.知1－練(1)已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C

的度數(shù)；解：設(shè)∠B=∠C=m°.∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴40＋m＋m=180，解得m=70.∴∠B=∠C=70°.知1－練(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B

的度數(shù)；解：設(shè)∠A=x°，∠B=y°.∵∠A－∠B=16°，∠A＋∠B＋∠C=180°，∠C=54°，∴解得∴∠A=71°，∠B=55°.x－y=16，x＋y＋54=180，x=71，y=55.知1－練

知1－練1-1.[期中·廣州天河區(qū)]在△ABC

中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，則∠C=______.1-2.在△ABC

中，若∠

A=60°，∠B=3∠C，則∠B=______．100°90°知1－練1-3.在△ABC

中，∠A=∠B＋20°，∠C=∠A＋50°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋∠B＋70°＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.知1－練1.直角三角形的表示直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以寫成Rt△ABC.知識點直角三角形的性質(zhì)與判定2知2－講2.直角三角形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言圖形性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=90°判定有兩個角互余的三角形是直角三角形在△

ABC中，∵∠A＋∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC

是直角三角形知2－講特別解讀在直角三角形中，若已知兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系，可結(jié)合兩個銳角互余求出每個銳角的大小，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理求解.知2－講如圖11.2-2，AB，CD

相交于點O，AC⊥CD

于點C，若∠BOD=35°，則∠

A=______.例255°知2－練解題秘方：根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求角的度數(shù).解：∵∠BOD=35°，∴∠AOC=35°.∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°.∴∠A=90°－∠AOC=90°－35°=55°.知2－練2-1.[中考·岳陽]如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是()A．30°B．40°C．50°D．60°C知2－練如圖11.2-3，AB∥CD，直線EF

分別交AB，CD

于點E，F(xiàn)，∠

BEF的平分線與∠

DFE的平分線相交于點P.求證：△EFP

是直角三角形.例3知2－練解題秘方：如果三角形中有兩個角的和等于90°(互余)，就可證明該三角形為直角三角形.知2－練

知2－練3-1.下列條件中：①∠A＋∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2；③∠A=∠B=∠C；④∠A=90°－∠B.能確定△

ABC是直角三角形的有()A．①②③B．①②④C．②④D．①②③④B知2－練如圖11.2-4，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B.求證：CD⊥AB.例4證明：∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A＋∠ACD=90°.∴∠CDA=90°，即CD⊥AB.解題秘方：利用直角三角形的性質(zhì)與判定求出CD，AB

的夾角為直角.知2－練4-1.已知：如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，求證：AB⊥CD.證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.∴∠C＋∠D＝90°.∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.∴∠ABD＝90°.∴AB⊥CD.知2－練1.三角形的外角：如圖11.2-5①，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角知識點三角形的外角3知3－講特別提醒：如圖11.2-5②，三角形每一個頂點處都有兩個外角，它們是對頂角，因此三角形共有六個外角，通常每一個頂點處取一個外角.知3－講2.外角性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.符號語言：如圖11.2-5①，∵∠ACD

是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠A＋∠B.知3－講拓展：(1)性質(zhì)推論：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角.(2)當(dāng)三角形的一個外角等于與它相鄰的內(nèi)角時，這個三角形是直角三角形；當(dāng)三角形的每個外角都大于與它相鄰的內(nèi)角時，這個三角形是銳角三角形；當(dāng)三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角時，這個三角形是鈍角三角形.知3－講3.三角形的外角和定理在三角形的每個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和為360°.如圖11.2-6，∠1＋∠2＋∠3=360°.知3－講特別提醒1.三角形的外角和它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角.2.三角形的外角在三角形的外部，但是不能錯誤地理解為三角形外部的角就是三角形的外角.知3－講如圖11.2-7，△ABC

的外角∠CAE

的平分線AD交BC

的延長線于點D，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD

的度數(shù).例5解題秘方：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠ACD

轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC

進行求解.知3－練解：∵

AD是∠CAE

的平分線，∠

DAE=60°，∴∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.∴∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.∵∠ACD

是△ABC

的一個外角，∴∠ACD=∠BAC＋∠B=60°＋35°=95°.知3－練另解一：∵∠DAE=60°，∠B=35°，∴∠D=∠DAE－∠B=60°－35°=25°.∵AD

是∠

CAE的平分線，∴∠CAD=∠DAE=60°.∴∠ACD=180°－(∠CAD＋∠D)=180°－(60°＋25°)=95°.知3－練另解二：∵AD

是∠CAE

的平分線，∠DAE=60°，∴∠EAC=2∠DAE=2×60°=120°.∵∠EAC

是△ABC

的一個外角，∴∠

EAC=∠B＋∠BCA.∴∠BCA=120°－35°=85°.∴∠ACD=180°－85°=95°.知3－練5-1.如圖，∠

ACD是△

ABC的一個外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，求∠

ECD的度數(shù)．知3－練知3－練5-2.如圖，在△ABC中，BD

平分∠ABC，∠

A=72

°，∠DBC=29°，求∠C，∠

ADB的度數(shù)．知3－練解：∵BD平分∠ABC，∠DBC＝29°，∴∠ABC＝2∠DBC＝58°.∵∠A＝72°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝50°.∵∠ADB是△BDC的一個外角，∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝29°＋50°＝79°.知3－練[情境題·生活應(yīng)用]一個零件的形狀如圖11.2-8所示，按規(guī)定∠A

應(yīng)等于90°，∠B，∠D應(yīng)分別是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°，就斷定這個零件不合格，你能說出其中的道理嗎？例6知3－練思路引導(dǎo)：知3－練技巧點撥：當(dāng)待研究的幾何圖形不是三角形時，常通過延長某一條邊或連接兩個頂點把非三角形問題轉(zhuǎn)化為三角形中的問題，再利用三角形外角的性質(zhì)或三角形內(nèi)角和定理求解.知3－練解：如圖11.2-9，延長DC

交AB

于點M.∵∠BCD是△

BCM的一個外角，∴∠BCD=∠B＋∠BMD.∵∠BMD

是△

ADM的一個外角，∴∠BMD=∠A＋∠D.∴∠BCD=∠B＋∠A＋∠D=20°＋90°＋30°=140°≠142°.∴這個零件不合格．知3－練另解一：如圖11.2-10，連接AC并延長.∵∠1是△ACD

的一個外角，∠2是△ACB的一個外角，∴∠1=∠D＋∠DAC，∠2=∠B＋∠BAC.∴∠BCD=∠1＋∠2=∠D＋∠B＋∠BAC＋

∠DAC=∠D＋∠B＋∠BAD=30°＋20°＋90°=140°≠142°.∴這個零件不合格．知3－練另解二：如